空間幾何體的外接球與內(nèi)切球

1、八個有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一、有關(guān)定義1. 球的左義：空間中到泄點的距離等于立長的點的集合（軌跡）叫球而，簡稱球.2. 外接球的泄義：若一個多而體的各個頂點都在一個球的球而上，則稱這個多而體是這個球的內(nèi) 接多而體，這個球是這個多而體的外接球.3. 內(nèi)切球的泄義：若一個多而體的各面都與一個球的球而相切，則稱這個多面體是這個球的外切 多而體，這個球是這個多而體的內(nèi)切球.二、外接球的有關(guān)知識與方法1.性質(zhì)：性質(zhì)1：過球心的平而截球而所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等：性質(zhì)2：經(jīng)過小圓的直徑與小圓而垂直的平而必過球心，該平面截球所得圓是大圓：性質(zhì)3：過球心與小圓圓心的直線垂直于

2、小圓所在的平而（類比：圓的垂徑泄理）：性質(zhì)4：球心在大圓而和小圓而上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì)5：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點是球心（類比：在2.結(jié)論：結(jié)論1：長方體的外接球的球心在體對角線的交點處，即長方體的體對角線的中點是球心：結(jié)論2：若由長方體切得的多而體的所有頂點是原長方體的頂點，則所得多而體與原長方體的外接 球相同：結(jié)論3：長方體的外接球直徑就是面對角線及與此而垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓：結(jié)論4：圓柱體的外接球球心在上下兩底而圓的圓心連一段中點處：結(jié)論5：圓柱體軸截而

3、矩形的外接圓是大圓，該矩形的對角線（外接圓直徑）是球的直徑；結(jié)論6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球：結(jié)論7：圓錐體的外接球球心在圓錐的髙所在的直線上：結(jié)論8：圓錐體軸截而等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論9：側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球.3.終極利器：勾股定理、正定理及余弦泄理（解三角形求線段長度）：三、內(nèi)切球的有關(guān)知識與方法1. 若球與平而相切，則切點與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結(jié)論有一致性）.2. 內(nèi)切球球心到多而體各而的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等（類比：與 多邊形的內(nèi)切圓）.3. 正多而體的

4、內(nèi)切球和外接球的球心重合.4. 正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在髙線上，但不一泄重合.5. 基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股左理：（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法）.四、與臺體相關(guān)的，此略.五、八大模型第一講柱體背景的模型類型一.墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2=a2+b2+c2 9即2R = >Ja2+b2+c2 ,求出例1 （1）已知各頂點都在同一球而上的正四棱柱的髙為4,體積為16,則這個球的表而積是（A. 16/rB. 20C. 24龍D. 32（2）若三棱錐的三個側(cè)而兩兩垂直，且側(cè)棱

5、長均為,則英外接球的表而積是（5）如果三棱錐的三個側(cè)而兩兩垂直，它們的而積分別為6、4、3,那么它的外接球的表而積是（6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,則該幾何體外接球的體積為(61JKffl類型二、對棱相等模型(補形為長方體)題設(shè)：三棱錐(即四面體)中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑QAB = CD, AD = BCtAC=BD)第一步：畫出一個長方體，標(biāo)出三組互為異而直線的對棱；第二步：設(shè)出長方體的長寬髙分別為a,b,c, AD=BC=XtAB=CD = yt AC=BD=Zt 列方程組，Cr +b2 =X2222< b2 +C

6、1 =y2 => (2R)2 =a1 +b2 +c2 = A 十 +',L +C =Z-補充：圖 2T 中，V jCD =abc -abc×4 = -abc 63第三步：根拯墻角模型，2R = ya2 +b1 +c2+y2÷Z2求岀/?例2 (1)如下圖所示三棱錐A-BCD,思考：如何求棱長為G的正四面體體積，如何求英外接球體積？其中 AB = CD = 5. AC = BD = 6, AD = BC = 7,則該三棱錐外接球的表而積為(2)在三棱錐A-BCD中，AB=CD = 2, AD=BC = 3. AC=BD = 4,則三棱錐A-BCD外接球的表而積為

