線性代數知識點總結(2)

1、大學線性代數知識點總結第一章行列式二三階行列式N階行列式：行列式中所有不同行、不同列得n個元素得乘積得與（奇偶）排列、逆序數、對換行列式得性質:行列式行列互換，其值不變。（轉置行列式） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號。推論:若行列式中某兩行（列）對應元素相等，則行列式等于零。 常數k乘以行列式得某一行（列），等于k乘以此行列式。推論:若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零；推論:行列式中某一行（列）元素全為零,行列式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）得k倍加到另一行（列）上,值不變行列式依行（列）展開:余子式、代數余子式定理:行列式中某一行得元素與另一行元素對應

2、余子式乘積之與為零?？巳R姆法則：D,非齊次線性方程組：當系數行列式時，有唯一解= 土（丿=1、2a）齊次線性方程組：當系數行列式時，則只有零解逆否:若方程組存在非零解，則D等于零痔殊行列式：nil 牡 aiian a212）轉置行列式:a2ici22a 口>cil2 a22a316/32°335a23對稱行列式:atj = ciji反對稱行列式:atj = -ajf奇數階得反對稱行列式值為零三線性行列式：a21a225°方法:用把化為零,。化為三角形行列式上（下）三角形行列式：行列式運算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多得）化零法（比例）化三角形行列式法、

3、降階法、升階法、歸納法、第二章矩陣矩陣得概念：4”血（零矩陣、負矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣）矩陣得運算:加法（同型矩陣）交換、結合律數乘kA = （kaij）l分配、結合律A* =（譏"*如旳=（工畋如）齡乘法V注意什么時候有意義一般AB=BA,不滿足消去律;由AE=O,不能得A=0或B=0轉置（AT）r = A（4 + By =At + Bt（kA）7 = kAT（AB）t = BtAt （反序定理）方幕:瀘八=Akl+kz幾種特殊得矩陣:對角矩|陣:若AB都就是N階対角陣左就是數，則kA、A+B、AB都就是n階對角陣數量矩陣:相當于一個數（若）單位矩陣、上（下）三角

4、形矩陣（若）對稱矩陣反對稱矩陣階梯型矩陣:每一非零行左數第一個非零元素所在列得卜方都就是0分塊矩陣:加法，數乘，乘法:類似，轉置:每塊轉置并且每個子塊也要轉置注:把分出來得小塊矩陣瞧成就是元素逆矩陣:設A就是N階方陣，若存在N階矩陣B得AB=BA=I則稱A就是可逆得,=奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴隨矩陣）初等變換1、交換兩行（列）2、非零k乘某一行（列）3、將某行（列）得K 倍加到另一行（列）初等變換不改變矩陣得可逆性初等矩陣都可逆初等矩陣:單位矩陣經過一次初等變換得到得（對換陣倍乘陣倍加陣） 等價標準形矩陣矩陣得秩（A）:滿秩矩陣降秩矩陣若A可逆,則滿秩若A就是非奇異矩陣，則r（AB）=

5、r（B）初等變換不改變矩陣得秩求法：1定義2轉化為標準式或階梯形矩陣與行列式得聯系與區(qū)別：都就是數表;行列式行數列數一樣，矩陣不一樣;行列式最終就是一個數,只要值相等,就相等，矩陣就是一個數表，對應元素相等才相等；矩陣伙® ） ” = R （州）“，行列式5 廣 K aijn逆矩陣注:®AB=BA=I則A與B 定就是方陣EA=AB=I則A與B 定互逆；不就是所有得方陣都存在逆矩陣;若A可逆，則其逆矩陣就是唯一得。矩陣得逆矩陣滿足得運算律：1、可逆矩陣A得逆矩陣也就是可逆得，且(A-1)-1 = 42、可逆矩陣A得數乘矩陣kA也就是可逆得，且(kA)-1 = -Alk3、可逆

6、矩陣A得轉置A7也就是可逆得，且(AJT = ("丁4、兩個可逆矩陣A與B得乘積AB也就是可逆得，且但就是兩個可逆矩陣A與E得與A+B不一定可逆，即使可逆，但(A + B)豐A-1 + ZT1A為N階方陣，若|A|=0,則稱A為奇異矩陣.否則為非奇異矩陣。5、若A可逆貝I伴隨矩陣:A為N階方陣，伴隨矩陣：(代數余子式)特殊矩陣得逆矩陣：(對1與2,前提就是每個矩陣都可逆)1、分塊矩陣則2、準對角矩陣，則3、4、(A 可逆)5、6、(A 可逆)7、8、判斷矩陣就是否可逆:充要條件就是，此時求逆矩陣得方法：定義法伴隨矩陣法初等變換法只能就是行變換初等矩陣與矩陣乘法得關系：設就是m*n階矩

7、陣，則對A得行實行一次初等變換得到得矩陣，等于用同等得m 階初等矩陣左乘以A:對A得列實行一次初等變換得到得矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘 以A(行變左乘，列變右乘)第三章線性方程組消元法非齊次線性方程組:增廣矩陣-簡化階梯型矩陣r(AB)=r(B)=r當尸n時，有唯一解;當時，有無窮多解r(AB)r(B),無解齊次線性方程組僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n當齊次線性方程組方程個數 < 未知量個數,一定有非零解當齊次線性方程組方程個數=未知量個數,有非零解充要|A|=0齊次線性方程組若有零解，一定就是無窮多個 N維向量:由n個實數組成得11元有序數組。希臘字母表示

