數(shù)學(xué)建模古塔的變形

1、2013高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模 競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建 模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問 題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的 成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表 述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。 如有違反競賽

2、章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會， 可將我們的論文以任何形式進行 公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表 等）。我們參賽選擇的題號是（從 A/B/C/D中選擇一項填寫）：C我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱爢T（打印并簽名）：1.2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人（打印并簽名）：（論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以 上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取 消評獎資格。）日期：2013年9月13日賽區(qū)評閱編

3、號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）： 賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）： 全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：對古塔變形問題的數(shù)學(xué)建模摘要中國古語有云，“救人一命勝造七級浮屠”，所謂浮屠也就是大眾口中的“塔”。在中國遼闊的大地上，古塔的蹤影隨處可見。它們造型精美、結(jié)構(gòu)巧妙，成為可多得的獨特景觀。早起的古塔，主要是閣樓式的建筑，從唐朝經(jīng)過兩宋至遼、金，是我國古塔發(fā)展的高峰時期，特別是唐和兩宋，古塔的建造達到了空前繁榮度，總量較以前大增，材料也更為豐富，除了木材和磚、石以外，還使

4、用了銅、鐵、琉璃等、材料上有木塔為主轉(zhuǎn)為以石塔為主，平面則由四方形逐漸演變?yōu)榱呛桶私切巍Ｓ捎诠潘ㄔ炷甏眠h，礙于當時的科技技術(shù)，或多或少總存在一些問題，最常見的是地基不均勻沉降，從而導(dǎo)致塔體傾斜。由于古塔建造的年代不同，地質(zhì)情況千差萬別，建造后所經(jīng)歷的人為破壞和自然力破壞也不盡相同，因此對古塔傾斜后處理與加固技術(shù)多種多樣，歸納起來不外乎兩類，即復(fù)位糾偏和加補強。根據(jù)管理部門調(diào)查表，分別 4 次觀測一個上千年的古塔在長時間承受自重、氣溫、風(fēng)力，地震、颶風(fēng)的影響下，古塔會產(chǎn)生各種變形，如傾斜、彎曲、扭曲等，為保護古塔變形情況，文物部門需要適時對古塔進行觀測，了解各種變形情況，以制定必要的保護措

5、施。我們根據(jù) 4 次測量的數(shù)據(jù)，建立了古塔傾斜變形的預(yù)測模型。根據(jù)這個模型，我們可以比較準確的預(yù)測出每一年的變形情況，然后根據(jù)情況文物部對其制定合理的保護措施。針對問題 1，我們首先要根據(jù)這幾年來四次古塔的數(shù)據(jù)變化情況，用建模軟件MATLA制作成模型圖，用數(shù)學(xué)建模中擬合的方法來畫出塔的基本形狀，再確定古塔每 層的中心點，建立中心點擬合線方程模型，觀察是否有傾斜、扭曲、變形等情況。針對問題 2， 古塔傾斜的原因主要與日光照射、 地基活動有關(guān)。 首先朝向陽面的地基水分較少，陰面的地基水分較多，于是1 萬多噸的塔，開始向水分較多，地基松軟的方向傾斜。另外大量的地下水開采影響了地基的穩(wěn)固，而古塔附近的

6、鐵路運輸，也會造成震動。而且，受到地基的不均勻沉降、地震、大風(fēng)等影響，都會有可能傾斜等變形情況。針對問題 3， 根據(jù)管理部門委托的測繪公司的數(shù)據(jù)表來看， 古塔每年都以很小的角度在偏移，由于各種人為或者自然原因，使得古塔慢慢的傾斜為斜塔，斜塔并不一定都會倒塌，只要塔的重心線（通過重心點所引的垂直線）還在塔的底面積范圍內(nèi)，塔就是安全的。因此糾偏要根據(jù)每座塔的具體情況而定。且一般來說，有些塔在傾斜的過程中，原本松軟的地基會被漸漸壓實，然后與傾斜角度構(gòu)成新的平衡，便就此穩(wěn)定下來。關(guān)鍵詞： 古塔 變形 變形趨勢預(yù)測 傾斜 彎曲 扭曲 維護 文物 中心位置0 問題背景在中國遼闊美麗的大地上，隨處都可以看到

