勾股定理經(jīng)典例題(教師版)2

1、勾股定理經(jīng)典例題透析1#類型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中，/ C=90 °(1)已知 a=6, c=10，求 b, (2)已知 a=40, b=9，求 c； (3)已知 c=25, b=15，求 a.思路點(diǎn)撥：寫(xiě)解的過(guò)程中，一定要先寫(xiě)上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。,a=6, c=10,b=- -L _ 二a=40, b=9,c=+/ = 41c=25, b=15,a=上 ：-:-解析:(1)在厶 ABC 中，/ C=90在厶ABC在厶ABC中,/ C=90°中,/ C=90°#舉一反三B=/ ACD=90o,AD=13,CD=12

2、, BC=3,則 AB 的長(zhǎng)是多少？【變式】：如圖/【答案I：/ ACD =90AD=13, CD=12 AC2 =AD2-CD2=132- 122=25 AC=5又/ ABC=90。且 BC=3由勾股定理可得AB2 = AC2-BC2=52 - 32=16 AB= 4AB的長(zhǎng)是4.#類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在一二-中,A一川，丄i 一 求：BC的長(zhǎng).#則有思路點(diǎn)撥：由條件 Z5 二 60°形，為此作 ADLBC 于D，丄，再由勾股定理計(jì)算出 AD、DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出 BC的 長(zhǎng)解析：作于D，則因一-(丄 的兩個(gè)銳角互余)-(在中，如果一個(gè)銳角等于,那么它所對(duì)的直角

3、邊等于斜邊的一半) 根據(jù)勾股定理，在 亠二中，_亦二殛口？二1曲.根據(jù)勾股定理，在中，CD = AC2-AD1 =7702-152x3 = 65 .舉一反三【變式1】如圖，已知： 2C二剜，他二MP丄船于P.求證:臚蟲(chóng)+BC2.BL c M »解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在 丄丁中，臚二別八加.而在 RiLAMP 中，則根據(jù)勾股定理有mp2 = am2-ap' - r / 又 厶（已知），.在 PiBCM有,W .【變式2】已知：如圖，/ B= / D=90 °，/ A=60 ° , AB=4 , CD=2。求：四邊形 ABCD的面積。AC3分析：如何構(gòu)

4、造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長(zhǎng)AB、DC交于F,或延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。解析：延長(zhǎng)AD、BC交于E。/ A= / 60°,/ B=90 ° ,/ E=30 AE=2AB=8 , CE=2CD=4 , BE2=AE2-AB 2=82-42=48 , BE= '。 / DE2= CE2-CD2=42-22=12, DE= L =_ 一;。1 1. S 四邊形 abcd =Sabe-S°cde= - AB BE- j CD DE= 1 -類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用用勾股定理求

5、兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了(一)3、如-<- -到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西 30°方向走了 500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。求A、C兩點(diǎn)之間的距離。(2)確定目的地 C在營(yíng)地A的什么方向。解析：(1)過(guò)B點(diǎn)作BE/AD/ DAB= / ABE=60 °/ 30° + / CBA+ / ABE=180 °/ CBA=90 °即厶ABC為直角三角形由已知可得:BC=500m , AB=500j3tn#由勾股定理可得：匚 丁” 匸：所以m打二；二工（2）在 Rt ABC 中，/ BC

6、=500m , AC=1000m/ CAB=30 °/ DAB=60 °/ DAC=30 °即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30°的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門？關(guān)#CH.如圖所示，點(diǎn)D在【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過(guò)，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于 離廠門中線0.8米處，且 CD丄AE, 與地面交于 H .解：OC= 1米（大門寬度一半），OD= 0.8米（卡車寬度一半）在Rt OCD中，由勾股定理得：CD咗心加一T.6米，CH=0 .6 + 2

7、.3 = 2 . 9（米）2.5（米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過(guò)廠門.#（二）用勾股定理求最短問(wèn)題4、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過(guò)高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊B、C、D，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如5#思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長(zhǎng)最短，通過(guò)利用勾股定理計(jì)算線路長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較，得出結(jié) 論.解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則圖（1）、圖（2）中的總線路長(zhǎng)分別為AB+BC+CD = 3, AB+BC+CD = 3圖（3）中，在Rt ABC中同理#圖（3）中的路線長(zhǎng)為-

