圓錐曲線練習(xí)試題及詳細(xì)答案

1、圓錐曲線練習(xí)試題及詳細(xì)答案圓錐曲線歸納總結(jié)3 / 10forYuri第sin2cos2部分：知識儲備1.直線方程的形式(1)直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。(2)與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率ktan0,)點(diǎn)到直線的距離A% B% C.A2 B2夾角公式：tank2k1(3)弦長公式直線y kx b上兩點(diǎn)A(Xi,Yi), B(x2,y2)間的距離:AB,1 k2Xix2.(1 k2)(K X2)2 4x1x2或 AB 11k2(4)兩條直線的位置關(guān)系 1il2k1k2=-1 l1l2k1k2Hb1b22、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)橢圓的方程的形式有幾種？(三種形

2、式)2標(biāo)準(zhǔn)方程：-黃 1(m 0,n 0且 m n)2a距離式方程：,(xc)2y2.(xc)2y2參數(shù)方程：xacos,ybsin(2)雙曲線的方程的形式有兩種22標(biāo)準(zhǔn)方程：1(mn0)mn距離式方程：| - (x、22/、22,c)y(xc)y|2a三種圓錐曲線的通徑2b2橢圓：；雙曲線:a2b2絲；拋物線：2p a(4)圓錐曲線的定義黃楚雅，分別回憶第一定義和第二定義!(5)焦點(diǎn)三角形面積公式:P在橢圓上時(shí)，S F1PF2P在雙曲線上時(shí),F1PF2b2tan 一2b2 cot-2(其中 F1PF2,cos嗥品產(chǎn)窟尺曷焦18s)(6)記住焦半徑公式:橢圓焦點(diǎn)在時(shí)為aexo,焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為

3、aey0雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為e|xo|a拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為卬在y軸上時(shí)1y一3333333333333333333333333333333333麗的分割線3333333333333333333333333333333333333333第sinxdx部分：三道核心例題0例1.橢圓長軸端點(diǎn)為A,B,O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且H"fB1,(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為M,直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l,使點(diǎn)F恰為PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由。分析：第一問比較容易，第二問關(guān)鍵是垂心(小黃同學(xué)，你還記得三角形的四心”嗎

4、？)的處理。由待定系數(shù)法建立方程求解。2 x解(1)建立坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為 a2 y b21(ab 0),由又; AF FB 1 即(a c) (a c) 12易得b 1,故橢圓方程為22 y2 12,二 a假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心,設(shè) P(x1,y1),Q(x2,y2), M(0,1),F(1,0),故 kpQ于是設(shè)直線1為y Xy x mm，由 2 c 2 cx2 2y2 222得，3x 4mx 2m 2 00 x1(x21)1)又 yiXi m(i 1,2)得 x(X2 1)(x2 m)(x11)2x1x2 (x12x2)(m 1) m由韋達(dá)定理得4m2(

5、m1)m4，/人解得m或m1(舍)經(jīng)檢驗(yàn)4一，m3符合條件。例2.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線1在y軸上的截距為m(m0),1交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。(1)求橢圓的方程；(2)求m的取值范圍；(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形。分析：小黃同學(xué)，直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形這個(gè)怎么理解,怎么處理？關(guān)鍵是把它轉(zhuǎn)化成k1k20。圓錐曲線練習(xí)試題及詳細(xì)答案5 / i0解：(1)設(shè)橢圓方程為2匕b7i(ab0)2b解得i2ab2橢圓方程為(2)二.直線l平行于OM,且在y軸上的截距為m又KOMl的方程為:

6、y由2x8ix22y2m2Xi22mX2m40二.直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn),解得(2m)24(2m24)0,2m2,且m0(3)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為ki,k2,只需證明ki+k2=0即可設(shè)A(Xi,yi),B(X2,y2),且XiX22m,x1x22m24則kiXii2,k2yix22由x22mx2m20可得XiX2c222m,XiX22m4而kik2yiixi2y2X2(yi1)(X22)(y21)(Xi2)(Xi2)(X22)(iXim2i)(X2i2)(-X2mi)(Xi2)(Xi2)(X22)xix2(m2)(xix2)4(mi)(Xi2)(X22)2m24(m2)(2