7、古塔的蹤影。這些千姿百態(tài)的古塔，其造型之美，結(jié)構(gòu)之巧，雕刻、裝飾之華麗，均堪與我國其它種類的古代建筑相比。然而，在我國早期的古代建筑物中有樓有閣，有臺有榭，有廊有廡，有民居有橋梁有陵墓，唯獨沒有塔。原來塔這種建筑并不是我國的固有類型，而是外國的一種建筑。在傳入我國以后，塔又和我國原有的建筑形式相結(jié)合，形成了一種具有中國民族傳統(tǒng)特色的新的建筑類型。由于古塔距今歷史久遠，期間經(jīng)過各種風(fēng)吹雨打，自然以及人為損壞，因此需要相關(guān)管理部門對古塔做測量，并且針對不同的變形情況制定不同的維護方法，以保證古塔的保留，防止歷史建筑物的坍塌導(dǎo)致文化遺產(chǎn)的流逝與人員傷害。1 問題重述古塔，是中國五千年文明史的載體之一

8、，古塔為祖國城市山林增光添彩，塔被佛教界人士尊為佛塔。矗立在大江南北的古塔，被譽為中國古代杰出的高層建筑。但由于存在時間久遠，受各方面影響，古塔的可能會發(fā)生變形。如果不能及時發(fā)生古塔的變形，去及時維護，古塔就有可能遭受無法挽回的損失。古塔的變形，由于長時間承受自重、氣溫、風(fēng)力等各種作用，偶然還要受地震、颶風(fēng)的影響，古塔會產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護古塔，文物部門需適時對古塔進行觀測，了解各種變形量，以制定必要的保護措施。某古塔已有上千年歷史，是我國重點保護文物。管理部門委托測繪公司先后于1986年 7月、 1996年 8 月、 2009年 3月和 2011 年 3月對該塔進行了

9、 4 次觀測。請你們根據(jù)附件1 提供的 4 次觀測數(shù)據(jù)，討論以下問題：問題1：給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層中心坐標。問題2：分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。問題3：分析該塔的變形趨勢。2 問題分析由給出了的一個古塔實例以及相應(yīng)數(shù)據(jù) （附件 1， 該實例古塔的 4 次觀測數(shù)據(jù)） 的條件下，要求建立該古塔的各層中心位置的通用方法，且列表給出各次測量的古塔各層的中心位置。并進一步分析該古塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況，最后分析該古塔的變形趨勢。問題 1 中要我們確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層中心位置。首先，我們假設(shè)各測量點都是選取得

10、科學(xué)合理的位置，都是圍繞中心點的，并且同一層測量點大致在同一平面上，由已知數(shù)據(jù)（附件1）也可以看出它們是大致在同一平面上。那么，我們由已知條件知道每層給出的各測量點的數(shù)據(jù)，我們通過畫三維圖形可以看出， 那近似于一個的多邊形， 所以我們就可以把問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠖噙呅蔚闹行奈恢?，然后記錄各個中心位置坐標數(shù)據(jù)。問題 2 中要我們分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。我們可以根據(jù)問題 1 中求得的各層的中心位置坐標，然后將各層的中心位置坐標，接連起來，觀察它。理論上正常古塔的中心位置坐標連線應(yīng)該大致是一條垂直于 X 軸和 Y 軸平行 Z 軸的直線。如果中心位置坐標連線，還是直線但不平行于Z 軸了，說明該古塔

11、發(fā)生了傾斜，如果中心位置坐標連線不是一條直線，而是一條有一個弧度的曲線，那么說明該古塔發(fā)生了彎曲，如果中心位置坐標連線不是一條直線，而是一條有多個弧度的曲線，那么說明該古塔發(fā)生了扭曲。問題 3 要我們分析該塔的變形趨勢時，我們通過分析每一個中心點的變化趨勢，來判斷整個塔的變形趨勢，與預(yù)測古塔以后可能會發(fā)生的變形情況。3 模型假設(shè)假設(shè)1：各測量點都是選取的都是科學(xué)合理的位置。假設(shè)2：每層的測量點都是圍繞著這一層的中心點。假設(shè)3：同一層測量點都大致在同一平面上。假設(shè)4：各層測量點構(gòu)成的幾何圖形的中心是與這一層的中心位置相重合的。假設(shè)5：測量點的位置都是古塔上固定的位置。4 符號說明Oj 第 j 層

