2020年河南省洛陽市高考數學一模試卷答案解析

1、2018年3月4月5月6月7月8月新能源汽車銷量銷量比上（萬年同輛）期增長（）6.8 117.48.2 138.410.2 125.68.442.98.447.710.1 49.52020年河南省洛陽市高考數學一模試卷答案解析一、選擇題（共12題，每題5分）1 .已知集合 M = x|x （x 2） V 0 , N= -2, -1,0, 1, 2,則 MAN=（）A. 0 , 1, 2 B. - 2, - 1C. 1D. - 2, - 1, 0,2【解答】 解：. M=x|0vxv 2 , N= - 2, 1, 0, 1, 2, .1. m n n = 1.故選：C.2 .已知復數z在復平面中

2、應的點（x, y）滿足（x-1） 2+y2=1,則|zT|=（）A. 0B. 1C.近D. 2【解答】解：（x- 1） 2+y2=1,表示以C （1, 0）為圓心，1為半徑的圓.則 |z- 1|= 1.故選：B.3 .為了節(jié)能減排，發(fā)展低碳經濟，我國政府從2001年起就通過相關政策推動新能源汽車產 業(yè)發(fā)展.下面的圖表反映了該產業(yè)發(fā)展的相關信息：中國新能源汽車產銷情況一覽表新能源汽車產量產量比上（萬年同輛）期增長（）6.81058.1 117.79.6 85.68.6 31.7953.69.9399月10月11月112月2019年1月12.7 64.414.6 58.117.3 36.9127

3、59.99.11135.9 50.912.1 54.813.85116.9 37.6125.6 61.79.61385.353.6根據上述圖表信息，下列結論錯誤的是（A . 2017年3月份我國新能源汽車的產量不超過3.4萬輛B . 2017年我國新能源汽車總銷量超過70萬輛C. 2018年8月份我國新能源汽車的銷量高于產量D . 2019年1月份我國插電式混合動力汽車的銷量低于2萬輛【解答】解：由圖表信息可知，2017年3月份我國新能源汽車的產量為：k3箋，1+1. 05所以選項A正確;由圖表信息可知,2017年我國新能源汽車總銷量為:嗇畸T" S,所以選項B正確;由圖表信息可知，

4、2018年8月份我國新能源汽車的銷量為10.1,產量為9.9,所以選項C正確;由圖表信息可知，2019年1月份我國插電式混合動力汽車的銷量為：9.6X0.25=2.4,所以選項D錯誤,4.已知正項等比數列an中，a3a5=4,且a4,a6+1, a7成等差數列，則該數列公比q為（）A-TC. 2D. 4【解答】解：正項等比數列an中，a3a5= 4, 可得 q>0, a42=a3a5= 4,即 a4= 2,a4, a6+1, a7 成等差數列，可得 a4+a7 = 2a6+2, 即 2+2q3=4q2+2,解得 q=2, 故選：C.5.我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目

5、的成就.哥德巴赫猜想簡述為“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”（注：如果一個大于 1的整數除了 1和自身外無其他正因數，則稱這個整數為素數），如40=3+37.在不超過40的素數，隨機選取2個不同的數，這兩個數的和等于40的概率是（126B表C表【解答】解：不超過40的素數有：2, 3,5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,共12個,隨機選取2個不同的數,基本事件總數n=C?1 u=66,這兩個數的和等于 40包含的基本事件有:(3, 37), (11, 29) , (17, 23),共 3 個,，這兩個數的和等于 40的概率是p66122的最小值是6

6、,圓 x2+y2 - 2x+4y+1 = 0 關于直線 ax-by-3=0 (a> 0, b >0)對稱，貝 U 工A. 1B. 3C. 5D. 9【解答】 解：圓x2+y2 2x+4y+1 = 0的圓心坐標為(1, 2),由圓 x2+y2 - 2x+4y+1 = 0 關于直線 ax-by-3=0 (a> 0, b>0)對稱，a+2b= 3,即哈魯(看售多奇聾嗜冷得當且僅當 空用，即a=E, b=時上式取等號. 3a 3b 24- -上的最小值是3. a b故選：B.（白也一日 f）cos3x7.函數.匚.（e為自然對數的底數）的大致圖象為（【解答】解：根據題意，函數

7、fx|xw 0,(-X)2(gs - b夏)=-f (x),即函數 f (x)為奇函數，排除B、D;又由當0vxv時，f （x） >0,排除A,8.正三棱錐的三視圖如，圖所示，則該正三棱錐的表面積為（a.B. 35+9【解答】解：應用可知三棱錐的高為：C. 12/1D-3,底面三角形的高為：3,則底面正三角形的邊長為:a；所以孚解得a=2/3.該三棱錐的表面積為:9.已知點Fi, F2分別是雙曲線C2 2 工_y2 2 a b= 1Q>O, b>0)的左，右焦點，。為坐標原斜tWj為：,3* 十10,3*乂家乂耳咚乂(22=3r+3點，點P在雙曲線C的右支上，且滿足|FiF2