8、（加法數乘） 特殊得向量衍（列）向量,零向量8,負向量，相等向量，轉置向量 向量間得線性關系：線性組合或線性表示句量組間得線性相關（無）:定義 向量組得秩:極大無關組（定義P188）定理:如果就是向量組得線性無關得部分組，則它就是極人無關組得充要條件就 是:中得每一個向量都可由線性表出。秩:極大無關組中所含得向量個數。定理:設A為m*n矩陣，則得充要條件就是:A得列（行）秩為門現性方程組解得結構:齊次非齊次、基礎解系 線性組合或線性表示注:兩個向量ap,若則a就是B線性組合單位向量組任意向量都就是單位向量組得線性組合 零向量就是任意向量組得線性組合 任意向量組中得一個都就是她本身得線性組合 向

9、量組間得線性相關（無）注:n個n維單位向量組一定就是線性無關 一個非零向量就是線性無關，零向量就是線性相關 含有零向量得向量組一定就是線性相關 若兩個向量成比例,則她們一定線性相關 向量P可由線性表示得充要條件就是判斷就是否為線性相關得方法1、定義法:設，求（適合維數低得）2、向量間關系法:部分相關則整體相關,整體無關則部分無關3、分量法（11個m維向量組）:線性相關（充要）線性無關（充要） 推論當m=n時，相關，則;無關,則當m<n時，線性相關推廣:若向量組線性無關，則當s為奇數時,向量組也線性無關;當s為偶數時，向量組也線性相關。定理:如果向量組線性相關，則向量可由向量組線性表出，且

10、表示法唯一得充分必要條件就是線性無關。極大無關組注:向量組得極人無關組不就是唯一得，但她們所含向量得個數就是確定得；不全為零得向量組得極大無關組一定存在； 無關得向量組得極人無關組就是其本身； 向量組與其極大無關組就是等價得。齊次線性方程組（I）解得結構:解為（I）得兩個解得與仍就是它得解；（I）解得任意倍數還就是它得解；（I）解得線性組合也就是它得解，就是任意常數。非齊次線性方程組（II）解得結構:解為（II）得兩個解得差仍就是它得解；若就是非齊次線性方程組AX=B得一個解,v就是其導出組AX=O得一個解，則u+v就是 （II）得一個解。定理：如果齊次線性方程組得系數矩陣A得秩,則該方程組得

11、基礎解系存在，且在每個基礎解 系中,恰含有nr個解。若就是非齊次線性方程組AX=B得一個解,v就是其導出組AX=O得全部解，則u+v 就是(U)得全部解。第四章向量空間向量得內積實向量定義:(a,p)=性質:非負性、對稱性、線性性(a,kp)=k(a.p);(ka,kp)=(a,0);(a+p，Ka.)+(a,)+(p,)+(P.)；向量曇長度得充要條件就是a=O;a就是單位向量得充要條件就是(a,a尸1單位叱向量月夾角正交h量up就是正交向量得充要條件就是(a,0尸0正交得向量組必定線性無關正交矩陣5階矩陣A性質:卜 若A為正交矩陣，則A可逆，且，且也就是正交矩陣；2、若A為正交矩陣，則;3

12、、若A、B為同階正交矩陣，則A B也就是正交矩陣；4、n階矩陣A =就是正交矩陣得充要條件就是A得列(行)向量組就是 標準正交向量；第五章 矩b得特征值與特征向量特征值、特征向量個特征A就是N階方陣，若數使AX=X，即(IA)=O有非零解,則稱為A得一 值，此時非零解稱為A得屬于特征值得特征向量。|A|=注：1、AX=X2、求特征值、特征向量得方法求將代入(IA)X=O求出所有非零解3、對于不同得矩陣，有重根、單根、復根、實根(主要學習得) 特殊:得特征向量為任意N階非零向量或4、特征值：若就是A得特征值則則若=A則=0或1若=1則=1或1若=O貝lJ=O跡ti（A）:跡（A尸性質：1、N階方

13、陣可逆得充要條件就是A得特征值全就是非零得2、A與有相同得特征值3、N階方陣A得不同特征值所對應得特征向量線性無關4、5、 P281相似矩陣定義P283:A、B就是N階矩陣，若存在可逆矩陣R滿足，則矩陣A與B 相似，記作AE性質1、自身性:AA,P=I2、對稱性:若AB則BA3、傳遞性:若AB、BC則AC4、若AB,貝0 A與B同（不）可逆5、若AB,則 兩邊同取逆，6、若AB,則它們有相同得特征值。（特征值相同得矩陣不一定相似）7、若AB,則初等變換不改變矩陣得秩例子側A=OA=IA=矩陣對角化定理:N階矩陣A與N階對角形矩陣相似得充要條件就是A有N個線性無關得特征向 量注:1、P與八中得順序一致2、A",則八與P不就是唯一得推論:若n階方陣A有n個互異得特征值，則（P281）定理:n階方陣得充要條件就是對于每一個重特征根，都有注:三角形矩陣、數量矩陣得特征值為主對角線。約當形矩陣約當塊:形如得n階矩陣稱為11階約當塊；約當形矩陣:由若干個約當塊組成得對角分塊矩陣（就是約當塊）稱為