二重積分的計(jì)算方法(1)

1、1 利用直角坐標(biāo)系計(jì)算1.1 積分區(qū)域?yàn)閄型或Y型區(qū)域時(shí)二重積分的計(jì)算對(duì)于一些簡(jiǎn)單區(qū)域上的二重積分，可以直接化成二次積分來解決在直角坐標(biāo)系下，被積分函數(shù)在積分區(qū)域上連續(xù)時(shí)，若為型區(qū)域（如圖1），即，其中在上連續(xù)，則有； （1）圖1若為型區(qū)域（如圖2），即，其中在上連續(xù)，則有1 （2）例1 計(jì)算，其中是由，及所圍成 分析 積分區(qū)域如圖3所示，為型區(qū)域確定了積分區(qū)域然后可以利用公式（1）進(jìn)行求解yy=xxy=1D2D1xO2112圖3解 積分區(qū)域?yàn)樾蛥^(qū)域則 圖41.2 積分區(qū)域非X型或Y型區(qū)域二重積分的計(jì)算當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)比較容易求出，但積分區(qū)域并不是簡(jiǎn)單的型或型區(qū)域，不能直接使用公式（1）或者

2、（2）進(jìn)行計(jì)算，這是可以將復(fù)雜的積分區(qū)域劃分為若干型或型區(qū)域，然后利用公式 （3）進(jìn)行計(jì)算，例2 計(jì)算二重積分，其中為直線及所圍成的區(qū)域分析：積分區(qū)域如圖5所示，區(qū)域既不是型區(qū)域也不是型區(qū)域，但是將可劃分為均為型區(qū)域，進(jìn)而通過公式（3）和（1）可進(jìn)行計(jì)算yxOx=2yy=2xx+y=3圖5解 劃分為，則 1.3 被積函數(shù)較為復(fù)雜時(shí)二重積分的計(jì)算二重積分化為二次定積分后的計(jì)算可以按定積分的求解進(jìn)行，但是當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜，雖然能定出積分限，但被積函數(shù)的原函數(shù)不易求出或根本求不出，這時(shí)可根據(jù)被積函數(shù)劃分積分區(qū)域，然后進(jìn)行計(jì)算OyxD1D2圖6例3 計(jì)算二重積分，其中為區(qū)域，分析 由于被積函數(shù)含有絕

3、對(duì)值，其原函數(shù)不能直接求得，以至于不能直接化為二次積分進(jìn)行計(jì)算，觀察函數(shù)本身，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們把積分區(qū)域劃分為，兩部分后，被積函數(shù)在每一個(gè)積分區(qū)域都可以化為基本函數(shù)，其原函數(shù)很容易求得解 區(qū)域如圖6可分為，其中，由公式（3）則2 利用變量變換法計(jì)算定理1 設(shè)在有界區(qū)域上可積，變換，將平面按段光滑封閉曲線所圍成的區(qū)域一對(duì)一地映成平面上的區(qū)域，函數(shù)，在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的雅克比行列式，則 （4）（4）式叫做二重積分的變量變換公式，2.1 根據(jù)被積函數(shù)選取新變量使被積函數(shù)簡(jiǎn)化當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜，這時(shí)可以考慮利用變量變換化被積函數(shù)為簡(jiǎn)單函數(shù)，原積分區(qū)域相應(yīng)的轉(zhuǎn)化為新的積分區(qū)域，進(jìn)而利用公式進(jìn)

4、行計(jì)算例4 求，其中是由所圍曲線（圖7）分析 由于被積函數(shù)含有的指數(shù)，且較為復(fù)雜，這時(shí)可以考慮替換變量，簡(jiǎn)化被積函數(shù)，如果做替換：在變換作用下區(qū)域的原像如圖8所示，根據(jù)二重積分的變量變換公式，積分計(jì)算就簡(jiǎn)單了解 做變換 所以圖8vuODyxO圖72.2 根據(jù)積分區(qū)域選擇新變量計(jì)算二重積分當(dāng)被積函數(shù)比較簡(jiǎn)單，積分區(qū)域卻比較復(fù)雜時(shí)，可考慮積分區(qū)域，若有且，則把平面上的積分區(qū)域?qū)?yīng)到平面上簡(jiǎn)單的矩形區(qū)域，然后根據(jù)二重積分的變量變換公式（4）進(jìn)行計(jì)算例5 求拋物線和直線所圍區(qū)域的面積分析 的面積實(shí)際是計(jì)算二重積分，其被積函數(shù)很簡(jiǎn)單，但是積分區(qū)域卻比較復(fù)雜，觀察積分區(qū)域不難發(fā)現(xiàn)；，如果設(shè)，則有，解 的面