8、|=2|OP|, tan/PF2Fi = 4,則雙曲線C的離心率為()A.遮B. 5D.17q【解答】解：點P在雙曲線C的右支上，且滿足|FiF2|=2|OP|,即有。為 PF1F2外接圓的圓心,即有/ FiPF2=90° ,由雙曲線的定義可得|PFi|- |PF2|=2a, . tan/PF2Fi=4,所以 |PFi|= 4|PF2|, 則|PFi=冬a, |PF2尸號a, 由 |PFi|2+|PF2|2= |FiF2|2, 即（萼）2+ 普）2= 4c2, 即有 c2=a2,9e=F 故選：c .10 .設f (x)是定義在 R上的函數，滿足條件 f (x+1) = f ( -

9、x+1),且當xwi時，f (x)2=e x- 3,則 a=f (log27), 6二六 313一)的大小關系是()A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>b> a【解答】解：由f (x+1) = f ( - x+1)可得函數的圖象關于 x= 1對稱，又當xWl時，f(x) =e x-3單調遞減，故x>1時函數圖象單調遞增， 距離對稱軸越遠, 函數值越大，_2 .log27C (2, 3), 3 萬 E 3, -J3, 31.5<5，故 a>c> b.11 .正方體 ABCD - AlBlClDl的棱長為

10、1,點E為棱CC1的中點.下列結論： 線段BD上存在點F,使得CF/平面ADE；線段BD上存在點F,使CF，得平面ADE;平面AD1E把正方體分成兩部分，較小部分的體積為，其中所有正確的序號是 ()24A.B.C.D.【解答】解：建立如圖所示空間直角坐標系，A (1, 0, 0), D1 (0, 0,1), E (0,1, y), C (0,1, 0),設 F (t, t, 0) (0<t< 1),則AD二(-L 0, 1)，杷1-十),CF= (t, t-1, 0).設平面AD1E的一個法向量為y, z),，取 z= 1,則 n - .,：AD1=-x+s=O由r 一 1 nAE

11、三一My七由 CT , n=t,解得t=/q。，1,故正確;由CF= (t, t-1, 0), 口二(L 77» 1),知CF與門不共線，故錯誤;平面AD1E把正方體分成兩部分如圖，正方體體積為1 ,三棱臺ECH -D1DA的體積V=：X1X吟)號， M _.平面AD1E把正方體分成兩部分，較小部分的體積為,故正確."J.正確.故選：C.12.已知正項數列an的前n項和為N, ai >1,且6Sn= an2+3an+2 .若對于任意實數 a-2, 2.不等式光斗V2 t2Mt-1N*）恒成立，則實數t的取值范圍為（）n+lA. ( 8, 2 U 2, +8)B. (8

12、, 2 U 1 , +8)C. (-8, 1U2, +8)D. -2, 2【解答】解：由6Sn= an2+3an+2 ,當 n = 1 時，6a1 =a12+3a1+2,解得 a1=2,當 n>2 時，6Sn 1 = an 12+3an 1+2,兩式相減得 6an=an2+3an- (an-12+3an-1),整理得(an+an r ) (an - an-1 - 3) =0,由 an> 0,所以 an+an 1 > 0,所以 an-an-1=3,所以數列an是以2為首項，3為公差的等差數列，所以 an+1 = 2+3 (n+1-1) = 3n+2 ,所以3n+2n+1n+1&

13、lt;3,因此原不等式轉化為 2t2+at - 1 > 3對于任意的a q - 2, 2, n CN*恒成立,化為：2t2+at- 4>0,設 f (a) = 2t2+at- 4, a- 2, 2,可得 f (2) > 0 且 f ( - 2) > 0,Lt2-t-2>01tX 或可得t>2或tw - 2,2 U 2 , +8)則實數t的取值范圍是（-8,故選：A.、填空題（每題 5分，總共20分）13.平面向量1與三的夾角為60° ,且彳，|b |-1,則 日 【解答】解：£（3, Q），目| 二目，又W與E的夾角為60° ,

14、 | b | = 1,。 t2 .t -* -2I a +2b I =（a+2b二雙十4yb十4b= 9+4X3X 1X cos60° +4=19.| a +2b | =故答案為：VEi.14.若實數x, y滿足約束條件 x-y<Z=4,則z=2x+y的最小值是Ly>-3r yCx【解答】解：作出不等式組件 s+y<4所表示的平面區(qū)域，作出直線2x+y=0,對該直線進行平移，結合Z最小，直線的截距最??；可以發(fā)現經過點C （ - 3, - 3）時Z取得最小值-9;故答案為：-9.14.已知橢圓Ci工A為右頂點.過坐標原點o的直線交橢圓c于p,Q兩點，線段AP的中點為M