7、m)4(mi)(Xi2)(X22)c22,2m42m4m4m40kik2(Xi2)(X22)0故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形。圓錐曲線練習(xí)試題及詳細(xì)答案例3.已知三角形ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x25y280上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程；（2）若角A為900,AD垂直BC于D,試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”（小黃同學(xué)，你還記得三角形的“四心”嗎？）,利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為900可得出AB±AC,從而得X1X

8、2丫佻14（yy2）160,然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程。解：（1）設(shè)B（Xi,yi）,Cd.）,BC中點(diǎn)為（x。，y。）,焦點(diǎn)為F（2,0）,則有2222過近1包比12016，2016兩式作差有,甯、2）0，整理得X0y°k540 （其中k為點(diǎn)弦BC的斜率）7 / 10又F（2，0為三角形重心S所以由中2,得X03由y1y240得y°2,代入(1)得k-，從而得到35直線BC的方程為6x5y280(2)由ABLAC得X1X2V1V214(y1y2)160(2)設(shè)直線BC方程為ykXb,代入4x25y280,得222_(45k)x10bkx5b800又由韋達(dá)

9、定理有x1x210kb2 54 5kX1X25b2 804 5k2圓錐曲線練習(xí)試題及詳細(xì)答案與直線方程結(jié)合，易得 y1 y -48kw4b2 80k24 5k2代入（2）式得9b2 32b 164 5k20,解得4（舍）或b44y 7直線過定點(diǎn)（0, 4）,設(shè)D （x,y）,則 一99x所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是x2 （y -）9-1 x2/20、2,(Jy即 9y2 9x24)。32y 16 077777777777777777777777777777777777777777777777777W 的分割線 77777777777777777777777777777777777777777777

10、7777777第limxX ej1部分：七種常見題型X 01、中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為（xi,yi）、（X2,y2）,代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的情況），消去參數(shù)。例如：設(shè)A x1, y1、B X2, y2 ,22M a,b為橢圓y 1的弦AB中點(diǎn)則有4322xiy1143'2X222X1x24X1X2 X1 X2y1y2 y1y2kAB3a4b歸納：（1）橢圓2 y b21（a b 0）與直線l相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M (Xo, y0),則有X00o2(2)雙曲線"a

11、2 y b21（a 0,b 0）與直線l相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(X0, y°),則有 空 a0O(3)拋物線 y2 2 Px(p0）與直線l相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M（x0,y0）,9 / i0則有2y0k2p,即y°kp。2典型例題給定雙曲線x2y1,過A(2,1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)Pi及P2,2求線段PiP2的中點(diǎn)P的軌跡方程。2、焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P,與兩個(gè)焦點(diǎn) 弦定理搭橋。Fi、F2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余2典型例題設(shè)P(x,y)為橢圓xy a2 y b21 上任一點(diǎn),Fi( c,0) , F2(c,0)為焦點(diǎn),PFiF2,PF2F

12、i。(i)求證離心率e-sinsin sin(2)求 |PFi|3 PF2I3 的最值。3、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程y2p(xi)(p0),直線xyt與x軸的交點(diǎn)在拋物線的右邊。(i)求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B,且。4OB求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。4、圓錐曲線的相關(guān)最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍

13、)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。1)若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。2)若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。處理思路1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是求方程求x、y的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值;4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y22Px(p0),過M(a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,AB2p0(1)求a的取值范圍；(2)若線段

14、AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求4NAB面積的最大值。圓錐曲線練習(xí)試題及詳細(xì)答案5、求曲線的方程問題(1)曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決典型例題已知直線已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,8)關(guān)于L的對稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。(2)曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓C:X2+y2=1,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長|MN|與|MQ|的比等于常數(shù)(>0),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線6、存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判