第五講定積分

1、第五章 定積分一、學(xué)習(xí)目的與要求1、加深理解定積分的定義，熟悉定積分的有關(guān)性質(zhì)。2、加深理解牛頓萊布尼茲公式的內(nèi)容及其意義，能熟練地應(yīng)用此公式計(jì)算定積分。3、掌握變上限函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、極值等問(wèn)題的求法。4、熟練掌握定積分的換元積分法與分部積分法。5、知道廣義積分，掌握兩類廣義積分的計(jì)算二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)定積分的換元積分法與分部積分法三、內(nèi)容提要1、定積分的定義及性質(zhì)（I）定義 由定義可知，定積分值與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)：（II）幾何意義當(dāng)0時(shí)，的值等于四條線所圍成的曲邊梯形面積。（III）可積函數(shù)類 下列函數(shù)均可積：（i）在連續(xù)； （ii）在單調(diào)有界；（iii）在有界且至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。（I

2、V）性質(zhì) 假設(shè)在所涉及區(qū)間可積，則下列性質(zhì)成立：（i）線性性質(zhì) （ii）區(qū)間可加性 （iii）比較性質(zhì) 若，則特別有 （iv）估值定理 設(shè),則（v）中值定理 設(shè)在連續(xù)，在可積且不變號(hào)，則，使特別，當(dāng)時(shí)，有 2、變上限積分函數(shù)定義 為變上限積分或變上限函數(shù)或積分上限函數(shù)。若連續(xù)，變上限函數(shù)有下列性質(zhì)：特別地,當(dāng)可導(dǎo)，則有 3、定積分的計(jì)算（I）Newton-Leibniz公式設(shè)在連續(xù)，則（II）定積分換元法 若則（III）定積分的分部積分法 設(shè)上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則4、廣義積分（I）無(wú)窮區(qū)間的廣義積分定義為若等式右邊的極限存在，稱左邊的廣義積分收斂，否則稱發(fā)散。定義其中的變化相互獨(dú)立，只要等式右邊有一

3、個(gè)極限不存在，則等式左邊的廣義積分發(fā)散。（II）無(wú)界函數(shù)的廣義積分設(shè)連續(xù)，的某右鄰域無(wú)界，則定義若等式右邊的極限存在，則稱等式左邊的廣義積分收斂，否則稱發(fā)散，稱為奇點(diǎn)。類似可定義為奇點(diǎn)的情況以及奇點(diǎn)出現(xiàn)在（）內(nèi)部的情況。四、思考題1、定積分定義中所說(shuō)的和式的極限存在，特別要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)是什么？2、函數(shù)在區(qū)間a,b上可積的充分條件是什么？必要條件是什么？3、當(dāng)函數(shù)在a,b上具有原函數(shù)時(shí)，則在a,b上一定可積嗎？試考察函數(shù) 4、用換元積分法計(jì)算定積分時(shí)要注意些什么？若用兩種不同方法計(jì)算定積分，可得出兩個(gè)不同的結(jié)果：（1）（2）。你認(rèn)為哪個(gè)是對(duì)的，而另一個(gè)錯(cuò)在什么地方？5、在定積分中，用換元計(jì)算行嗎？為

4、什么？6、用分部積分法計(jì)算定積分如下：設(shè)，則 于是 即 ，結(jié)果得出：0=1，試說(shuō)明這個(gè)錯(cuò)誤是怎樣產(chǎn)生的？7、因?yàn)榈囊粋€(gè)原函數(shù)為，于是根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，有，此結(jié)果對(duì)嗎？為什么？8、由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為奇函數(shù)，因此，有所以廣義積分收斂，此結(jié)論對(duì)嗎？9、如下的幾個(gè)定積分常用公式是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的：（1） （2）若為奇函數(shù)，則；（3）若為偶函數(shù)，則（4）若是周期為T的函數(shù)，則（5）（6）（7）（8）五、典型例題分析例1 求。分析 用定積分求這類和式的極限，關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)與積分區(qū)間，將所求和式的極限轉(zhuǎn)化為某函數(shù)積分和的極限，從而轉(zhuǎn)化成定積分。解 =由此可知以上和式是函數(shù)在區(qū)間0,1上的積分和，

