概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙江大學(xué)第四版-課后習(xí)題答案完全版28127

1、(3) A , B , C 中至少有一個發(fā)生表示為：A+B+C概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題答案第四版 盛驟(浙江大學(xué))浙大第四版(高等教育出版社)第一章概率論的基本概念1.一寫出下列隨機(jī)試驗的樣本空間(1)記錄一個小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)(一 1)o 1 n 100S ,，n 表小班人數(shù)n nn(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到 10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。(一 2)S=10, 11, 12, ., n, . (4)對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4 個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“ 1”，查出次品

2、記為“ 0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“ 0”就停止檢查，或查滿4 次才停止檢查。(一(3)S=00, 100, 0100, 0101, 1010, 0110, 1100, 0111, 1011, 1101 , 1110, 1111 , 2.二設(shè) A , B , C 為三事件，用 A, B , C 的運算關(guān)系表示下列事件。(1) A 發(fā)生，B 與 C 不發(fā)生。表示為：ABC或 A(AB+AC 或 A(BUC)(3) A , B , C 中至少有一個發(fā)生表示為：A+B+C(2) A , B 都發(fā)生，而 C 不發(fā)生。表示為：ABC或 ABABC 或 AB- C(4) A, B, C 都發(fā)生,表示為：ABC(5

3、)A, B, C 都不發(fā)生，表示為：ABC或 S (A+B+C 或AB C(6)A, B, C 中不多于一個發(fā)生，即 A, B, C 中至少有兩個同時不發(fā)生相當(dāng)于AB, BC, AC中至少有一個發(fā)生。故表示為：AB BC AC。(7) A, B, C 中不多于二個發(fā)生。相當(dāng)于：A, B,C中至少有一個發(fā)生。故表示為：A B C或入BC(8) A, B, C 中至少有二個發(fā)生。相當(dāng)于：AB, BC, AC 中至少有一個發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC6.三設(shè) A, B 是兩事件且 P (A)=, P (B)=.問(1)在什么條件下 P (AB)取到最大值，最 大值是多少(2)在什么條件下 P (

4、AB)取到最小值，最小值是多少解：由 P (A) = , P (B)=即知 ABMQ,(否則 AB = $依互斥事件加法定理，P(AUB)=P (A)+P (B)=+=1 與 P (AUB)W1 矛盾).從而由加法定理得P(AB)=P (A)+P (B)P (AUB)(*)(1)從 OWP(AB)WP(A)知，當(dāng) AB=A，即卩 AAB 時 P(AB)取到最大值，最大值為P(AB)=P(A)=,(2)從(*)式知，當(dāng) AUB=S 時，P(AB)取最小值，最小值為P(AB)=+ 1=。7. 四設(shè) A, B, C 是三事件，且P(A) P(B) P(C)丄，P(AB) P(BC) 0,41P(AC

5、)丄.求 A, B, C 至少有一個發(fā)生的概率。8解：P (A, B, C 至少有一個發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+315P(ABC)=0(4) A, B, C 都發(fā)生,表示為：ABCV 74888. 五在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55 個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少記 A 表“能排成上述單詞”10.六在房間里有 10 人。分別佩代著從 1 號到 10 號的紀(jì)念章，任意選 3 人記錄 其紀(jì)念章的號碼。(1)求最小的號碼為 5 的概率。記“三人紀(jì)念章的最小號碼

6、為 5 ”為事件 A/ 10 人中任選 3 人為一組：選法有1種，且每種選法等可能。又事件 A 相當(dāng)于：有一人號碼為 5,其余 2 人號碼大于 5。這種組合的種數(shù)有1(2)求最大的號碼為 5 的概率。記“三人中最大的號碼為5”為事件 B,同上 10 人中任選 3 人，選法有10種，且從 26 個任選兩個來排列，排法有A26種。每種排法等可能。字典中的二個不同字母組成的單詞：55 個55P(A)罟A2611V309.在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數(shù)全不相同的概率。 個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自0, 1, 29)(設(shè)后面 4記 A 表“后四個數(shù)全不同后四個數(shù)的排法有 104種，每

7、種排法等可能。后四個數(shù)全不同的排法有A40P(A)豈1040.504P(A)10112每種選法等可能，又事件 B 相當(dāng)于：有一人號碼為 5，其余 2 人號碼小于 5，選法有1200 個產(chǎn)品恰有 90 個次品，取法有400 100種1500200(2)至少有 2 個次品的概率。記：A 表“至少有 2 個次品”P(B)1012011.七某油漆公司發(fā)出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶，紅漆 運中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個定貨4 桶白漆，3桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少3 桶。在搬桶黑漆和 2記所求事件為 A。在 17 桶中任取 9 桶的取法有C；