7、（3）正四而體的各條棱長都為、伍，則該正面體外接球的體積為類型三.漢堡模型（直棱柱的外接球.圓柱的外接球）圖33題設(shè)：如圖3-1,圖3-2,圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底而 可以是任意三角形） 第一步：確左球心O的位置，0】是ABC的外心，則OOl ±平而ABC, 第二步：算出小圓Q的半徑AOI = r , OOl=AA,=-h （AAl =Ii也是圓柱的高）；+（少，解出R2 2第三步:勾股定理:OA2 = O1A2 + O.O2 二>R2 = (-)2 +r2=>R =2例3 （1）-個正六棱柱的底而上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底而，已知

8、該六棱柱的頂點都在同一個球而上，且該六棱柱的體積為2,底面周長為3,則這個球的體積為 8（2）直三棱柱ABC-AG的各頂點都在同一球而上，若AB = AC = AAl=29 ZBAC = I20%則此球的表而積等于（3）已知EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平而互相垂直EA = EB = 3,AD = 2,ZAEB = 60°,則多而體E-ABCD的外接球的表而積為（4）在直三棱柱 ABC-AlBiCi 中，AB = AC = A =-,AAx =4,則直三棱柱 ABC-A1B1C1的外接球的表而積為第二講錐體背景的模型類型四.切瓜模型（兩個大小圓面互相垂直且交于小圓直徑正弦定理求

9、大圓直徑是通法）圖44圖42圖431.如圖4-1,平面PAC丄平面A3C, RAB丄BC (即力C為小圓的直徑)，且P的射影是AABC 的外心O三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等O三棱P-AB C的底而AABC在圓錐的底上，頂點P 點也是圓錐的頂點.解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取ABC的外心q,則POO三點共線：第二步：先算出小圓q的半徑AOX = r ,再算出棱錐的高PoLh (也是圓錐的高)：第三步：勾股定理：042 = O1A2 + O1O2 => /?2 = (/- R)2 + r2 ,解出 R；事實上，ACP的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出R 2. 如圖4-2,平

10、而PAC丄平而ABC,且AB丄BC (即AC為小圓的直徑)，且P4丄AC,貝利用勾股泄理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 = PA2 + (2r)2 02R = PA2+(2r)2 :®R2 = r2 + OO OR = yr +OO123. 如圖4-3,平而PAC丄平而ABC,且AB丄BC (即AC為小圓的直徑)OC2 =O1C2+O1O2 OR2 =r2+O1O2 AC=2R2-O1O24. 題設(shè)：如圖4-4,平WPAC丄平而ABC,且AB丄BC (即AC為小圓的直徑)第一步：易知球心0必是APAC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求岀小圓的直徑AC = 2r, 第二步：在AP

11、AC中，可根據(jù)正弦定理亠一= - = 2R,求岀SinA Sin B SinC例4 (1)正四棱錐的頂點都在同一球而上，若該棱錐的髙為1,底而邊長為25,則該球的表而 積為（2）正四棱錐S-ABCD的底而邊長和各側(cè)棱長都為2, 頂點都在同一球面上，則此球體積為其中底而的三個頂點在該球的一個大圓上,（3） 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球而上,則該正三棱錐的體積是（）B.33D.312（4）在三棱錐P-ABC中，PA = PB = PC =乜,側(cè)棱PA與底而ABC所成的角為60則該三棱錐外接球的體積為（）A. C. 4兀（5 ）已知三棱錐S ABC的所有頂點都在球O的求面上，ABC是邊長為