12、中心；j 層數(shù) j （1、2、3.13） ；i 測量點標記 i（1、2、3.） ；x x軸坐標；y y軸坐標；z z軸坐標；X 擬合線x軸坐標；Y 擬合線y軸坐標；Z 擬合線 z 軸坐標；x0 第 j 層中心的 x 軸坐標；jy0 第j層中心的y軸坐標；z0 第j層中心的z軸坐標；n 測量點數(shù)t 時間t 時間差x x坐標差y y 坐標差z z 坐標差Qxx真實值與計算的近似值之差Qyy真實值與計算的近似值之差M,N,P,a,b,c,d方程中的參數(shù)aj, bj ,Cj ,d j第j層的方程參數(shù)5模型建立與求解5.1確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出古塔各層中心坐標根據(jù)幾何中心計算方法，我

13、們可以得出計算各層中心位置的通用方法。即：我們把每層的8個測量值，分別求x, y, z的均值，得到的坐標就是每層的中心 位置。表1: 1986年各層中心位置樓層中心位置坐標x/my/mz/m1566.6648522.71051.78742566.7196522.66847.32023P 566.7735522.627312.755214566.8161522.594417.07835566.8621522.559121.72056P566.9084522.524426.23517566.9467522.508129.83698566.9843522.492433.35099567.021852

14、2.476436.854910567.0569522.423040.172111567.1045522.423044.440912567.1518522.383648.711913567.0850522.740352.8343塔頂567.2473522.243755.1232表1數(shù)據(jù)分析：我們可以從表中發(fā)現(xiàn)，中心位置的 x軸坐標，在逐漸增加，而y軸坐標在逐漸減 少。而正常的塔，理論而言，x軸和y軸坐標因該是不變的。注：表1數(shù)據(jù)的計算代碼見附件5。結(jié)論：說明該古塔發(fā)生了傾斜變形。表2: 1996年各層中心位置層中心位置坐標x/my/mz/m1566.6650522.71021.78302P 56

15、6.7205522.66747.314613566.7751522.625612.75084F566.8183522.592217.07515566.8649522.556321.71606566.9118522.521026.22957P 566.9506522.504229.832218566.9884522.488133.34549567.0265522.471436.848210567.0620522.457240.167611567.1102522.417344.435412567.1578522.377548.707413567.0912522.734052.8300塔頂567.2

16、543522.236655.1198表2數(shù)據(jù)分析：我們可以從表中發(fā)現(xiàn)，中心位置的 x軸坐標，在逐漸增加，而y軸坐標在逐漸減少。而正常的塔，理論而言，x軸和y軸坐標因該是不變的 注：表2數(shù)據(jù)的計算代碼見附件5。結(jié)論：說明該古塔發(fā)生了傾斜變形。表3: 2009年各層中心位置層中心位置坐標x/my/mz/m1566.7268522.70151.76452566.7640522.66937.30903P 566.8001522.638412.732314566.8293522.613217.06975566.8603522.586621.70946:566.9471522.534226.2110756

17、6.9792522.512329.82468567.0305522.479733.33989567.0816522.446636.843810567.1370522.393740.161111567.1799522.354744.432612567.2225522.316048.699813567.2712522.271552.8183塔頂567.336522.214855.091表3數(shù)據(jù)分析：我們可以從表中發(fā)現(xiàn)，中心位置的 x軸坐標，在逐漸增加，而y軸坐標在逐漸減 少。而正常的塔，理論而言，x軸和y軸坐標因該是不變的。注：表3數(shù)據(jù)的計算代碼見附件5。結(jié)論：說明該古塔發(fā)生了傾斜變形。表4: 2

18、011年古塔各層中心位置坐標層中心位置坐標x/my/mz/m1566.7270522.70141.76322566.7462522.66907.29053566.8004522.638712.72694566.8297522.642717.05205566.8610522.586021.70396P 566.9478522.533526.204517566.9800522.511529.81708567.0313522.478833.33669P 567.0825522.445736.8222110567.1381522.392640.144111567.1810522.353544.4248

