有關(guān)圓錐曲線的經(jīng)典結(jié)論

1、有關(guān)解析幾何的經(jīng)典結(jié)論一、橢 圓1.點(diǎn)P處的切線PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的外角.除去長(zhǎng)軸2.PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓,的兩個(gè)端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離4. 以焦點(diǎn)半徑PF為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切x25. 若Po(Xo, yo)在橢圓a2X6. 若Po(Xo, yo)在橢圓a2爲(wèi) 1上，則過(guò)F0的橢圓的切線方程是 竽ba2篤 1外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為byoy1P、P2,則切點(diǎn)弦PP2的直線方程是竽a27.橢圓務(wù)ayoyb22*11.(a >b>0)的左右焦點(diǎn)分別為Fi, F

2、2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為2Sf1 pf2 bt形.第6頁(yè)，共7頁(yè)2 2a exo (Fi( c,0),X y8.橢圓務(wù) 1 ( a > b > 0)的焦半徑公式：I MFj I a eX) , | MF2 | a bF2(g0)m (Xo, yo).9.設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn),A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝y MFL NF.10.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)PQ, Ai、A為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn),AiP和AQ交于點(diǎn)M AP和AQ交于點(diǎn)N,則2 211.AB是橢圓篤與a

3、2b2KK AB2°a yoMFX NF.1的不平行于對(duì)稱軸的弦,M(Xo,yo)為AB的中點(diǎn)，則kOM kABb2a12.若F0(xo, yo)在橢圓2 X 2 a2込 1內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是2baXoXb22Xo2a2b213.若Rdo, yo)在橢圓2 2 鶴 1內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 ba2 y b2XoX2ayoyb2二、雙曲線1.點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2.PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交4. 以焦點(diǎn)半徑

4、PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)5.若P0(x0,y0)在雙曲線6.若Po(Xo, yo)在雙曲線點(diǎn)弦PiP2的直線方程是2Xp a2X p aX0Xa2 y_ 1 b212r 1b21y0y(a > 0,b > 0)上，則過(guò)P0的雙曲線的切線方程是X0X2a(a>0,b >0) 外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為1.2 27.雙曲線221 ( a> 0,b > 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)a bP為雙曲線上任意一點(diǎn)則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為SFiPF2嘰.y0y 1Pi、P2,則切F1PF22 28.雙

5、曲線2 2 1 ( a> 0,b > 0) a b當(dāng)M (X0, y0)在右支上時(shí)，當(dāng)M(X0,y0)在左支上時(shí)，的焦半徑公式:| MF1 | eX0| MF1 | eX0(Fi( c,0),F2(c,0)a.a, | MF21 eX0a , | MF2 | eX0 a9.設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝y MFI NF.10.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),AiP和AaQ交于點(diǎn)M AP和AQ交于點(diǎn)N,貝U MF1 NF.11.A

6、B是雙曲線KOM K AB2X2ab2X01 ( a > 0,b > 0)的不平行于對(duì)稱軸的弦,M(X0,y0)為AB的中點(diǎn)，則2a y。，即Kab12.若P0(X0, y。)在雙曲線2 X 2 ab X。a y2與 1 ( a > 0,b > 0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是bX0XTaYcy22X0 y0 r TT a b13.若2XP0 (X0, y0)在雙曲線a2y勺 1 ( a > 0,b > 0 )內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是b2 X 2 ay2XqXaYcyb2 .橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)橢(會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論) 圓21.橢圓X2a2b2

7、1 (a>b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1( a,0) , A2(a,0),與y軸平行的直線交橢圓于PP時(shí)AP與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是2 22X-L12. 2I a b(a >0, b >0)上任一點(diǎn)A(X0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn),則直線BC有定向且kBC2a yb2X0 (常數(shù)).3.若P為橢圓1 ( a>b>0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn)，PF1F2PF2F1，則tan?cot2.24.設(shè)橢圓篤a(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在P F1F2中，記 RP

8、F2PF1F2F1F2 P，則有一Sin一sin sin(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)0vew1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng).X26.p為橢圓a2y吉 1 ( a >bb > 0 )上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)定點(diǎn)，則2a IAF2I |PA|PF1I 2a| AF1 |,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2, P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.7.橢圓(X X0)(y y。)22a«2 22, 2A aB b2X8.已知橢圓a1(AX02y_b2b22By0 C).1與直線 Ax By C 0有公

9、共點(diǎn)的充(a > b > 0) , O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP要條件是OQ . (1)1|OP|2 |OQ|22b2 |PF | | MN |2X10.已知橢圓a29.過(guò)橢圓務(wù)a軸于P,則P(Xo,O),則2 y b22aX211.設(shè)P點(diǎn)是橢圓a1;(2) |OP|2+|OQ|2 的最大值為2ba4 2b 2篤；(3) S OPQ的最小值是 b2(a>b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于b22 y b22 b22-2a b272 .a bM,N兩點(diǎn)，弦 MN的垂直平分線交X> b>0),A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與 X軸