8、7種，且每種取法等可能。取得 4 白 3 黑 2 紅的取法有 G：C：C2432P(A) C10爲(wèi)C3252243112八 在 1500 個產(chǎn)品中有 400 個次品,1100 個正品，任意取 200 個。(1)求恰有 90 個次品的概率。記“恰有 90 個次品”為事件 A在 1500 個產(chǎn)品中任取 200 個，取法有1500200種，每種取法等可能。400 110090110P(A)B0表“不含有次品” ，Bi表“只含有一個次品”，同上，200 個產(chǎn)品不含次品，取法 有鸚種，200個產(chǎn)品含一個次品，取法有40）0醫(yī)種A B0B1且 BQ,B1互不相容。1100400 1100P(A) 1P(A

9、) 1 P(BQ) P(BJ 120011991500150020020013.九從 5 雙不同鞋子中任取 4 只，4 只鞋子中至少有 2 只配成一雙的概率是多少記 A 表“ 4 只全中至少有兩支配成一對”則A表“ 4 只人不配對”從 10 只中任取 4 只，取法有 罟 種，每種取法等可能。5 雙中任取 4 雙，再在 4 雙中的每一雙里任取一只。取法有243，的概率各為多少記 Ai表“杯中球的最大個數(shù)為i 個” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對 A 仁必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2 種。（選排列：好比3 個球在 4 個位置做排列）P(AJ4

10、3 264316對 A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有Cf4 3種。要 4 只都不配對，可在P(A)C524C40821P(A)1 P(A)132115十一將三個球隨機(jī)地放入4 個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別是 1,2，去，（從 3 個球中選 2 個球，選法有 C；，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4種，最后將剩余的 1 球放入其余的一個杯中，選法有 3 種。對 A3：必須三球都放入一杯中。放法有 4 種。（只需從 4 個杯中選 1 個杯子，放入此 3 個球，選法有 4 種）41A歹 1616.十二50 個鉚釘隨機(jī)地取來用在10 個部件，其中有三個鉚釘強(qiáng)度太弱，每個部

11、件用 3 只鉚釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強(qiáng)度就太弱， 問發(fā)生一個部件強(qiáng)度太弱的概率是多少記 A 表“ 10 個部件中有一個部件強(qiáng)度太弱”。法一：用古典概率作：把隨機(jī)試驗 E 看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10 個部件（在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但 10 組釘鉚完 10 個部件要分先后次序）對 E:鉚法有C50C47C44C；3種，每種裝法等可能對A：三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有C3C23x10種P（A）C3C47C44_C丄0.00051C；0C：7C；31960法二：用古典概率作把試驗 E 看作是在 50 個釘中任選 30 個釘排成一列，順次釘

12、下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計先后次序）對 E:鉚法有A530種，每種鉚法等可能對 A:三支次釘必須鉚在“ 1 , 2, 3”位置上或“ 4, 5, 6”位置上，或“ 28, 29,30”位置上。這種鉚法有A；AA3A?A3A?10A；A：；種P(A2)2C34 34391617十三已知P(A) 0.3, P(B) 0.4, P(AB) 0.5,求 P(B|A B)。解一:P(A) 1 P(A) 0.7, P(B) 1 P(B) 0.6, A AS A(B B) AB AB注意(AB)(AB).故有P(AB)=P (A) P (AB)=。再由加法定理，P(AUB)= P (A)+ P (B)

13、P (AB)=+=11118.十四P(A) , P(B|A) , P(A|B)扌，求P(A B)。1由乘法公式，得P(AB) P(A)P(B|A) 12由加法公式，得P(A B) P(A) P(B) P(AB)寸g吉 0.00051于是P(B| A B)PB(A )P(A B)P(AB)P(A B)影25解二：P(AB)P(A)P(B |A)由已知0507 P(B | A)P(B|A)0.55P(B | A)0.77-故7P(AB) P(A)P(B| A)-5P(B| AB)定義 P(BA BB) P(AB)P(BA)15P(A)P(B) P(AB)0.7 0.6 0.50.25解：由P(A|

14、 B)定義 P(AB)P(B)P(A)P(B A)由已知條件P7BP(B) -)61I96019.十五擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數(shù)之和為7,求其中有一顆為 1 點的概率(用兩種方法)。解：(方法一)(在縮小的樣本空間SB 中求 P(A|B)，即將事件 B 作為樣本空間，求事件 A 發(fā)生的概率)。擲兩顆骰子的試驗結(jié)果為一有序數(shù)組(x, y) ( x, y=1,2,3,4,5,6 )并且滿足 x,+y=7，則樣本空間為S=(x, y)| (1,6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每種結(jié)果(x, y)等可能。A=擲二骰子，點數(shù)和為 7 時，其中有一顆