19、12567.2238522.314748.683813567.2725522.270152.8131塔頂567.3375522.213555.087表4數(shù)據(jù)分析：我們可以從表中發(fā)現(xiàn)，中心位置的 x軸坐標，在逐漸增加，而y軸坐標在逐漸減少。而正常的塔，理論而言，x軸和y軸坐標因該是不變的 注：表4數(shù)據(jù)的計算代碼見附件5。結(jié)論：說明該古塔發(fā)生了傾斜變形。5.2 分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況 我們由已知的空間直線的標準點向式方程 整理得直線射影式方程a其中M 一 M N7. b x0 7z0, c 7.? ? ?N y0zoP o這樣直線可以看作是用這2個方程表示的平面相交的直線，所以可以分別

20、對2個方程進行數(shù)據(jù)擬合。設(shè)？ a? b表示按擬合方程求得的近似值。一般地，它不同于實測值xi,兩者之 差同理可得當Q取最小值時a, b, c, d的值即為方程的系數(shù)，即滿足下列方程時 Q值最小。有令方程組(6)可寫成其中：根據(jù)n組數(shù)據(jù)點解方程組就可以得到 a, b, c, d的值，也就可以得到擬合線方程。 然后我們就可以通過中心位置點擬合線和擬合線方程來判斷， 古塔是否已經(jīng)發(fā)生傾斜， 彎曲或扭曲。(1)通過前的算法模型，我們建立出1986年中心位置擬合線方程為：注：a, b, c, d參數(shù)的計算彳t碼見附件6。圖1 1986年古塔數(shù)據(jù)綜合分析分析1986年古塔變形情況：通過觀察圖1的第4個子圖

21、，我們可以看出中心位置點基本上都是在擬合線上或 附近的，說明我們的建立的模型正確的，是可靠性較高的模型。我們通過分析表1中心點的位置坐標，中心點x坐標有逐層增加的趨勢，y坐標有 減小的趨勢，然后結(jié)合擬合線方程和圖 4中的第1個子圖，可知中心擬合線不與z軸 平行，有向x軸數(shù)值增加方向傾斜。我們再分析圖 1 中的第 3 個子圖，這是一個府視圖，我們可以觀察到古塔的測量點曲線圖的曲線密集程度分布是不均勻的，也說明古塔發(fā)生變形。注：圖 1 生成的代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以得出古塔發(fā)生了傾斜變形，往x 軸數(shù)值增加方向與y 軸數(shù)值減少方向傾斜。（ 2）通過前的算法模型，我們可以建立起1996 年

22、中心位置擬合線方程為：注： a， b， c， d 參數(shù)的計算代碼見附件6。圖 2 1996 年古塔數(shù)據(jù)綜合分析分析 1996年古塔變形情況：通過觀察圖 2 的第 4 個子圖，我們可以看出中心位置點基本上都是在擬合線上或附近的，說明我們的建立的模型正確的，是可靠性較高的模型。我們通過分析表2 中心點的位置坐標， 中心點 x 坐標有逐層增加的趨勢， y 坐標有減小的趨勢，然后結(jié)合擬合線方程和圖 4 中的第 1 個子圖，可知中心擬合線不與z 軸平行，有向 x 軸數(shù)值增加方向傾斜。我們再分析圖 2 中的第 3 個子圖，這是一個府視圖，我們可以觀察到古塔的測量點曲線圖的曲線密集程度分布是不均勻的，也說明

23、古塔發(fā)生變形。注：圖 2 生成的代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以得出古塔發(fā)生了傾斜變形，往x 軸數(shù)值增加方向與y 軸數(shù)值減少方向傾斜。（ 3）通過前的算法模型，我們可以建立起2009 年中心位置擬合線方程為：注： a， b， c， d 參數(shù)的計算代碼見附件6。圖 3 2009年古塔數(shù)據(jù)綜合分析分析 2009年古塔變形情況：通過觀察圖 3 的第 4 個子圖，我們可以看出中心位置點基本上都是在擬合線上或附近的，說明我們的建立的模型正確的，是可靠性較高的模型。我們通過分析表3 中心點的位置坐標， 中心點 x 坐標有逐層增加的趨勢， y 坐標有減小的趨勢，然后結(jié)合擬合線方程和圖 4 中的第 1 個