10、相交于點(diǎn)2.2a bXo> b > 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記F1PF2，則(1) | PFj PF2| .(2)1 cosPF1F25.x212.設(shè)A、B是橢圓a271(a > b > 0 )的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)， PAB有關(guān)解析幾何的經(jīng)典結(jié)論2PBABPAc、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有2ab |cos |(1) |PA| -2-J .(2)a c costan tan2 22c2a b 丄e .(3) S PAB2 cotb a13.已知橢圓1 ( a > b>0)的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢

11、圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BC X軸，則直線 AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切15.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16.橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注 :在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)17.橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18.橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)雙曲線2 21.雙曲線務(wù)與a2 b21 ( a&

12、gt;0,b > 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1( a,0) , A (a,0)，與y軸平行的直線交雙曲線于P、2 2XyP2時(shí)A P1與AaP2交點(diǎn)的軌跡方程是 1 .ab22.過(guò)雙曲線務(wù)a2占 1 (a> 0,b > o)上任一點(diǎn) A(Xo, yo)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于bB,C兩點(diǎn)，則直線b2xBC有定向且kBc pA (常數(shù)).2a y。23.若P為雙曲線一2a1 (a>0,b > 0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F2是焦點(diǎn)，PF1F2PF2F1，則tan cot (或-22 c atan cot ).2 2第8頁(yè)，共7頁(yè)24.設(shè)雙曲線X

13、aF2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，在2苕1 (a> 0,b >0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、 PF1F2 中，記F1PF2PF1F2F1F2 P，則有Sin - e.(si nsin ) a有關(guān)解析幾何的經(jīng)典結(jié)論第12頁(yè)，共7頁(yè)2 25.若雙曲線冷a b1 (a> 0,b >0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)1 < ew J2 1時(shí),可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PFi是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).2x6.P為雙曲線篤a2與 1 ( a > 0,b > 0)上任一點(diǎn),F 1,F 2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則b| AF

14、2 | 2a|PA| | PFi |,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2, P三點(diǎn)共線且P和A, F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.2x7.雙曲線a8.已知雙曲線2 y 孑2xa1 ( a> 0,b > 0)與直線 Ax By C0有公共點(diǎn)的充要條件是.22A aB2b2C2.1 |0P?2yb211 (b> a > 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且0P0Q.29.過(guò)雙曲線務(wù)a|OQ I22分線交x軸于P,2x10.已知雙曲線飛a點(diǎn) P(Xo,O),則Xo2x11.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線一2"a1122“ 冃，+、， 4a 2b2c;(2) IOPI +IOQI 的最小值為

15、2 ； (3) S OPQa bb a(a> 0,b > 0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于的最小值是M,N兩點(diǎn)，弦則2.1 MN I 22每 1 (a > 0,b > 0) ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與 ba2 b2或X0a22 .2a b則 |PFi II PF2 |71 (a>0,b > 0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)b2b2.(2),F1、F2為其焦點(diǎn)記12.設(shè) A、B是雙曲線1 cos2xa2 y b2PBABPA tantanPFiF2b2cot-(a > 0,b > 0 )的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，Pe分別是雙曲線的半焦距

16、離心率，則有_ 2, 2c2 a bS PAB72cotb a是雙曲線上的一點(diǎn),213.已知雙曲線篤a22b21 (a > 0,b > 0)的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點(diǎn)a2b2 b2 aMN的垂直平x軸相交于F1PF2PAB2， 2ab I cos IPA 222_II a c cos IE ,過(guò)雙曲線右焦點(diǎn) F的直線與雙曲線相交于 A B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BC x軸，則直線 AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14.過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15.過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連

17、線必與焦半徑互相垂直16.雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)）.17.雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18.雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng)其他常用公式:1.連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng)，常用的弦長(zhǎng)公式：ABJ1 k2 卜1X22.直線的一般式方程：任何直線均可寫成加+ 0y+U = °（A,B不同時(shí)為0）的形式。0的直線）_ Ig-Gl 必十護(hù)。3.

18、知直線橫截距心，常設(shè)其方程為兀=傑+嗎（它不適用于斜率為與直線/：加+砂+0=0垂直的直線可表示為 吐/丁十y44.兩平行線"F+GUM+啟* = 0間的距離為 5.若直線人：*+£法心=0與直線&時(shí)也葉0平行則A為叢=0 （斜率）且耳1也工0 （在丁軸上截距）（充要條件）6.圓的一般方程：*，特別提醒：只有當(dāng)DHk'-4F>0時(shí),3 a+丘2 -4廳方程K +_y 4D工斗即+0才表示圓心為 '、工，半徑為2的圓。二元二次方 程腫+陽(yáng)+夕+巫+卵+ 10表示圓的充要條件是4UE且占M且0丁+礦-4血>0。（x = 3 +r C03&（日為參數(shù)），其中圓心為Q），半徑為廠。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元.定2 +b =嚴(yán)2 T T =尸 C懐日 j = psin.9 . 74 J j： = r cos 9,y-r