15、為 1 點。故P(A) 63方法二：(用公式P(A|B)S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每種結(jié)果均可能A= “擲兩顆骰子，x, y 中有一個為“1 ”點”，B= “擲兩顆骰子，x,+y=7”。則P(B) 6626,P(AB)262，2故P(A| B)P(AB)622丄P(B)丄6 3620.十六據(jù)以往資料表明，某一3 口之豕，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律P(A)=P孩子得病=，P (B| A)=P母親得病|孩子得病=，P (C| AB)=P父親得病|母親及孩子得 病=。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為 P (ABC)(注意：由

16、于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件， 這里不是求 P (C|AB)P (AB)= P(A)=P(B| A)=X P,(C|AB)=1-P (C | AB)=1-=.從而 P (ABC)= P (AB) C|AB)=X=.21.十七已知 10 只晶體管中有 2 只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作 不放回抽樣，求下列事件的概率。(1)二只都是正品(記為事件 A)法一：用組合做 在 10 只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結(jié)果，每種取法等可能。法二：用排列做 在 10 只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結(jié)果，每個排列等可能。法三：用事件的運算和概率計算法則來作。記 A

17、1， A2分別表第一、二次取得正品。(2)二只都是次品(記為事件 B)法一：P(B)c；C；o145法二：P(B)A2o145法三：P(B)P(AAJ2 11P(A1)P(A2)10945(3)只是正品，一只是次品(記為事件C)法一：p(C)cck nC1045P(AC2C8C1028450.62P(A)2845P(A) P(AA2)P(A)P(A21 A)8 710 92845法二：(c8c1)A216P(C)82216A1045法三:p（c）P（AA2AA2）且AA2與 AA2互斥（4）第二次取出的是次品（記為事件D）法一：因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作,法二：AA；1P(D)

18、221A。5法三：P(D)P(AA2A 兀)且 A A 與 A；A2互斥 82211P(A)P(A2|A) PgPS) 10 -2J22.十八某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號，求他撥號不超 過三次而接通所需的電話的概率是多少如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多 少記 H 表撥號不超過三次而能接通。Ai表第 i 次撥號能接通。注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。H Ai入人2AA2A3三種情況互斥P（H） P（AI） P（瓦）P（A2I瓦）P（AI）P（A2|入）P（A3|入A2）丄_91_981?10109109810如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問

19、題變?yōu)樵?B 已發(fā)生的條件下，求 H再發(fā)生的概率。P（H |B） PA1IB A1A2| B A1A2A3|B）P（A IB）P（A, |B）P（A2|B）P（A |B）P（A2|BA1）P（A3|BA1A2）1 A 1 A 2 1 25545435P(A)P(A |AI)P(Ai)P(A2|A)8 22 81610 9 10 9 4524.十九設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有 n 只白球 m 只紅球，乙袋中裝有 N 只白球 M 只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到(即從乙袋 中取到)白球的概率是多少(此為第三版19 題(1)記 Ai, A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球

20、放入乙袋”再記 B 表“再從乙袋中取得白球”。-B=AiB+A2B 且 Ai, A2互斥P (B)=P (Ai)P(B| Ai)+ P (A2)P (B| A2)=nN imNnm NMi nm NMi十九(2)第一只盒子裝有 5 只紅球，4 只白球；第二只盒子裝有 4 只紅球，5 只白球。 先從第一盒子中任取 2 只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白 球的概率。記 Ci為“從第一盒子中取得 2 只紅球”。C2為“從第一盒子中取得 2 只白球”。D 為“從第二盒子中取得白球”，顯然 G, C2, C3兩兩互斥，GUC2UC3=S,由全概 率公式，有P(D)=P (G)P (

21、D|Ci)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)d ZC5C4_653C2ii C9 ii C9 ii 9926.二一 已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有是色盲患者。今從男女人數(shù) 相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少解：Ai=男人, A2=女人, B=色盲，顯然 AiUA2=S, AiA2=0i由已知條件知P(Ai) P(A2)扌P(B|A)5%, P(B|A2) 0.25%由貝葉斯公式，有C3為“從第一盒子中取得i 只紅球，i 只白球”，20二十二一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次及格則第二次及格的概率

22、也為P;若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少2有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第 i 次及格，i=1,2已知 P （A1）=P （A2|A1）=P，P（A2A）P2（1）B=至少有一次及格所以B 兩次均不及格 A1A2-P(B) 1P(B) 1P(AA2)1P(A)P(A2A)11P(A)1P(A2|A)1 (1 P)(1P) |PP22 2 2(2)P(AA2)由乘法公式，有 P (A1A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有P(A2) P(A1)P(A2| A1) P