24、子圖，可知中心擬合線不與z 軸平行，有向 x 軸數(shù)值增加方向傾斜。我們再分析圖 3 中的第 3 個子圖，這是一個府視圖，我們可以觀察到古塔的測量點曲線圖的曲線密集程度分布是不均勻的，也說明古塔發(fā)生變形。注：圖 3 生成的代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以得出古塔發(fā)生了傾斜變形，往x 軸數(shù)值增加方向與y 軸數(shù)值減少方向傾斜。（ 4）通過前的算法模型，我們可以建立2011 年中心位置擬合線方程為：注： a， b， c， d 參數(shù)的計算代碼見附件6。圖 4 2011 年古塔數(shù)據(jù)綜合分析分析 2011 年古塔變形情況：通過觀察圖 4 的第 4 個子圖，我們可以看出中心位置點基本上都是在擬合線上或附近

25、的，說明我們的建立的模型正確的，是可靠性較高的模型。我們通過分析表4 中心點的位置坐標， 中心點 x 坐標有逐層增加的趨勢， y 坐標有減小的趨勢，然后結(jié)合擬合線方程和圖 4 中的第 1 個子圖，可知中心擬合線不與z 軸平行，有向 x 軸數(shù)值增加方向傾斜。我們再分析圖 4 中的第 3 個子圖，這是一個府視圖，我們可以觀察到古塔的測量點曲線圖的曲線密集程度分布是不均勻的，也說明古塔發(fā)生變形。注：圖4生成的代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以得出古塔發(fā)生了傾斜變形，往 x軸數(shù)值增加方向與y軸 數(shù)值減少方向傾斜。表5:各層兩次測量期間中心位置變化情況1996-19862009-19962011-20

26、09變 化 量10.0002-0.0003-0.00440.0618-0.0087-0.0185r 0.0002 1-0.0001-0.001320.0009-0.0010-0.00560.04350.0019-0.0056-0.0178-0.0003-0.018530.0016-0.0017-0.00440.02500.0128-0.01850.00030.0003-0.005540.0022-0.0022-0.00320.01100.0210-0.0054P 0.0004 10.0295-0.017750.0028-0.0028-0.0045-0.00460.0303-0.00660.00

27、07-0.0006-0.005660.0034-0.0034-0.00560.03530.0132-0.01850.0007-0.0007-0.006570.0039-0.0039-0.00470.02860.0081-0.0076P 0.0008 1-0.0008-0.007680.0041-0.0043-0.00550.0421-0.0084-0.00560.0008-0.0009-0.003290.0047-0.0050-0.00670.0551-0.0248-0.00440.0009-0.0009-0.0216100.00510.0342-0.00450.0750-0.0635-0.0

28、0650.0011-0.0011-0.0170110.0057-0.0057-0.00550.0697-0.0626-0.0028P 0.00111-0.0012-0.0078120.0060-0.0061-0.00450.0647-0.0615-0.00760.0013-0.0013-0.0160130.0062-0.0063-0.00430.1800-0.4625-0.01170.0013-0.0014-0.0052塔 頂0.0070-0.0071-0.00340.0817-0.0218-0.02880.0015-0.0013-0.0040表5數(shù)據(jù)分析：首先我們分析z軸上的數(shù)據(jù)變化，我們從

29、z軸數(shù)值變化可知，z軸數(shù)值一直都是在 減少，說明該古塔的各層中心高度一直在降低，但各層間的減少量不一樣，說明不是地基下沉引起的變化，說明該古塔一定有傾斜變形。我們再分析下x軸上的數(shù)據(jù)變化，我們從x軸數(shù)值變化可知，該古塔的中心位置 坐標的x軸坐標幾乎都在增加，有明顯的趨勢，說明古塔有往 x軸正方向傾斜。我們最后在分析下y軸上的數(shù)據(jù)變化，y軸坐標在2009至1996年間1到7層中心 位置坐標有增加而8到塔頂有減少，說明該時期該古塔在 y軸方向上可能有彎曲，但 看表5中其它兩個期間的數(shù)據(jù)y軸數(shù)值都是在減少說明這兩個時間，該古塔又有向 y 軸數(shù)值減少方向傾斜。從表5中我們看不到古塔有在某個方向上有，坐

30、標數(shù)值增加了，再減少，再增加， 或減少了，再增加，再減少，所以我們可以初步認定該古塔沒有發(fā)生扭曲。注：表5數(shù)據(jù)的計算代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以大致知道此古塔的傾斜趨勢是往x軸正方向即x軸坐標增加方向傾斜，而在y軸方向上有彎曲的跡象，并且有向 y軸坐標減少的方向傾斜， 沒有發(fā)生扭曲。表6：中心位置的變化情況1996-19862009-19862011-1986變 化 量10.0002-0.0003-0.00440.0620-0.0090-0.02290.0622-0.0091-0.024220.0009-0.0010-0.00560.04440.0009-0.0112P 0.0266

