利用軸對(duì)稱求最短距離問題

1、利用軸對(duì)稱求最短距離問題基本題引入：如圖（1）,要在公路道a上修建一個(gè)加油站，有A,B兩人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使兩人到加油站的總路程最短?A'是A的對(duì)稱點(diǎn)，本問題也就是要使M使AM與BM的和最小。設(shè)A M與BM的和最小。在連接A B的線中，線段AB最短。因此，線段 A B與直線a的交點(diǎn)C的位置即為所求。如圖3,為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線a上另外任取一點(diǎn) N,連接ANBN A No因?yàn)橹本€a是A A的對(duì)稱軸，點(diǎn) M,N在a上，所以 AM= A M,AN= A N。 AM+BM= A M+BM= A B在 A BN中,/ A B< A N+B

2、N AM+B< AN+BN即 am+bM!小。點(diǎn)評(píng)：經(jīng)過復(fù)習(xí)學(xué)生恍然大悟、 面露微笑，不一會(huì)不少學(xué)生就利用軸對(duì)稱知識(shí)將上一道中考題解決了。思路如下：BC= 9 （定值）， PBC的周長(zhǎng)最小，就是 PB+ PC最小.由題意可知，點(diǎn) C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) A,顯然當(dāng)P、A B三點(diǎn)共線時(shí)PB+PA最小.此時(shí) DP= DE PB+PA= AB.由/ ADM/ FAE / DFA=/ ACB= 90°,得 DAFA ABC. EF/ BC1 159得 AE= BE= AB=丄,EF= - . AF： BO AD： AB,I卩 6 : 9 = AD： 15. AD= 10. Rt A

3、DF25X = 時(shí)， PBC的周長(zhǎng)2遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，合理2 22925中，AD= 10, AF= 6,.DF= 8. DE= DF+ FE= 8+ =.當(dāng)2 2最小，y值略。數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們： 教師要充分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程,基本技能，更要獲得組織教學(xué)內(nèi)容，建立科學(xué)的訓(xùn)練系統(tǒng)。使學(xué)生不僅獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和觀念，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。同時(shí)每年的中考題也千變?nèi)f化，為了提高學(xué)生 的應(yīng)對(duì)能力，除了進(jìn)行專題訓(xùn)練外，還要多歸納多總結(jié)，將一類問題集中呈現(xiàn)給學(xué)生。兩條直線間的對(duì)稱題目1如圖，在曠野上，一個(gè)人騎馬從A出發(fā)，他欲將馬引到河 a1飲水后再到a2飲水，然后返回 A地，問他應(yīng)該怎樣走才

4、能使總路程最短。點(diǎn)評(píng)：這道題學(xué)生拿到時(shí)往往無從下手。但只要把握軸對(duì)稱的性質(zhì)就能迎刃而解了。作a1、a2 于 B、C,連接 BC.法：過點(diǎn)A作a1的對(duì)稱點(diǎn)A ,作a2的對(duì)稱點(diǎn)A ,連接A A交所經(jīng)過路線如圖5: A-B-C-A,所走的總路程為 A A。第2題圖二、三角形中的對(duì)稱題目2 如圖,在 ABC中,AC=BC=2, / ACB=90 ,D是BC邊上的中點(diǎn)，E是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED勺最小值是點(diǎn)評(píng)：本題只要把點(diǎn) C、D看成基本題中的A、E兩鎮(zhèn)，把線段AB看成燃?xì)夤艿繿,問題就可以迎刃而解了，本題只是改變了題目背景，所考察的知識(shí)點(diǎn)并沒有改變。三、四邊形中的對(duì)稱題目3 如圖，正方形 AB

5、CD的邊長(zhǎng)為8, M在DC上，且DM=2,N是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)DN+MN勺最小值為多少?點(diǎn)評(píng)：此題也是運(yùn)用到正方形是軸對(duì)稱圖形這一特殊性質(zhì)，點(diǎn) 正好是點(diǎn)B,最小值為 MB= 10。ME'四、圓中的對(duì)稱題目4已知：如圖，已知點(diǎn) A是O O上的一個(gè)六等分點(diǎn)，點(diǎn) B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的動(dòng)點(diǎn)，若O O的半徑長(zhǎng)為1，求AP+BP的最小值。點(diǎn)評(píng)：這道題也運(yùn)用了圓的對(duì)稱性這一特殊性質(zhì)。點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B'在圓上，AB'交ON于點(diǎn) p，由/ AON= 60,/ B' ON= 30°,/ AOB = 90°,半徑長(zhǎng)為 1 可得