23、(A1)P(A2| A1)P(A |B)P(AB)P(B)P(A)P(B|Ai)P(AJP(B| A) P(A2)P(B| A?)1_5_21001_5_2 10012521000021(*)2028二十五某人下午 5:00 下班，他所積累的資料表明:將以上兩個結(jié)果代入（P P (1P2PP)* )得P(A1| A2)P2P2P2PP 132.二 卜六（2）如圖 1 , 2,- R到家時間5:355:395:405:445:455:495:505:54遲于 5:54乘地鐵到家的概率乘汽車到家的概率某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47 到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)

24、A= “乘地鐵”，B= “乘汽車”，C= “5:455:49 到家”，由題意，AB= ,AUB=S已知：P (A)=, P (C|A)=, P (C|B)=, P (B)=由貝葉斯公式有29.二十四有兩箱同種類型的零件。第一箱裝 5 只，其中 10 只一等品；第二箱 30只，其中 18 只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一 只，作不放回抽樣。試求（1 ）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。P(A|C)P(C | A)P(A)0.5 0.451 1 P(C| A)yP(C|B)-0.450.65913

25、 .6923解：設(shè) Bi表示“第 i 次取到一等品”i=1, 2Aj表示“第 j 箱產(chǎn)品” j=1,2，顯然A1UA2=SA1A2= $(1)P(BJ1! 丄22 502 300.4（B1= A1B +A2B 由全概率公式解）1 10 91 1817PB2)P(B2|B1)P(B1)2 50 49230 290.485725（先用條件概率定義，再求P （B1B2）時，由全概率公式解）L表示繼電器接點，假設(shè)每一繼電器接點閉合 的概率為 p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨 立，求 L 和R 是通路的概率。記 Ai表第 i 個接點接通記 A 表從 L 到 R 是構(gòu)成通路的。A=AIA2+ A1A3A5+

26、A4A5+A4A3A2四種情況不互斥P (A)=P (AIA2)+P (AlA3A5)+P (A4A5)+P (A4A3A2) P(AlA2A3A5)+ P (A1A2A4A5)+ P (A1A2A3A4) +P (A1A3A4A5)+ P (A1A2A3A4A5) P (A2A3A4A5)+ P (A1A2A3A4A5)+ P (A1A2A3A4A5)+ (AlA2A3A4A5) + P (AlA2A3A4A5) P (AlA2A3A4A5)又由于 Al, A2, A3, A4, A5互相獨立。故P (A)=p2+ p3+ p2+ p3 p4+p4+p4+p4+p5+p4+ p5+ p5+

27、p5+ p5 p5=2 p2+ 3p3-5p4+2 p5二十六（1 ）設(shè)有 4 個獨立工作的元件 1, 2 , 3, 4。它們的可靠性分別為 Pi, P2,P3, P4,將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記 Ai表示第 i 個元件正常工作，i=1, 2, 3, 4,A 表示系統(tǒng)正常。A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4) P (A1A2A3A4)(加法公式)=P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4) P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)4=P1P2P3+ P1P4 P1P2P3P434.

28、三一-袋中裝有 m 只正品硬幣，n 只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽） 在袋中任取一只，將它投擲r 次， 已知每次都得到國徽。 問這只硬幣是正品的概率為多(A1, A2, A3, A4獨立)解：設(shè)“出現(xiàn) r 次國徽面” =Br“任取一只是正品” =A由全概率公式，有1rnrP(Br) P(A)P(BrI A) P(A)P(Br| A)( )r1rm n 2 m n（條件概率定義與乘法公式）35.甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為，。飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為，被兩人擊中而被擊落的概率為，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊 落。求飛機(jī)被擊落的概率。解：高 Hi表示飛機(jī)被 i

29、 人擊中，i=1 , 2, 3。Bi, B2, B2分別表示甲、乙、丙擊中飛B1B2B3B1B2B3B1B2B3，三種情況互斥。H2B1B2B3B1B2B3B1B2B3三種情況互斥H3B2B2B3又 B1, B2, B2獨立。P(HJ P(BJP(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)0.4 0.5 0.3 0.60.5 0.3 0.6 0.5 0.70.36Pg) P(BJP(B2)P(B3)P(BP(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)0.4 0.5 0.3P(A|Br)P(A)P(Br| A)P?BJ(1)rHi又因:A=HIA+H2A+H

30、3A三種情況互斥+XX+xx =P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=XX =故由全概率公式，有P (A)= P(Hi)P (A| HI)+P (H2)P (A| H2)+P (H3)P (AH3)=x+X+X1 =36.三十三 設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運輸某種物品損壞2% (這一事件記為Ai), 10% (事件 A2)，90% (事件 A3)的概率分別為 P (AI)=, P (A2)=, P (A2)=，現(xiàn)從中隨 機(jī)地獨立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這一事件記為B),試分別求 P (Ai| B) P (A2|B),P (A3|B)(這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不