31、10.0006-0.029730.0016-0.0017-0.00440.02660.0111-0.02290.02690.0114-0.028440.0022-0.0022-0.00320.01320.0188-0.00860.01360.0483-0.026350.0028-0.0028-0.0045-0.00180.0275-0.0111-0.001110.0269-0.016760.0034-0.0034-0.00560.03870.0098-0.02410.03940.0091-0.030670.0039-0.0039-0.00470.03250.0042-0.01230.03330

32、.0034-0.019980.0041-0.0043-0.00550.0462-0.0127-0.01110.0470-0.0136-0.014390.0047-0.0050-0.00670.0598-0.0298-0.01110.0607-0.0307-0.0327100.00510.0342-0.00450.0801-0.0293-0.01100.0812-0.0304-0.0280110.0057-0.0057-0.00550.0754-0.0683-0.00830.0765-0.0695-0.0161120.0060-0.0061-0.00450.0707-0.0676-0.01210

33、.0720-0.0689-0.0281130.0062-0.0063-0.00430.1862-0.4688-0.01600.1875-0.4702-0.0212塔 頂0.0070-0.0071-0.00340.0887-0.0289-0.03220.0902-0.0302-0.0362表6數(shù)據(jù)分析：首先我們分析z軸上的數(shù)據(jù)變化，我們從z軸數(shù)值變化可知，z軸數(shù)值一直都是在減少，說明該古塔的各層中心高度一直在降低，但各層間的減少量不一樣，說明不是地基下沉引起的變化，說明該古塔一定有傾斜變形。我們再分析下x軸上的數(shù)據(jù)變化，我們從x軸數(shù)值變化可知，該古塔的中心位置 坐標的x軸坐標幾乎都在增加，有明顯

34、的趨勢，說明古塔有往 x軸正方向傾斜。我們最后在分析下y軸上的數(shù)據(jù)變化，y軸坐標在這4次測量間1到7層中心位置坐標有增加而8到塔頂有減少，說明該時期該古塔在 y軸方向上可能有彎曲。從表6中我們沒有發(fā)現(xiàn)古塔有在某個方向上有，坐標數(shù)值有增加趨勢了，再減少， 再增加，或有減少趨勢了，再增加，再減少，所以我們可以初步認定該古塔沒有發(fā)生 扭曲。注：表6數(shù)據(jù)的計算代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以大致知道此古塔的傾斜趨勢是往 x軸正方向即x軸坐標 增加方向傾斜，而在y軸方向上有彎曲的跡象，并且有向 y軸坐標減少的方向傾斜， 沒有發(fā)生扭曲。綜上6次數(shù)據(jù)分析可得結(jié)論：該古塔發(fā)生了傾斜和彎曲，古塔的傾斜趨勢是

35、往 x 軸正方向即x軸坐標增加方向和y軸坐標的負方向即坐標減少方向傾斜，而在 y軸方 向上有彎曲，目前該古塔還沒有發(fā)生扭曲變形。5.3 分析該塔的變形趨勢通過4次測量點的數(shù)據(jù)，我們建立了一個擬合線趨勢分析模型，來預(yù)測該古塔的 變形趨勢，因為從上面的分析我們可知，該古塔沒有地基下沉現(xiàn)象，所以我們可知道 塔的高度坐標是一個因變量，所以不在考慮： 模型正確定性與可用性檢驗：圖5第1層到第6層的中心位置移動趨勢擬合圖圖6第7層到塔頂?shù)闹行奈恢靡苿于厔輸M合圖分析圖5和圖6:第1、2、3、6、8、9、10、11、12、13和塔頂?shù)臄M合線模型都是與中心位置點非常吻合，說明這些層的模型是基本符合要求的， 具有