15、,直線QM交x軸于N (2, 0),橢圓C的離心率為橢圓C的標準方程為【解答】解：設P (x, y),則由A (a, 0);線段AP的中點為M,則M (由題意，Q, N , M三點共線，kMN=kNQ;yy-0x+aX-v): 2-D可得 x+a 4=2+x;所以a=6,由橢圓C的離心率為,得 c=4, b2=20;2 .2故橢圓C的標準方程為:+-£_1士 _36 2022故答案為：2一 J一二36 20 ,16 .已知函數fCx) =lnK+2aj£ g (x) -a.,且f (x) g (x) < 0在定義域內恒成立，則實數a的取值范圍為aw-或a = e2 .

16、2e【解答】解：若f (x) g (x) < 0在定義域內恒成立，考慮以下情形：當f (x) w 0, g (x) >0同時恒成立時，由 f (x) = lnx+2ax<0,即2a恒成立，設 h (x) =-, h' ( x)=吁KKv 2當 x>e 時，h' (x) < 0, h (x)遞減，當 0vxve 時，h' (x) > 0, h (x)遞增,可得x=e處h (x)取得極大值，且為最大值 ,可得-2a>工，即a<白2g;由g (x) > 0,即工-a>0恒成立得aW0.aw 2e當f (x) >

17、 0, g (x) W0同時恒成立時，a不存在；當a>0時，= f (x) = lnx+2ax為增函數，g (x) =- - a為減函數, 5t若它們有共同零點，則 f (x)?g (x) < 0恒成立，由 f (x) = lnx+2ax= 0, g (x) = - - a= 0,聯立方程組解得：a= e2.x綜上可得aw -1或a= e2.2e故答案為：aw-或2=32.2e三、解答題17 .在 ABC中，角 A, B, C對應邊分別為 a, b, c.(1)若/ ABC的面積S滿足叭笈5+” =私2十1>2, <Z-yfi a=4且b>c,求b的值;TT(2)

18、若負Af且 ABC為銳角三角形.求 ABC周長的范圍. J!【解答】解：(1)4 M/a3b2r 2,所以 4(3 nC=2 cosC，口近即 tanC=*亙，3又因為0V Cv兀，兀所以C =，6因為 c=V7, a= 4,由余弦定理可得 cos一 =西色 6 8b解可得，b=3j或b=&j,因為b>C= 一 , 所以，b=31Q;故 b = 2sinB, c= 2sinC = 2sin (由題意可知,解可得,It?0B 我卜等出打則 ABC周長為曰 *2sin (烏Jr) +2sinB=V3 +V3cosB*3sinB, 3所以2一哈等,< sin ( B+7T?因此三

19、角形的周長的范圍(3+V3, 3寸司.18.如圖，已知四邊形 ABCD為等腰梯形，BDEF為正方形，平面 BDEF，平面ABCD , AD/ BC, AD = AB=1, Z ABC =60°(1)求證：平面 CDEL平面 BDEF;由/ABC=60° , / BAD = 120° ,AD = AB= 1 ,BD與平面BCM所成角正弦值的取值范圍.BD =VaB2D2-2AB*AD-cOs120° =BC= 1 +沔=2,所以 BC2=CD2+BD2, BD ± DC ,由平面BDEFL平面 ABCD, BD=平面 BDEF n平面 ABCD

20、,所以CD，平面BDEF ,又CD?平面CDE, 所以平面CDE，平面BDEF ;(2)根據題意，以D為圓心，以DB, DC, DE分別為x, y, z軸建立空間直角坐標系,設 EM = mq0,值則 B (色，0, 0), C (0, 1, 0), D (0, 0, 0), M (m, 0,色),而40,呵，元(小0, Q)，設平面BMC的法向量為門邛。=-«工+7=0n 1,BM=(in-Vs) k+i/3i=0 令 *=心，y=3, z= Vs-ir,設BD與平面BCM的夾角為 0,所以 sin 9=|cosm, 而;>|=j mq。，心,VCiil-V3)+12所以當m

21、=0時取最小值 等,m=vQ取最大值二，故BD與平面BCM所成角正弦值的取值范圍為 哈，y.C ： x2 = 4y相交于A, B兩點.(1)若研=2FB,且點A在第一象限，求直線 AB的方程;(2)若A, B在直線y=- 2上的射影分別為 Ai, Bi,線段AiBi的中點為Q,求證BQP RA1.【解答】(1)解：由題意，設過點 P (0, 2)的直線l的斜率為k,則l: y=kx+2.設 A (xi, yi) , B (x2, y2).AP=2PB|,根據定比分點的知識，有xi+2x2=0.皿V三kx+2聯立，1/=4y消去y,整理得x2-4kx-8=0.解得 xi = 2 ( k+k2),