31、影響取第二件的概率，所以取第一、 第二、第三件是互相獨立地) B 表取得三件好物品。B=AiB+A2B+A3B三種情況互斥由全概率公式，有P (B)= P(Ai)P (B|AI)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)37.三十四將 A, B, C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a,而輸 出為其它一字母的概率都是 (1 a)/2。今將字母串 AAAA, BBBB CCCC 之一輸入信道， 輸入 AAAA, BBBB, CCCC 的概率分別為 P1, p2, p3P(AB)P(A)P(B|AJ0.8 (0.98)3P(B)P(B)0.8624P(A2B)P(A2)P

32、(B|A2)0.15 (0.9)3P(B)P(B)0.8624P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.05 (0.1)3P(B)P(B)0.8624P(A |B)P(A2|B)P(AJB)0.87310.12680.0001又因:A=HIA+H2A+H3A三種情況互斥(p1+p2+p3=1),已知輸出為 ABCA,問輸入 的是 AAAA 的概率是多少(設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的。)解：設(shè) D 表示輸出信號為 ABCA, B1、B2、B3分別表示輸入信號為 AAAA, BBBB, CCCC 則 B1、B2、B3為一完備事件組，且 P(B)=R, i=1,2, 3。再設(shè) A 發(fā)、A 收分

33、別表示發(fā)出、接收字母A,其余類推，依題意有P （A收| A發(fā)）=P （B收| B發(fā)）=P （C收| C發(fā)）=a,P （A收| B發(fā)）=P （A收| C發(fā)）=P （B收| A發(fā)）=P （B收| C發(fā)）=P （C收| A發(fā)）=P （C收| B發(fā)）=1；又 P （ABCA|AAAA）= P （D | B） =P （A收| A發(fā)）P （B收| A發(fā)）P （C收| A發(fā)）P（A收| A發(fā)）P （D | B） =P （D | B） =a（七衛(wèi)）3于是由全概率公式，得3P（D）P（Bi）P（D|Bi）i 1Pia2（牙）2（R P3）a號）3由 Bayes 公式，得二十九設(shè)第一只盒子裝有 3 只藍(lán)球，2 只

34、綠球，2 只白球；第二只盒子裝有 2 只 藍(lán)球，3只綠球，4 只白球。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍(lán)球的概率，（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。解：記厲、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。（1 ）記 C=至少有一只藍(lán)球C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1， 5 種情況互斥由概率有限可加性，得同樣可得P （AAAA|ABCA）= P （Bi| D）=P（Bi）P（D|BJPW2aR（1a） （P2P3）P

35、(C) P(AiB) P(AIB2)P(AB3)P(A2BI) P(A3BJ 獨立性 P(A)P(BI)P(A)P(B2)P(A)P(B3)P(A2)P(BI) P(A3)P(BI)323334222257979797979 9(2) 記 D=有一只藍(lán)球，一只白球 ，而且知 D= A1B3+A3B1兩種情況互斥P(D) P(AIB3P(A3BI) P(AI)P(B3)P(A3)P(BJ1663P(CD) P(D) 16P(C) P(C) 35三十A, B, C 三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計知，打給A, B,C 的電話的概率分別為 -,-,-。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A，B, C

36、三人外出的概率555分別為丄，丄-，設(shè)三人的行動相互獨立，求244(1)無人接電話的概率；(2)被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進(jìn)了3 個電話，求(3)這 3 個電話打給同一人的概率； (4)這 3 個電話打給不同人的概率； (5) 這 3 個電話都打給 B，而 B 卻都不在的概率。解：記 G、C2、G 分別表示打給 A，B，C 的電話Di、D2、D3分別表示 A，B，C 外出注意到 G、C2、C3獨立，且P(C1) P(C2) -, P(C3)丄551 1P(DJ 寸，P(D2)P(D3)寸(1)P (無人接電話)=P(D1D2D3)= P (DI)P (D2)P(D3)1111244

37、32(2)記 G= “被呼叫人在辦公室” ，G C1D? C2H C3DI三種情況互斥，由有(3)P(D |C)(注意到 CD D)限可加性與乘法公式(3)H 為“這 3 個電話打給同一個人”22222211117(H )555555555125（4）R 為“這 3 個電話打給不同的人”22145 5 5 125（5）由于是知道每次打電話都給B,其概率是 1，所以每一次打給 B 電話而 B 不在的概率為1，且各次情況相互獨立4第二章 隨機(jī)變量及其分布1.一 一袋中有 5 只乒乓球，編號為 1、2、3、4、5,在其中同時取三只，以 X 表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量 X 的分布律解：