8、圖（4）中，延長(zhǎng) EF交BC于H，貝U FH丄BC, BH = CH3W 丄由/ FBH =-及勾股定理得：EA = ED = FB = FC =-# EF = 1 2FH = 1:此圖中總線路的長(zhǎng)為 4EA+EF = 1 ''： -T 3 > 2.828>2.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線.舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高AE為4cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程.#解:(提問(wèn)：勾股定理)#AC = t二"=“J 門1. =_ io.77( cm

9、)(勾股定理)的線段。答：最短路程約為1 0.77 cm. 類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為麗 的線段思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為 1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于 J，直角邊為 和1的直角三角形斜邊5、作長(zhǎng)為長(zhǎng)就是"-；,類似地可作L。作法：如圖所示(1)作直角邊為1 (單位長(zhǎng))的等腰直角(2) 以AB為一條直角邊，作另一直角邊為(3) 順次這樣做下去，最后做到直角三角形ACB，使AB為斜邊；1的直角。斜邊為V;二，；，這樣斜邊 丄匚、二、二1、二的長(zhǎng)度就是匸、門、4、罷舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示解析：可以把710看作是直角三角形的斜邊,(師二 10#為了有利于畫(huà)圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為

10、整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A點(diǎn)，使OA=3，作AC丄OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑,以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為#類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫(xiě)出下列原命題的逆命題并判斷是否正確#71原命題：貓有四只腳.（正確）2. 原命題：對(duì)頂角相等（正確）3 原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.（正確）4原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等.（正確）思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2. 逆命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)

11、，在這條線段的垂直平分線上.？（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.（正確）總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。2 2 27、如果 ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿足a+b+c+50=6a+8b+10c，判斷 ABC的形狀。思路點(diǎn)撥：要判斷 ABC的形狀，需要找到 a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,故只有從該條件入手，解決問(wèn)題。2 2 2解析：由 a +b +c +50=6a+8b+10c，得：2 2 2a -6a+9+b -8b+16+c -10c+2 5=0,2 2 2 （a-3） +（b-4） +（c

12、-5） =0。/ （a-3）2> 0, （b-4）2> 0, （c-5）2> 0。 a=3, b=4, c=5。小2.2_2/ 3 +4 =5 ,2 , 2 2 a +b =c。由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到。舉一反三【變式1】四邊形 ABCD中，/ B=90 ° , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四邊形 ABCD的面積?！敬鸢浮浚哼B結(jié)AC/ B=90 ° , AB=3 , BC=42 2 2 AC =AB +BC =25 （勾股定理

13、） AC=52 2 2/ AC +CD =169 , AD =169_ 2 2-AC +CD =AD Z ACD=90 ° （勾股定理逆定理）気純CD =+= AB BC+ AC CD =362 2 2 2【變式2】已知： ABC的三邊分別為 m n ,2mn,m +n （m,n為正整數(shù)，且m > n）,判斷 ABC是否為直角三角形 分析:本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明：a2+b2=c2即可二討+ 2用夕+卅 =(/ +內(nèi)*所以 ABC是直角三角形.【變式3】如圖正方形 ABCD , E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=二AB。請(qǐng)問(wèn)FE與DE是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明。【答案】

14、答：DE丄EF。證明：設(shè) BF=a，貝U BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a,2 2 2 2 2 2 EF =BF +BE =a +4a =5a ；2 2 2 2 2 2DE =CE +CD =4a +16a =2 0a。連接DF （如圖）2 2 2 2 2 2DF =AF +AD =9a +16a =2 5a。2 2 2DF =EF +DE , FE丄 DE。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3: 4，斜邊長(zhǎng)是20,求此直角三角形的面積。思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通過(guò)比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理

15、 列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是 3x , 4x，根據(jù)題意得：2 2 2(3x)+ ( 4x)= 2 0化簡(jiǎn)得x2 =16；1直角三角形的面積=2 x 3x X 4x = 6x2= 96總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程(組)求解。舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為 2,求它的面積?！敬鸢浮咳鐖D，等邊 ABC，作AD丄BC于D1則：BD BC (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合) AB = AC = BC = 2 (等邊三角形各邊都相等)即：AD2= AB2 BD2 = 4- 1 = 3 BD = 1在