12、1的正三角形，SC為球O的直徑,且SC = 2、則此棱錐的體積為（類型五.垂面模型（一條直線垂直于一個平面）1.題設(shè)：如圖5, P4丄平BC,求外接球半徑解題步驟：第一步：將AABC畫在小圓而上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑AD，連接PD,則PD 必過球心O；第二步：0為AABC的外心，所以O(shè)q丄平而ABC,算出小圓q的半徑O1D = r (三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得丄 =-= 2r), OOl=-PAiSinq SinB SinC2第三步：利用勾股泄理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 = PA2 +y 02R = Jpf +.)2 ； ®R2 = r2 + O

13、O OR = Jd+OOj .2. 題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個圖形，P的射影是ABC的外心O三棱錐P-ABC 的三條側(cè)棱相等O三棱錐P-ABC的底面ABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓 錐的頂點.圖51圖52圖53第一步：確左球心O的位置，取ABC的外心0“則PQQ三點共線：第二步：先算出小圓q的半徑AOI = r ,再算出棱錐的高POI = h （也是圓錐的髙）：第三步：勾股定理：QA2 = O1A2 + O1O2 => /?2 = （/- R）2 + r2 ,解出 R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑例5 個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表而枳

14、為（）D.以上都不對A. 3兀B. 2俯視圖解答圖圖弘1第四講多面體的內(nèi)切球問題模型類型八、錐體的內(nèi)切球問題1. 題設(shè)：如圖8-1,三棱錐P-ABC上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截而圖，EH分別是兩個三角形的外心：第二步：求DH = -BD. PO=PH-r. PD是側(cè)面ABP的亦3OF PO第三步：由MOE相似于APDH,建立等式： =，解岀廠DH PD2. 題設(shè)：如圖8-2,四棱錐P-ABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，PQ、H三點共線：第二步：求FH = -BC, PO=PH-K, PF是側(cè)而zXPCD的髙：2第三步：由POG相似于APF

15、H,建立等式：,解岀 HF PF3. 題設(shè)：三棱錐P-ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個而構(gòu)成的四個三棱錐的體枳之和相等第一步：先畫出四個表而的而積和整個錐體體積； 第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為I建立等式：匕一皿=吆-磁+仏哋+吆-PM+吩_畋=>P-BC = SBC ' ,+ SPAB 'r+ SPAC ' r ÷ SPBC ' t"=入(MBC + SPAB + SPAC + SAPBC) " Ir第三步:解岀廠=SO-八 BC + SO-PAB + SO-PAC + SO-PBC例8 （1

16、）棱長為"的正四面體的內(nèi)切球表而積是解：設(shè)正四而體內(nèi)切球的半徑為I將正四而體放入棱長為2的正方體中（即補形為正方體），如圖,則V=IVIraft=,內(nèi)切球的表而積為. mrS&=4卅=（注：還有別的方法，此略）6解：如圖，正四棱錐S-ABCD的髙 = 7,正四棱錐S-ABCD的體積為VS_AIiCD =.473（2）正四棱錐S-ABCD的底而邊長為2,側(cè)棱長為3,則英內(nèi)切球的半徑為側(cè)面斜高林=2近,正四棱錐S-ABCD的表而積為S& =4 + 82,正四棱錐 S-ABCD 的體積為 VS-ABCD=-S,：r= 4 2r，34 + 847/.r =,334777(2-

17、i)25-7'4+82"1÷2277（3）三棱錐P-ABC中，底面A3C是邊長為2的正三角形，PA丄底面43C, PA = 2,則該三棱錐的內(nèi)切球半徑為解：如圖，SMBC = 3 , SBpCUWPJKS(Jr=X3+4 + f7,三棱錐P-ABC的體積為Vp.ylc =蘋，另一表達(dá)體積的方式是Vc =IV = 0 + 77 . r ,3 + 7+4232 也r =廠=333 + 7+4習(xí)題：1.若三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA = 2, SB = SC = 4,則該三棱錐的外接球半徑為（）A. 3B. 6C. 36D. 9【三棱錐有一側(cè)棱垂直于底而，且底而是直角三角形】【共兩種】2.三棱錐S ABC中，側(cè)棱SA丄平面BC,底而ABC是邊長為的正三角形，SA = 23 ,則該三棱錐的外