38、X 可以取值 3，4，5，分布律為P(G) P(CiDJ P(C2D2)P23D3) P(CJP(瓦|CI)P(C2)P(|C2)Z丄221213?75720由于某人外岀與P（C3）P（DI |c3）否和來電話無關(guān)故P（瓦|Ck）P（瓦）R 由六種互斥情況組成，每種情況為打給A, B, C 的三個電話，每種情況的概率為于是P（R）12524125于是P（3 個電話都打給 B，B 都不在的概率）P(X3)P（一球為 3 號,兩球為 1,2 號）丄辛C53110P(X4)P（球為 4 號，再在 1,2,3 中任取兩球）P(X5)P（一球為 5 號，再在 1,2,3,4 中任取兩球1 C：C53)1

39、 C2310610也可列為下表X:3,P:丄104, 53610,103.三不放回抽樣,設(shè)在 15只同類型零件中有以 X 表示取出次品的只數(shù),2 只是次品，在其中取三次，（1）求 X 的分布律，（2）每次任取一只，作畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X 可能為 0，1，2 個。P(X0)Cn22CT 亦P(X1)c；c!3C351235P(X2)c2c1213c3c15135再列為下表P八111111O12*xX:0, 1,p.22 1235，351354.四進(jìn)行重復(fù)獨立實驗，將實驗進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以(1)設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為 q =1 - p（0p% nn

40、 r 1/*% nnrc ” cP(Y r n) Cr n iq p p Cr n iq p , n 0,1,2,或記 r+n=k，貝 U PY=k=C；1pr(1 p)k r, k r, r 1,(3) P (X=k) =kk=1,2 6.六一大樓裝有 5 個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻t 每個設(shè)備使用的概率為，問在同一時刻(1) 恰有 2 個設(shè)備被使用的概率是多少P(X 2) C5 p2q5 2C5 (0.1)2(0.9)30.0729(2) 至少有 3 個設(shè)備被使用的概率是多少332 4 455P(X3)C53(0.1)3(0.9)2C5 (0.1)4(0.9) C；(0.1)5

41、0.00856(3) 至多有 3 個設(shè)備被使用的概率是多少P(X3)C?(0.9)5C50.1 (0.9)4C；(0.1)2(0.9)3C3(0.1)3(0.9)20.99954(4) 至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少P(X 1) 1 P(X 0)1 0.59049 0.40951五一房間有 3 扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假 定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。(1)以 X 表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X 的分布律。(2) 戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試

42、不多于一次。以 Y 表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的，試求Y 的分布律。(3)求試飛次數(shù) X 小于 Y 的概率；求試飛次數(shù) Y 小于 X 的概率。解：(1) X 的可能取值為 1, 2, 3,，n,P X=n=P 前 n1 次飛向了另 2 扇窗子，第 n 次飛了出去(2)Y 的可能取值為 1, 2, 31,其中 q=1 p,P(X 取偶數(shù))=P(X 2k)k 12k 1(0.55)0.45k 11132,2 113 23P Y=1=P 第 1 次飛了出去=才P Y=2=P第 1 次飛向 另 2 扇窗子中的一扇，第 2 次飛了出去P Y=3=P 第 1 , 2 次飛向了

43、另 2 扇窗子，第 3 次飛了出去2!13!33PX Y PY kPX Y|Y kk 13PY kPX Y|Y kk 2全概率公式并注意到PX Y|Y 103PY k P X kk 2丄丄1丄_2丄833333327注意到 X,Y 獨立即PX Y |Y kPX k3同上，PX Y PY kPX Y|Y kk 1PYk 1kPX11 1_2 1A1933932781故PY X 1 PX Y PX Y）818.八甲、乙二人投籃，投中的概率各為，令各投三次。求（1）二人投中次數(shù)相等的概率。記 X 表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y 表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。P (X=

44、Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)=P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P(Y=3)=3x3+ C30.6 (0.4)2 C30.7 (0.3)222223C3(0.6)0.4 C3(0.7).3 (0.6)(0.7)30.321(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率。P (XY=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P(X=2,Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P(Y=2)=P (X=1) P (Y=

45、0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+2 113 23P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=C30.6 (0.4)2 (0.3)3C3(0.6)20.4(0.3)8C32(0.6)20.4 C30.7(0.3)2(0.6)3(0.3)3(0.6)3C30.7(0.3)2(0.6)3Cf (0.7)20.30.2439.十有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各 種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。（1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗 猜對的，還是他確

46、有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗是相互獨立的。（2）P（連續(xù)試驗10次，成功3次）=&30尙）3疇）7際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。九有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10 件，經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2 拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng) 5 件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率（2）需作第二次檢驗的概率（3）這批產(chǎn)品按第 2 次檢驗的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第 1 次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X 表示 10 件中次品的個數(shù)，Y 表