5、積作變換，所以例6 求所圍區(qū)域分析 積分區(qū)域的處理與上題類似，可以做變量替換T：，它把平面上的區(qū)域?qū)?yīng)到平面上的矩形區(qū)域解 令在變換作用下，區(qū)域的原像， 所以2.3 利用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分當(dāng)被積函數(shù)含有、或形式或積分區(qū)域的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便，如圓形及圓形區(qū)域的一部分，可考慮用極坐標(biāo)變換，這個(gè)變換除原點(diǎn)和正實(shí)軸外是一一對(duì)應(yīng)的（嚴(yán)格來說極坐標(biāo)變換在原點(diǎn)和正實(shí)軸上不是一對(duì)一的，但可以證明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式為.（1）如果原點(diǎn)，且平面上射線常數(shù)與積分區(qū)域的邊界至多交于兩點(diǎn)，則必可表示為， 則有 （5）類似地，若平面上的圓常數(shù)與積分區(qū)域的邊界至多交于兩點(diǎn)，則必可表示為

6、，那么 （6）（2）如果原點(diǎn)為積分區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)，的邊界的極坐標(biāo)方程為，則可表示成，則有 （7）（3）如果原點(diǎn)在積分區(qū)域的邊界上，則為，那么 （8）例7 計(jì)算，其中為圓域：分析 觀察到積分區(qū)域?yàn)閳A域，被積函數(shù)的形式為，且原點(diǎn)為的內(nèi)點(diǎn)，故可采用極坐標(biāo)變換，可以達(dá)到簡(jiǎn)化被積函數(shù)的目的解 作變換，則有yx圖 8例8 計(jì)算二重積分，其中是由直線，以及曲線所圍成的平面區(qū)域分析 首先根據(jù)題意，畫出積分區(qū)域，由于積分區(qū)域與一起圍成規(guī)則圖形正方形，且為半圓區(qū)域，根據(jù)極坐標(biāo)變換簡(jiǎn)化被積函數(shù)解 積分區(qū)域如圖15所示，為正方形區(qū)域，為半圓區(qū)域，則有，而，又故原式 2.4 利用廣義極坐標(biāo)變換計(jì)算一些二重積分與極坐標(biāo)類似，

7、作如下廣義極坐標(biāo)變換：并且雅可比行列式同樣有 （9）例9 計(jì)算，其中分析根據(jù)給出被積函數(shù)和積分區(qū)域的形式，我們可以確定采用廣義極坐標(biāo)變換，可以達(dá)到簡(jiǎn)化積分區(qū)域和被積函數(shù)的目的解作廣義極坐標(biāo)變換，由（9）知 3 某些特殊函數(shù)的計(jì)算3.1 利用積分區(qū)域的對(duì)稱性簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算如果 可以分為具有某種對(duì)稱性（例如關(guān)于某直線對(duì)稱，關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱）的兩部分和，那么有如果在上各點(diǎn)處的值與其在上各對(duì)稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù)，那么如果在上各點(diǎn)處的值與其在上各對(duì)稱點(diǎn)處的值恒相等，那么3例10 計(jì)算，其中為雙曲線及所圍成區(qū)域分析 首先根據(jù)題意，在坐標(biāo)系中劃出積分區(qū)域，觀察到為的偶函數(shù)，另一方面關(guān)于軸對(duì)稱，且在在上各點(diǎn)處

8、的值與其在上各對(duì)稱點(diǎn)處的值恒相等，然后再化為累次積分計(jì)算xyOD1D211解 積分區(qū)域如圖11所示：為在第一象限內(nèi)的部分，關(guān)于軸對(duì)稱，又為的偶函數(shù)，由對(duì)稱性有宜選擇先對(duì)后對(duì)的積分次序故原式3.2 分段函數(shù)和帶絕對(duì)值函數(shù)的二重積分計(jì)算分段函數(shù)：首先畫出被被積函數(shù)和積分區(qū)域的圖形，然后根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式將積分區(qū)域劃分成若干個(gè)子區(qū)域，是在每個(gè)子區(qū)域上的被積函數(shù)的表達(dá)式是唯一的，最后再由性質(zhì)加以討論被積函數(shù)帶絕對(duì)值時(shí)，首先去掉絕對(duì)值號(hào)，同樣也將積分區(qū)域劃分成若干個(gè)子區(qū)域，使每個(gè)子區(qū)域上被積函數(shù)的取值不變號(hào)例11 求，其中為圍成的區(qū)域分析 被積函數(shù)表達(dá)式含有絕對(duì)值，為了去掉絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)將積分區(qū)域分成使得的兩部分，在兩部分上分別積分后，再相加解 為去絕對(duì)值號(hào)，將分成若干個(gè)子區(qū)域，即 在內(nèi) 在內(nèi) 故原式，利用極坐標(biāo)計(jì)算有故原式