36、可靠性的，說明此模型是可用的。注：圖5和圖6的生成代碼見附件8。根據(jù)此模型（模型方程11）,我們通過分析計算得到表7中每一層的參數(shù)數(shù)據(jù): 表7:各層中心位置變形趨勢模型參數(shù)參數(shù) 層abcd10.0044-0.0428-0.00060.005820.0023-0.02050.0001-0.0022310.0018-0.01590.0009-0.0107140.0008-0.00560.0027-0.03135-0.00030.00560.0021-0.023560.0025-0.02140.0009-0.0122|70.0020-0.01630.0005-0.009180.0030-0.0255

37、-0.00060.002090.0039-0.0340-0.00180.0126100.0053-0.0475-0.00450.0788110.0050-0.0432-0.00450.0383120.0383-0.0395-0.00440.0372130.0127-0.1193-0.03260.3151塔頂0.0058-0.0504-0.00160.0087表7數(shù)據(jù)分析：我們把表7中的數(shù)據(jù)帶入對應(yīng)的參數(shù)，就可以得到每一層的中心 位置的x和y的坐標隨時間的變化情況的模型。分析參數(shù)a, a幾乎都是正數(shù)，所以隨著時間的增加，中心位置的 x坐標將越來越 大，這符合了我們問題2中分析的古塔變形情況，古塔

38、會向x軸數(shù)值增大的方向傾斜。分析參數(shù)c, c在1到7層為正數(shù)，而在8到塔頂，為負數(shù)，也驗證問題 2中分析 的古塔變形情況，古塔會向y軸數(shù)值減少方向傾斜，和古塔會發(fā)生彎曲，彎曲點在 7 和8層之間。我們也可以根據(jù)此模型方程結(jié)合模型方程（2）可以計算出z軸的坐標值。注：表7數(shù)據(jù)的計算代碼見附件8。結(jié)論：該模型是可用的，具有可靠性，和擴展性。通過該模型（模型方程11）我們可以預(yù)測以后的時間，該古塔的中心位置坐標是怎么變化的，會變化多少，我們都 可以通過此模型計算得到。通過此模型分析該古塔我們得到該古塔會向 x軸數(shù)值增大的方向逐漸傾斜，同時 會向y軸數(shù)值減少方向逐漸傾斜，和古塔會逐漸發(fā)生彎曲，彎曲點在

39、7和8層之間。6模型分析與評價6.1 從模型的假設(shè)來分析在模型的假設(shè)中，我們所作的假設(shè)都非常符合于現(xiàn)實情況和實事的需求，如每層 的測量點都是圍繞在這層的中心點，如果不圍繞，那說明測量點只是取的某個局部區(qū)域的測量點，不具有代表性。6.2 從模型的真實性來分析模型是在現(xiàn)有的數(shù)據(jù)條件下，總結(jié)出的合理的規(guī)律建立起來的模型，而根據(jù)模型 求解出來的又如實的反映現(xiàn)實中的情況。如在運用空間直線擬合分析中心位置模型的 可靠性與古塔傾斜情況。6.3 從模型的求解方法來分析根據(jù)實際問題，分別對問題進行分類取量分析、數(shù)據(jù)擬合分析、線性規(guī)劃分析等 多種方法來進行建模求解，使模型更接近于真實性，準確性，和可靠性。綜上分析

40、：該模型的具有合理性，真實性等優(yōu)點，但它只是針對于該古塔的具體 實例，缺乏模型的擴展性，對其中一些細節(jié)問題考慮得過于粗糙，也有其不足之處。 如地域性，有的地方多大風(fēng)，有的地方多地震。7模型推廣問題1中所建立的模型可以用來求古塔的中心位置，只要有合理的，符合我們假 設(shè)的測量點，我們就可以計算出古塔的中心位置。問題2中有用到中心位置點擬合的模型，可以用來分析古塔的變形情況，在得到 中心位置數(shù)據(jù)后，我們就可以通過分析中心位置點的擬合線情況判斷古塔發(fā)生什么變 形。問題3我們可以古塔的預(yù)測模型可以預(yù)測將來的某年的各層中心位置變化情況。近而我們可以在根據(jù)問題2中的分析模型得知，古塔會發(fā)生什么樣的變形，是傾