47、示 5 件中次品的個數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故 XB（ 10,）, 丫七（5,）（近似服從）（1）P X=0=（2）P XW2=P X=2+ P X=1=C2）0.120.9800.1 0.990.581（3）P Y=0=5(4) P 0X 2, Y=0 (0X 2與 Y=2獨立)解：（1）P （一次成功）=1704 杯。如果從中挑 4 杯，能將甲10 次，成功 3 次。試問他是）310000。此概率太小，按實2 113 23=P 0X 2P Y=0=X (5)P X=0+ P O 8) P (X 9)(查入=4 泊松分布表)。(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10 的概率。P (X10)=P (X 1

48、1)=(查表計算)葉二(2)每分鐘呼喚次數(shù)大于 3 的概率。PX 3 PX 40.566530十六以 X 表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時間(以分計)，X 的分布函數(shù)是4P至多 3 分鐘或至少 4 分鐘= P至多 3 分鐘+P至少 4 分鐘Fx(x)0.4 xe=X (5)P X=0+ P O4) =1FX(4) e._, 1 2(3)P3 分鐘至 4 分鐘之間= P 3Xw4=FX(4) FX(3) e.e(5)卩恰好分鐘= P (X=00,x 1,18.十七設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為Fx(x) ln x,1 x e,1, x e.求(1) P (X2), P 0XW3,

49、 P (2X52)； (2)求概率密度 fx(x). 解: (1) P (X 2)=Fx(2)= ln2,P (0X 3)= Fx(3) Fx(0)=1,P(2 X寺FX(2)FX(2) lnj ln2 In號解: (1) P至多 3 分鐘= P Xw3 =Fx(3)1 e1.2(1) P至多 3 分鐘; (2) P 至少 4 分鐘; ( 3)P3 分鐘至 4 分鐘之間;(4) P至多 3 分鐘或至少 4 分鐘; ( 5) P恰好分鐘e1.2e1.60012(2)f(x) F(x)丄,1 x e,x0,其它20.十八(2)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f (x)為(1)f(x)2,1 x21 x 1其

50、它x 0 x 1f(x) 2x1x20 其他求 X 的分布函數(shù) F (x)，并作出(2)中的 f (x)與 F (x)的圖形。解：當(dāng)一 1 x 1 時:1F(x) 0dx1 x2dx x(1nn2x2X1 . arcs in x211 1 arcs in xn當(dāng) 12 時，方程有實根。P(K 2)2 f(x)dx：*dx Odx25.二十三設(shè) XN ()(1)求 P (2XW5),P (-4)2,P(X3)若 XN (卩，d2),則 P(aXWCTCT53P (2XW5) =$=$(1)$(P ( 4X2)=1 P (| X|2)= 1 P ( 2P3)=1P (XW3)=1 0(2)決定 C

51、 使得 P(X C)=P (XWC)P (X C)=1 P (X C)= P (X C得P (XWC)=丄=2又C 3C 3P (XWC)=00.5,查表可得0 C =32 226.二十四2某地區(qū) 18 歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以 mm-Hg 計）服從N（110,12 ）在該地區(qū)任選一 18 歲女青年，測量她的血壓 X。求一 x 110查表得 p1.645.x 110 19.74129.74.故最小的 X129.7427.二十五由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為卩=,c=的正態(tài)分布。規(guī) 定長度在范圍土內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少設(shè)螺栓長度為 XPX 不屬于，+=1 P X+

52、=100(2)=1知）的正態(tài)分布，若要求 P （120vXW200 =，允許6最大為多少(1)P (X105) P (100 x）W.(0.4167)1(0.4167)10.66160.3384P(100 X120) (12(100 11012（卻52卓)12 (0.8333)10.7976 10.5952(2) P(Xx) 1 P(X x)(x 110)(12)x0.05(-護(hù))0.95.=1 (10.05 0.12)10.05006(10.05 0.12)10.050.0628.二十六一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X （以小時計）服從參數(shù)為卩 =160,6（未P (120vXW200)=2001

53、60120 16040凹0.80又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有0(x)=1-0(x)上式變?yōu)?400.80(T(T解出 竺便得：坐0.9再查表，得坐1.281T4031.25T1.28130.二十七設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為：X: 2,1,0,1,3c111111P:5651530求 Y=X2的分布律Y=X2: ( 2)2(1)2(0)2(1)22P:+丄丄1651530再把 X2的取值相同的合并, 并按從小到大排列, 就得函數(shù)Y 的分布律為Y:0 149彳 1111P:1561553031.二十八 設(shè)隨機(jī)變量X 在 (0 , 1) 上服從均勻分布(1)求丫=密的分布密度 X的分布密度為：f(x)1出:J