16、直角三角形 ABD中，AB 2= AD2+BD 2,Ssbc = - BC AD =注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為a,則其面積為-a?！咀兪?】直角三角形周長(zhǎng)為 12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,求直角三角形的面積。 【答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是x, y，根據(jù)題意得：x +y + 5 = 12(1)仃+八寧由（ 1）得:x+y = 7,（x+y ） 2 = 49, x2+2xy+y 2= 49 （2）,得：xy = 121 1直角三角形的面積是1 xy = 1 X 12 = 6 (cm2)【變式3】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n +1, n+2 , n+3 ,求n。思路點(diǎn)撥：首先要

17、確定斜邊(最長(zhǎng)的邊)長(zhǎng) n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為n+3，由勾股定理可得：2 2 2(n+1) + (n+2)=( n+3)2化簡(jiǎn)得：n = 4 n=± 2,但當(dāng) n = 2 時(shí)，n+1 = 1<0,二 n = 2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒(méi)有給出哪條是直角邊哪條是斜 邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。【變式4】以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是()A、 8, 15, 17 B、 4, 5, 6 C、 5, 8, 10 D、 8, 39, 40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來(lái)進(jìn)行判

18、斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用 c2= a2+b2的變形：b2= c2 a2=( c a) (c+a)來(lái)判斷。例如：對(duì)于選擇 D,/ 82工(40+39)X( 40 39),以8, 39, 40為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。 同理可以判斷其它選項(xiàng)?！敬鸢浮浚篈【變式5】四邊形ABCD中，/ B=90 ° , AB=3 , 解：連結(jié)AC/ B=90 ° , AB=3 , BC=4 AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理） AC=52 2 2/ AC +CD =169, AD =1692 2 2 AC +CD =AD/ ACD=90 ° （勾股定理逆定理）1 1BC=4 , C

19、D=12 , AD=13，求四邊形 ABCD 的面積。9# S 四邊形 abcd =S°abc+Sacdh - AB BC+ - AC CD=36類型二：勾股定理的應(yīng)用MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō) 18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？2、如圖，公路 MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/ QPN = 30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP = 160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛 時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路 明理由，思路點(diǎn)撥：(1)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看 A到公路的距離是否小于 100m,小于100m則受影響，大于10

20、0m則不受影響，故作垂線段 AB并計(jì)算其長(zhǎng)度。(2)要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué) 校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開(kāi)始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。解析：作AB丄MN，垂足為B。在 Rt ABP 中，/ ABP = 90°,/ APB = 30°, AP = 160,1 ABAP = 80。(在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開(kāi)始受到影響，那么AC = 100(m),同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)

21、校開(kāi)始脫離影響，那么，AD = 100(m), BD = 60(m), CD = 120(m)。拖拉機(jī)行駛的速度為：18km/h = 5m/st = 120m 十 5m/s = 24s。答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒。總結(jié)升華：勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過(guò)作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三 【變式1】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條 “路”。他們僅僅少走了 步路(假設(shè)2步為1m),卻踩傷了花草。解析：他們?cè)瓉?lái)走的路為 3+4 =

22、 7(m)11#設(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為 xm ,則- 一 八 故少走的路長(zhǎng)為 7- 5 = 2(m)又因?yàn)?步為1m，所以他們僅僅少走了 4步路?！敬鸢浮?【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。(1) 直接寫(xiě)出單位正三角形的高與面積。(2) 圖中的平行四邊形 ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？(3) 求出圖中線段 AC的長(zhǎng)(可作輔助線)?！敬鸢浮?1)單位正三角形的高為I，面積是4亠#(2)如圖可直接得出平行四邊形24x -63(3 )過(guò)A作AK丄BC于點(diǎn)K(如圖所示)，則在Rt A

23、CK中，ABCD含有24個(gè)單位正三角形，因此其面積-。KC = 1 + 14 = -AC=；AKa + KC3 =，故類型三：數(shù)學(xué)思想方法(一)轉(zhuǎn)化的思想方法 我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決.3、如圖所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC , D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且 DE#丄DF，若BE=12 , CF=5 .求線段 EF的長(zhǎng)。13思路點(diǎn)撥:現(xiàn)已知BE、CF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD .解：連接AD .因?yàn)? BAC=90 ° , AB=AC . 又因?yàn)?AD ABC的中線, 所以 AD=DC=DB .