高考數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用ok

1、2013年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元第13講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用一【課標(biāo)要求】1平面向量的數(shù)量積通過物理中功等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算；能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。2向量的應(yīng)用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實際問題的過程，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。二【命題走向】本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重點體會向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題難度不大，分值59分。平面向

2、量的綜合問題是“新熱點”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主預(yù)測2013年高考：（1）一道選擇題和填空題，重點考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目（2）一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運算和性質(zhì)；三【要點精講】1向量的數(shù)量積（1）兩個非零向量的夾角已知非零向量a與a，作，則AA（）叫與的夾角；說明：（1）當(dāng)時，與同向；2）當(dāng)時，與反向；3）當(dāng)時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0q180。C（2）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=cos叫做與的數(shù)量積

3、（或內(nèi)積）。規(guī)定；向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)向量的模與平方的關(guān)系：。乘法公式成立；平面向量數(shù)量積的運算律交換律成立：；對實數(shù)的結(jié)合律成立：；分配律成立：。向量的夾角：cos=。當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題（5）兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算已知兩個向量，則=。（6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作。兩個非零向量垂直的充要條件：O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。（7）平面內(nèi)兩點間的距離公式設(shè)，則

4、或。如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式)四【典例解析】題型1：數(shù)量積的概念例1判斷下列各命題正確與否：（1）；2）；3）若，則；（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立；5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有。點評：通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點清楚為零向量，而為零例2 (1)、已知中，過重心的直線交邊于，交邊于，設(shè)的面積為，的面積為，則（2）設(shè)、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（）（）=| （）（）不與垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命題的有（ ）A.B.C.D.點評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運算律，向量的數(shù)量

5、積運算不滿足結(jié)合律。題型2：向量的夾角例3（1）過ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點D、E若，則的值為（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是。（3）已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。（4）| |=1，| |=2，= + ，且，則向量與的夾角為（ ）A30B60C120D150點評：解決向量的夾角問題時要借助于公式，要掌握向量坐標(biāo)形式的運算。向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。對于這個公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直（平行）的充要條件必需掌握例4（1）設(shè)平面向量、的和。如果向量、

6、，滿足，且順時針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（ ）A+= B-+=C+-= D+=（2）已知向量與互相垂直，其中（1）求和的值；2）若，求的值練習(xí)2、如圖，已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,記。（1） 求關(guān)于的表達(dá)式;（2） 求的值域。3. 已知,。 （1）求；（2）設(shè)BAC，且已知cos(+x) ，求sinx點評：對于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會技巧性應(yīng)用，解決好實際問題題型3：向量的模例5（1）已知向量與的夾角為，則等于（ ） A5B4C3D1（2）平面向量a與b的夾角為，a(2,0), | b |1，則 | a2b |等于（）A. B.2 C.4 D.12點評：掌握向量數(shù)量積的逆運算，

7、以及。例6已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。點評：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。題型4：向量垂直、平行的判定例7已知向量，且，則。例8已知，按下列條件求實數(shù)的值。（1）；（2）；。點評：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運算題型6：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用例12用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。已知：如圖，AB是O的直徑，點P是O上任一點（不與A、B重合），求證：APB90。12題 點評：平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。針對練習(xí)1、已知向量a、b

8、不共線，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向3、設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點，則（）A. B. C. D.4、已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的( )A.重心外心垂心 B.重心外心內(nèi)心 C.外心重心垂心 D.外心重心內(nèi)心5.若向量a=，b=，且a，b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是. 6.已知向量，若向量滿足，則（）A B C D7. 對于個向量，若存在個不全為零的實數(shù)使得成立，則稱向量是線性相關(guān)的.按此規(guī)定，能使向量是線性相關(guān)的實數(shù)的值依次為.（只需寫出一組值即可）9. 設(shè)向量與的夾角為，則10. 已

9、知向量的夾角的大小為.五【思維總結(jié)】1兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定；（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學(xué)到兩個向量的外積，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替；（3）在實數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若0，且=0，不能推出=。因為其中cosq有可能為0；（4）已知實數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc a=c。但是= ；如右圖：= |cosb = |OA|，c = |c|cosa = |OA| =，但； (5)在實數(shù)中，

10、有() = ()，但是() ()，顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與c不共線。2平面向量數(shù)量積的運算律特別注意：1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=。3向量知識，向量觀點在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視. 數(shù)量積的主要應(yīng)用：求模長；求夾角；判垂直；4注重數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)數(shù)形結(jié)合的思想方法。由于向量本身具有代數(shù)形式和幾何形式雙重身份，所以在向量知識的整個學(xué)習(xí)過程中，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，在解決問題過程中