5、又因?yàn)樵摵瘮?shù)在區(qū)間0，1上連續(xù)，所以定積分存在，故=例2 設(shè)函數(shù)連續(xù)，試求。分析 這是含積分上限函數(shù)的極限問(wèn)題，屬型，符合使用羅比塔法則求極限的條件。在利用羅比塔法則求極限時(shí)，分子對(duì)求導(dǎo)應(yīng)注意，被積函數(shù)中所含變量相對(duì)于積分變量而言是常量，從而可將分子拆成兩項(xiàng)，且可提到積分號(hào)外面。解 例3 證明函數(shù)在區(qū)間0，+上的最大值不超過(guò)，其中為正整數(shù)。證 是積分上限函數(shù)，根據(jù)變上限求導(dǎo)定理，有 令 而處有極大值（此處即最大值）。當(dāng)0時(shí)，有0所以 證畢。例4 計(jì)算。分析 被積函數(shù)上連續(xù)，故定積分存在，根據(jù)被積函數(shù)是三角函數(shù)有理式的特點(diǎn)，可用換元法令化成有理函數(shù)的積分；如果被積函數(shù)分子、分母同乘，又可轉(zhuǎn)化為函

6、數(shù)的積分；也可利用公式計(jì)算，且用此法最為簡(jiǎn)便。解 如果設(shè)，所以 此題的作法實(shí)際也是證明公式的方法。例5 計(jì)算 。分析 因被積函數(shù)是以為周期的函數(shù)，因此可用公式，其次再利用奇偶函數(shù)積分的性質(zhì)以及有關(guān)積分公式，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了。解 = =例6 計(jì)算定積分。分析 本題被積函數(shù)屬型，故可用（或）換元，將其化為三角函數(shù)有理式的積分。解法1 = = 解法2 由于 于是 例7 設(shè)0，時(shí)，積分的表達(dá)式。分析 本題求解的關(guān)鍵是：（1）被積函數(shù)中出現(xiàn)不易積分，需利用進(jìn)行換元；（2）是分段函數(shù)，應(yīng)注意區(qū)分0與時(shí)的不同表達(dá)式。解 令 當(dāng)0時(shí)， =所以 例8 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求證分析 本題求證中應(yīng)把握：（1）對(duì)于被積函數(shù)中出

7、現(xiàn)變上限積分的形式，常用分部積分法，且一般選取變上限積分為，即；（2）注意定積分與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)；（3）被積函數(shù)中出現(xiàn)的在積分過(guò)程中相對(duì)于積分變量應(yīng)視為常數(shù)。證 例9 已知，且。分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，常用分部積分法，且將抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)放入。解 而 =所以 即 故 例10 設(shè)。分析 分段函數(shù)的定積分，一般化為分段區(qū)間上的定積分。本題被積函數(shù)為,積分時(shí)需由已知的求出或先換元更簡(jiǎn)便一些。解法1 =解法2 所以 例11 計(jì)算。分析 由于被積函數(shù)中，而在0，內(nèi)不恒大于零，所以開方后需取絕對(duì)值。積分時(shí)可去掉絕對(duì)值記號(hào)，按分段函數(shù)的定積分處理。解 =例12 計(jì)算。分析 在被積函數(shù)中含絕

8、對(duì)值函數(shù)的定積分中，一般根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)，化為分段函數(shù)在分段區(qū)間上的定積分?；蚋鶕?jù)有關(guān)性質(zhì)化為不含絕對(duì)值函數(shù)的定積分。解法1 =解法2 解法3 說(shuō)明 本題給出了含絕對(duì)值函數(shù)的積分法。就以上三種解法，以解法2最好，它利用了奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分的性質(zhì)，避開了含絕對(duì)值的積分。例13 設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，試證 分析 不等式兩端分別出現(xiàn)與，可考慮利用關(guān)系，而，又進(jìn)一步考慮利用柯西積分不等式，再積分，不等式可得證。證 在已知條件下，利用柯西積分不等式，有兩邊在區(qū)間a,b上作定積分，得 例14 利用的結(jié)果，計(jì)算廣義積分。分析 為利用已知結(jié)果，必須考慮所求積分的被積函數(shù)通過(guò)有關(guān)運(yùn)算（代數(shù)運(yùn)算恒等變形或積分等）化成型，本題如進(jìn)行一次分部積分，問(wèn)題就明顯多了。解 說(shuō)明 本題屬區(qū)間為無(wú)窮的廣義積分是很明顯的，而時(shí)被積函數(shù)無(wú)定義，但它為去間斷點(diǎn)，所以，可不按為瑕點(diǎn)的廣義積分對(duì)待。為了書寫簡(jiǎn)潔，這里采用了廣義下的牛頓萊布尼茲公式。例15 計(jì)算。分析 本題被積函數(shù)在處出現(xiàn)無(wú)窮型間