6、AB'=血。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p時(shí),此時(shí)AP+BP有最小值為就*/H/ / yJ*¥BfJJCEAG第5題圖2B 第5題圖1五、立體圖形中的對(duì)稱題目5如圖1是一個(gè)沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn) B處的食物，已知盒高h(yuǎn)= 10cm,底面圓的周長(zhǎng)為 32cm, A距離下底面3cm.請(qǐng)你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為cm點(diǎn)評(píng)：如圖2,此題是一道立體圖形問題需要轉(zhuǎn)化成平面問題來解決，將圓柱的側(cè)面展開得矩形EFGH作出點(diǎn)B關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)B',作AC丄GH于點(diǎn)C,連接A B。在Rt A BC中，AC= 16, B C=

7、12,求得A B '= 20,則螞蟻爬行的最短路程為20cm。通過變式訓(xùn)練既解決了一類問題，又歸納出了最本質(zhì)的東西， 以后學(xué)生再碰到類似問題時(shí)學(xué)生就不會(huì)不知所措。同時(shí)變式訓(xùn)練培養(yǎng)了學(xué)生思維的積極性和深刻性,發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)變能力。對(duì)鞏綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生在熟練掌握書本例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行科學(xué)的變式訓(xùn)練,固基礎(chǔ)、提高能力有著至關(guān)重要的作用。更重要的是，變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的求異思 維、發(fā)散思維、逆向思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生全方位、多角度思考問題的能力，有助于提高學(xué)生 分析問題、解決問題的能力。題目6長(zhǎng)方體問題 如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn) A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬 到對(duì)角頂點(diǎn)Ci處（三

8、條棱長(zhǎng)如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？析：展開圖如圖所示，V25 J29 737路線1即為所求。長(zhǎng)、寬、高中，較短的兩條邊的和作為一條直角邊，最 長(zhǎng)的邊作為另一條直角邊， 斜邊長(zhǎng)即為最短路線長(zhǎng)。Aq=4+2 乜;acc=v6=37；acc=v52+2 =v29 .BMlA 4 B 2 C2Bi由學(xué)生引申總結(jié)以下14:I1、已知：如圖，A B兩點(diǎn)在直線I的同側(cè)，點(diǎn) A與A關(guān)于直線I對(duì)稱，連結(jié) AB交I于P 點(diǎn)，若A B=a, (1 )求AP+PB (2)若點(diǎn)M是直線I上異于P點(diǎn)的任意一點(diǎn),求證:2、AMMB AP PB.已知:A B兩點(diǎn)在直線I的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點(diǎn)(1)

9、在I上求作一點(diǎn)使得AM BM最小;如圖,點(diǎn)E、在I上求作一點(diǎn)在I上求作一點(diǎn)使得使得AM BM最大;AM+BM最 小。AD為/ BAC的平分線，DEX AB于E, DF丄AC于F,那么F是否關(guān)于AD對(duì)稱？若對(duì)稱，請(qǐng)說明理由。3、4、已知：如圖，點(diǎn) P1,P2分別是P點(diǎn)關(guān)于/ ABC的兩邊BA BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接 P1P2 ,分別交BA BC邊于E、D點(diǎn)，若p1 p2 =m(1)求PDE的周長(zhǎng)；(2 )若M是BA邊上異于 E的一點(diǎn)，N是BC邊上異于 D的一點(diǎn)，求證: PDE的周長(zhǎng)。 PMN的周長(zhǎng)軸對(duì)稱在本題中的主要作用是將線段在保證長(zhǎng)度不變的情況下改變 位置，要注意體會(huì)軸對(duì)稱在這方面的應(yīng)用。以此作為模型我們可以解決下列求最小值的問題。CP2NPMBPl5.如圖，菱形ABCD中, AB=2 / BAD=60 , E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線 AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 則PE+PB的最小值是。分析：首先分解此圖形，構(gòu)建如圖 一點(diǎn)P,使PE+