22、 x2= 2 (k Jk 2+?),，xi+2x2=2 (k+Jk2+2)+4 (k 112十2)=。，整理，得 3k=&T&>0,解得k=.2直線AB的方程為y=x+2 .(2)證明：根據(1),聯立直線l與拋物線方程，得ry=kx+2整理，得 x2- 4kx-8=0.則 xi+x2 = 4k, xi?x2= - 8.，c、r，c、cc、 Ai (xi, - 2) ,Bi(x2,- 2). . . Q(, 2).Fl.、.xi?( 2 y2)E5Q=(-x2, 2 y2), PA= (xi, 4).- (5x2)?(4)£>=2x2 2xi+xiy2+2

23、xi= 2x2+xiy2=4? %+xi?(y2+2)2=2X2+X1?= 2x2+?X1?X244c耳2_=2x2+?( 8) = 0.4 .BQ/ PAi.20.設函數f (寓)=e* (k2)一/kx3卷k工2 (1)若k= 1,求f (x)的單調區(qū)間；(2)若f(X)存在三個極值點Xi,X2,X3,且X1VX2VX3,求k的取值范圍，并證明:X1+X3> 2X2.【解答】解：(1)當 k= 1 時,f(x)二 J J、"/ ' -f (x) = ( eX- x) (x- 1).令 h (x) = ex- x,則 h' (x) =31, ,.由 h'

24、; (x) > 0 得 x>0, h' (x) v 0 得 xv 0, .h (x)在(-巴 0)上遞減，在(0, +OO)上遞增.h (x) > h (0) =1>0 即 ex-x>0,，解 f' (x) > 0 得 x>1,解 f (x) V 0 得 XV 1 ,，f(X)的單調減區(qū)間為(-°°,1),單調增區(qū)間為(1, +8). 2) f (x) = ex (x 2) +ex- kx2+kx= ( ex kx) (x 1),f (x)有三個極值點，方程ex- kx=0有兩個不等根，且都不是1,令g (x) =

25、ex- kx,當k< 0時，g (x)單調遞增，g (x) = 0至多有一根，當 k>0 時，解 g' (x) > 0 得 x> Ink,解 g' (x)V0得*皿匕1 g (x)在(-巴 ink)上遞減，在(Ink, +oo)上遞增，1. g (Ink) = elnk- klnk= k (1 - Ink) < 0, k> e,此時，g (0) =1>0, Ink > 1, g (1) = e - k< 0, x 一 +8 時 g (x) 一+oo.，k>e 時，f' (x) =0 有三個根 X1 , X2,

26、X3,且 0V X1V 1 = X2V X3, K3£ _由日 1二k x 得 X1= Ink+Inx1,由日 ° 二k 工得 x3= Ink+Inx3,1 門工 q -Ins i- =卜面證明:1口-1%、2打一叼尹勺-2"1+1M 4t+12(X)=-CtT) 0(j)(X)在(1，+8)上遞增,t (t+1)2 t(tl)2.1.()(t)> ()( 1) = 0, 1_=lnxm-lnK )2+叼(7'- X3+X1 >2x2.21 .“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征，是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人

27、才的有效途徑，正被廣泛采用.每次考試過后，考生最關心的問題是：自己的考試名次是多少？自已能否被錄??？能獲得什么樣的職位？某單位準備通過考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用 300名，其中275個高薪職位和25個普薪職位.實際報名人數為2000名，考試滿分為400分.(一般地，對于一次成功的考試來說，考試成績應服從正態(tài)分布.)考試后考試成績的部分統計結果如下：考試平均成績是180分，360分及其以上的高分考生 30名.(1)最低錄取分數是多少？(結果保留為整數)(2)考生甲的成績?yōu)?86分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？若不能被錄取，請說明理由.參考資料：(1)當XN (見b 2)時，令丫=蘭*,則丫N (0, 1).(2)當 丫N (0, 1)時，P (YW2.17) = 0.985, P (YW1.28) = 0.900, P (YW 1.09) 0.863, P (YW 1.04)0.85.【解答】解：(1)設考生的成績?yōu)?X,則由題意可得 X應服從正態(tài)分布,即XN(180, b 2),令Y=號專列，由360分及以上高分考生 30名可得P則 丫N (0, 1).(XR360)3020C0即 P (XV360) = 1 = 0.985,即有P (XV360-180)= 0.985,則360-180= 2.17,可得 83,可得 N (18