41、斜， 還是扭曲還是彎曲，如果有彎曲，或扭曲，彎曲點在哪，扭曲點又在哪。8對古塔的維護建議由于古塔建造的年代不同，地質(zhì)情況千差萬別，建造后所經(jīng)歷的人為破壞和自然 力破壞也不盡相同，因此，對古塔傾斜后處理與加固技術(shù)多種多樣，歸納起來不外乎 兩類，即復(fù)位糾偏和加固補強。另外應(yīng)該根據(jù)當?shù)氐牡乩憝h(huán)境，氣候環(huán)境制定合理的保護與維護措施，如古塔處 是什么地質(zhì)，常年刮什么風(fēng)。對以經(jīng)發(fā)生了變形的古塔，一定要及時修護，同時分析 變形的原因，針對變形原因，制定預(yù)防方案。9參考文獻1梁?？?，古塔變形測量方法探討，城市勘測，2011年03期：113-114頁，2011。2陳淑貞，空間直線方程的解題探討，海南師范大學(xué)學(xué)報

42、 （自然科學(xué)版），2011年03 期：348-351 頁，2011。3陳兆斗 高瑞，高等數(shù)學(xué)（工本），北京海淀區(qū)成府路205號：北京大學(xué)出版社，2006。4尚繼紅 程曉偉，古塔加固工程實例，甘肅科技，2008年 第7期：133-135頁，2008。5胡志曉，古塔傾斜觀測和數(shù)據(jù)分析，江蘇建筑，2011年 第6期：34-35頁，2011。6陳東佐 康玉慶，中國古塔的維修與保護，太原大學(xué)學(xué)報，2006年 第4期：75-78頁，2006。7桂占吉 陳修煥 楊亞輝，基于MATLAB高等數(shù)學(xué)實驗，武漢：華中科技大學(xué)出版 社，2010年。10附錄附件11986年觀測數(shù)據(jù)層占J 、坐標x/my/mz/m115

43、65.454528.0121.7922562.058525.5441.8183561.39521.4471.7834563.782518.1081.7695567.941517.4071.7726571.255519.8571.777571.938523.9531.7948569.5527.3561.80121565.48527.7647.3262562.238525.3647.3513561.663521.427.3144564.001518.2267.3015567.995517.5637.3066571.165519.9617.3047571.801523.9087.3248569.41

44、4527.1417.33631565.506527.5212.7612562.415525.18812.7863561.931521.39412.7494564.216518.34312.7365568.048517.71612.7416571.076520.06312.747571.666523.86412.7588569.33526.9312.77141565.526527.32717.0842562.555525.04717.1093562.144521.37317.0724564.387518.43517.0595568.091517.83817.0646571.005520.1441

45、7.0637571.558523.82917.0818569.263526.76217.09451565.548527.11921.7262562.706524.89621.7513562.373521.35121.7144564.571518.53421.7015568.136517.96921.7056570.929520.23221.7087571.443523.79121.7238569.191526.58121.73661565.57526.91526.2672562.854524.74826.3093562.6521.32926.3084564.752518.63226.26455

46、68.18518.09526.1896570.857520.31526.1367571.333523.75526.1648569.121526.40626.24471565.671526.65229.8692563.132524.58529.9113562.883521.35629.914564.949518.84629.8665568.172518.34629.7916570.679520.44129.7377571.094523.67229.7658568.994526.16729.84681565.77526.39733.3832563.403524.42733.4253563.1585

47、21.38233.4244565.141519.05533.385568.164518.5933.3056570.506520.56433.2517570.862523.59133.2798568.87525.93333.3691565.868526.14136.8872563.674524.26836.9293563.433521.40836.9284565.333519.26336.8845568.156518.83436.8096570.333520.68636.7557570.63523.5136.7838568.747525.70136.864101565.961525.940.20

48、12563.927524.1240.2143563.693521.43340.2444565.516519.46240.2235568.148519.06840.1716570.171520.80140.0387570.408523.43340.1298568.631525.48240.157111566.078525.62844.4722564.193523.9544.4853563.958521.46344.5054565.649519.60744.4865568.094519.24244.4426570.013520.88544.3097570.236523.3544.48568.615

49、525.25944.428121566.195525.35548.7432564.459523.7848.7563564.224521.49248.7764565.782519.75348.7575568.039519.41548.7136569.854520.96948.587570.063523.26848.6718568.598525.03748.699131566.308525.09252.8662564.716523.61652.8783564.481521.52152.8974565.91519.89352.8856569.701521.0552.7037569.897523.18852.7948568.582524.82252.822塔尖1567.255522.23855.1282567.23