注冊(cè)巖土空間解析幾何與向量代數(shù)

1、注冊(cè)巖土工程師考試 高等數(shù)學(xué)第一節(jié) 空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量代數(shù)1、向量的有關(guān)概念：向量間的夾角、向量的方向角、方向余弦、向量在數(shù)軸上的投影向量的坐標(biāo) 在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影模長(zhǎng)：方向余弦：， 單位向量 2、向量的運(yùn)算：（1）向量的加法：向量加法的平行四邊形法則與向量加法的三角形法則。（2）向量的減法：向量與的和稱(chēng)為與的差，記作。（3）數(shù)與向量乘法：實(shí)數(shù)與向量的乘積是一個(gè)平行于的向量，它的模是向量的模的倍，即，并規(guī)定，當(dāng)時(shí)，與的方向相同，當(dāng)時(shí)，與的方向相反，當(dāng)時(shí)，為零向量。3向量的加法，數(shù)與向量的的乘法有以下運(yùn)算性質(zhì)：（1） 交換律 a+b=b+a（2） 結(jié)合律 （a+b）+c=a+（b+

2、c） （3） 分配律 -向量的數(shù)量積（內(nèi)積） 平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義，ab = |a|b|cosq， 并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。 幾何意義: 數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos的乘積。性質(zhì)：（1） （2）-向量的向量積（外積、叉積）兩向量和的向量積是一個(gè)向量，記為。由下列條件確定：（1），（）。（2）且。（3）、的方向服從右手法則：即平移、使其有共同的始點(diǎn)，當(dāng)右手的四個(gè)手指從以不超過(guò)的角度轉(zhuǎn)向握拳時(shí)，大拇指所指方向就是的方向。向量積又稱(chēng)為叉積或外積，向量積的模的幾何意義是：它的數(shù)值是以、為鄰邊的平行四邊形的面積。 向量的向量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律（1）（2）（為實(shí)數(shù)）

3、（3） -兩向量間的關(guān)系 設(shè) 關(guān)系向量表示向量坐標(biāo)表示間夾角與垂直與平行 二、空間解析幾何 (一)空間解析幾何 1空間解析幾何研究的基本問(wèn)題 （1）已知曲面（線）作為點(diǎn)的幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程。 （2）已知坐標(biāo)和間的一個(gè)方程（組），研究這方程（組）所表示的曲面（線）。 2距離公式 空間兩點(diǎn)與間的距離為 3定比分點(diǎn)公式 是的分點(diǎn)：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)， (二)平面及其方程 1法（線）向量，法（線）方向數(shù)。 與平面垂直的非零向量，稱(chēng)為平面的法向量，通常記成。法向量的坐標(biāo)稱(chēng)為法（線）方向數(shù)。對(duì)于給定的平面，它的法向量有無(wú)窮多個(gè)，但它所指的方向只有兩個(gè)。 2點(diǎn)法式方程 已知平面過(guò)點(diǎn)，

4、其法向量，則平面的方程為 或 其中 3一般式方程 其中不全為零。前的系數(shù)表示的法線方向數(shù)，是的法向量。 特別情形： ，表示通過(guò)原點(diǎn)的平面。 ，平行于軸的平面。 ，平行平面的平面。 表示平面。 6有關(guān)平面的問(wèn)題 兩平面為： 與間夾角垂直條件平行條件重合條件 設(shè)平面的方程為，而點(diǎn)為平面外的一點(diǎn)，則到平面的距離： (三)直線及其方程 1方向向量、方向數(shù) 與直線平行的非零向量，稱(chēng)為直線的方向向量，方向向量的坐標(biāo)稱(chēng)為方向數(shù)。 2直線的標(biāo)準(zhǔn)方程（對(duì)稱(chēng)式方程）。 其中為直線上的點(diǎn)，為直線的方向數(shù)。 3參數(shù)式方程 為參變量。 4一般式方程（作為兩平面的交線）： ，方向向量 5有關(guān)直線的問(wèn)題 兩直線為 , 與間

5、夾角垂直條件平行條件 (四)平面與直線相互關(guān)系 平面的方程為： 法向量 直線的方程為： 方向向量與間夾角（）與垂直條件與平行條件與重合條件上有一點(diǎn)在上 三常見(jiàn)的曲面方程 1球面方程 設(shè)是球心，是半徑，是球面上任意一點(diǎn)，則，即 2旋轉(zhuǎn)曲面的方程 （1）設(shè)是平面上一條曲線，其方程是繞軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面，設(shè)是旋轉(zhuǎn)面上任一點(diǎn)，由點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而來(lái)（點(diǎn)是圓心）。 由得旋轉(zhuǎn)面方程是 或 由參數(shù)方程，得旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)方程 ， （2）求空間曲線繞軸一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程 第一步：從上面聯(lián)立方程解出， 第二步：旋轉(zhuǎn)曲面方程為 繞軸一周或繞軸一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程類(lèi)似地處理。 5二次曲面曲面名稱(chēng)方程曲面名稱(chēng)方程橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面單葉雙曲面雙葉雙曲面二次錐面橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面 (四)空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影 1曲線的方程 曲線在平面上的投影 先從曲線的方程中消去得到，它表示曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面方程，那么 就是在平面上的投影曲線方