代數(shù)變形常用技巧及其應(yīng)用

1、代數(shù)變形常用技巧及其應(yīng)用210008 江蘇省南京外國語 李平龍代數(shù)恒等變形是數(shù)學(xué)解題的基石，變形能力的強(qiáng)弱直接制約著解題能力的高低。變形實(shí)質(zhì)上是為了達(dá)到某種目的而采用的“手段”，是化歸、轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準(zhǔn)備階段，它屬于技能性的知識(shí)，需要在實(shí)踐中反復(fù)操練才能把握、乃至靈活與綜合應(yīng)用。針對學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中不善于積累變形經(jīng)驗(yàn)，在稍復(fù)雜的問題面前常因變形方向不清，而導(dǎo)致常規(guī)的化歸、轉(zhuǎn)化工作難以實(shí)施，甚至以“失敗”而告終；其直接后果是應(yīng)試能力差、效益低。本文旨在展現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算和解題中常見的變形技巧，幫助學(xué)生找回失落而又重要的變形“通法”。1 整式變形：按“主元”合并同類項(xiàng)并依降冪或升冪排列。例1 設(shè)函數(shù)，若點(diǎn)

2、在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，試求的解析式。分析 一般地，以為主元，從和中產(chǎn)生的四次恒等式，比較系數(shù)便可求出但此法過程繁冗。若轉(zhuǎn)換思維，視為主元，則有如下簡解。解 由和可得，由題意知它是關(guān)于的恒等式，故立知從而。評(píng)注：通法通則使人有章可循，數(shù)學(xué)中的“最簡形式”、“一般形式”、“標(biāo)準(zhǔn)形式”等即便如此。但在實(shí)施通法通則的變形過程中，只有把握問題的本質(zhì)，才能達(dá)到靈活變通之目的。2 分式變形：通分化簡乃通法，但諸多涉及分式的問題僅此而已是不夠的，尚需按既定的目標(biāo)逆向變通，這時(shí)將分式分解成“部分分式”、“分離常數(shù)”、“分子變位”等便成了特殊的“技巧”，靈活應(yīng)用便使問題迎刃而解。例2 已知。當(dāng)點(diǎn)在的

3、圖象上時(shí)，點(diǎn)在的圖象上。試求函數(shù)的最大值。分析 需先求的解析式，再對的解析式進(jìn)行變形。解 由圖象的伸縮變換知，的解析式為：。（變?yōu)楦斤@然是不好的）。至此，令，則。當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號(hào)，。評(píng)注：若令，則真數(shù)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)；當(dāng)分式二次函數(shù)的分子或分母為一次式時(shí)，常用上述變形方法去求其變化域。此外，分離常數(shù)法可使分式化繁為簡，如一次分式函數(shù)變成后，便使其性質(zhì)展暴無遺；在數(shù)列中，當(dāng)其通項(xiàng)為分式結(jié)構(gòu)時(shí)，常聯(lián)想到用裂項(xiàng)法求其前n項(xiàng)的和，進(jìn)而通過極限求出無窮項(xiàng)的和。3 根式變形：分母有理化當(dāng)屬變形的主流，但為達(dá)某種目的有時(shí)卻要逆向地采取分子有理化。例3 函數(shù)。求a取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函

4、數(shù)。分析 此為2000年高考題，考生任取且，作差：后便出現(xiàn)不同程度的思維受阻現(xiàn)象。若注意到將根式的分子有理化，則可繼續(xù)推演。解 ，當(dāng)時(shí)，據(jù)知式恒正，從而，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，式的符號(hào)不確定，又，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)。綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。評(píng)注：分子有理化在無理式的大小比較、不等式的證明、數(shù)列的求和與證明中都有用武之地。4 指數(shù)變形：變同底，即減少底數(shù)的種類，是進(jìn)行此類運(yùn)算的重要途徑。例4 已知試解關(guān)于x的不等式：。分析 將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，便易思維受阻。究其原因在于上式為雙底數(shù)的指數(shù)不等式。此時(shí)，化雙底為單底便是代數(shù)變形之關(guān)鍵。不等式兩邊

5、同除以，得，此為關(guān)于的一元二次不等式，問題便化生為熟了。解略。評(píng)注：化同底、變多底數(shù)為單底數(shù)，是研究與指數(shù)有關(guān)的方程、不等式、函數(shù)通性、極限等問題的重要技巧（實(shí)為解題的突破口）。5 對數(shù)變形：換底。例5 討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。分析 直接利用單調(diào)性的定義進(jìn)行探索無異于盲人摸象，極易在毫無目標(biāo)的變形中受阻。為此，利用對數(shù)換底公式進(jìn)行變形，可供選擇的底數(shù)有a、b和10，但a、b尚未完全具備對數(shù)底數(shù)的“資格”，故選擇以10為底進(jìn)行變形：。據(jù)及復(fù)合函數(shù)的“同增異減”法則知，原函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上均為減函數(shù)。如此思考和變形，已發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，故只需將上述直覺思維的過程邏輯化，便可產(chǎn)生本例的

6、簡解。解略。評(píng)注：有關(guān)對數(shù)式的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)注意換底及底數(shù)的合理選擇。像本例融思維于變形過程之中的做法，值得提倡與效仿。6 復(fù)數(shù)變形：除按三角或代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行變形外，尚需注意復(fù)數(shù)的模與共軛的性質(zhì)在變形中的靈活運(yùn)用。例6 已知是兩個(gè)不相等的非零復(fù)數(shù)，設(shè)。（1） 若是純虛數(shù)，求證：；（2） 若，試判斷的大小關(guān)系。分析 代數(shù)方法和三角方法均使解題過程繁冗，而靈活運(yùn)用模與共軛的性質(zhì)進(jìn)行變形，則較為簡捷。證（1）是純虛數(shù)，即，將代入便可變形出。（2） 由條件，得，因?yàn)榉橇?，所以。從而?=；同理可得，。故。 評(píng)注：復(fù)數(shù)的諸多運(yùn)算和變形技巧對解題的繁簡有決定性作用，頗為典型的還有的立方虛根的應(yīng)用。 值得指出的是，代數(shù)變形的方法與技巧遠(yuǎn)不止于此，但它們卻是最核心的、最本質(zhì)的，乃至最常