54、70 x 為其他Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h (Y)=l nY,反函數(shù)存在且a= mi ng (0), g (1)=mi n(1, e)=1maxg (0), g (1)=max(1, e)= e1Y的分布密度為：嘰y)fh(y)|h(y)| 171ye0y 為其他(2) 求 Y=2lnX 的概率密度。/Y= g(X)=2l nX 是單調(diào)減函數(shù)Y又X h(Y) e2反函數(shù)存在。a=ming (0), g (1)=min(+ , 0 )=0滬 maxg (0), g (1)=max(+ , 0 )= +Y 的分布密度為：嘰y)fh(y) |h(y)| 132.二十九設(shè) XN (0,

55、(1)求 Y=eX的概率密度Y= g (X)=eX是單調(diào)增函數(shù)X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在a= ming ( 8), g 什8)=min(0, +8)=03= maxg (), g 什)= max(0, +8)= +8Y 的分布密度為：1業(yè)1嘰y)fh(y)|h(y)|2ne 270y0y 為其他(2)求 Y=2W+1 的概率密度。在這里，Y=2W + 1 在(+8,8)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。 設(shè)Y 的分布函數(shù)是 FY(y),則FY( y)=P (Y y)=P (2X2+ 1 y)當(dāng) y 1 時：Fy(y) P彳號X、:專1- 2ndxy 12y_1當(dāng) y1 時，(y

56、)= FY( y)=2、n i)y 1e_(3)求 Y=| X |的概率密度。 Y 的分布函數(shù)為FY( y)=P (YWy )=P ( | X |Wy)當(dāng) y0 時，F(xiàn)Y( y)=0當(dāng) y0 時，F(xiàn)Y( y)=P (| X |wy )=P (-y0 時：“ (y)= FY( y)=yey- 2n33.三十(1)設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f (x),求 Y = X3的概率密度。Y=g (X)= X3是 X 單調(diào)增函數(shù)，X=h (Y) =Y3，反函數(shù)存在，a= ming ( 8), g什8)=min(0, +8)=g3= maxg ( 8), g什8)= max(0, +8)= +8Y 的分布

57、密度為：“ (y)= fh ( h ) | h ( y)| =丄1f(y3) -y(0) 0(2)設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為1 的指數(shù)分布,法一： X 的分布密度為:f(x)當(dāng) x0當(dāng) x0Y=x2是非單調(diào)函數(shù)時 y=x2反函數(shù)是時 y=x2fY(y) =f (、y)( . y)yf(、y)(、y)Y=X2的概率密度。1ex20尸e 一 e , y 0=2, y2,y0y 0法二：丫FY(y) P(Y y) P( X . y) P(X . y) P(X, y)yexdx 0 1 ey,y 000, y 034.三一 設(shè) X 的概率密度為求 Y=sin X 的概率密度。vFY( y)=P (Yy

58、)=P (si nXWy)當(dāng) y0 時：FY( y)=0當(dāng) 0y1 時：FY( y) = p (sinXWy) = P(0Xarc sin y 或narc sin yWXnarcsin y2x=亍 dx02n當(dāng) 1y 時：FY( y)=1 Y 的概率密度” (y )為:y0 時，(y )=FY( y) = (0 ) = 01y 時，(y )= FY( y) =(1)= 036.三十三某物體的溫度 T(F )是一個隨機(jī)變量，且有TN (, 2),試求0()的丫fY(y) =2Aye 70y 0.y 0.f(x)2x2n0Oxnx 為其他2xdxarcs in yarcs in y2x0y1時小(

59、y)=【FY(y)=。2dxnnarcs in y2|dxn且a= ming (), g 什)=min (, +)= g3= maxg (), g 什)= max(, +8)= +8B的概率密度”（e）為2（e）fh（e）|h（e）|9(-032 98.6)22n2 &概率密度。已知e詈仃32）法一： T 的概率密度為f（t）/(t 98.6)2_1_&羽-廠25又eg(T) |(T 32)9Th(e)- e5是單調(diào)增函數(shù)。32反函數(shù)存在。81(037)29&10010.n&取一只?？紤]兩種試驗：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量 X, Y 如下

60、:法二：根據(jù)定理：若 XN（ai,01),則Y=aX+b N (a a +b, a0)由于 TN (, 2)5N 98.691609-故e的概率密度為:第三章33329229 - e10.81(10037)2多維隨機(jī)變量及其分布1. 一 在一箱子里裝有 12 只開關(guān)，其中 2 只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次0,若第一次取出的是正品 X1,若第一次取出的是次品0,若第二次取出的是正品 Y1,若第二次取出的是次品試分別就(1) (2 )兩種情況，寫出 X 和 Y 的聯(lián)合分布律。解：(1)放回抽樣情況由于每次取物是獨立的。由獨立性定義知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)或?qū)懗?2)不放回抽樣的情況101025