高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 解析幾何

1、高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-解析幾何【重點(diǎn)知識回顧】解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，各地區(qū)在這一部分的出題情況較為相似，一般兩道小題一道大題，分值約占15%，即22分左右.具體分配為：直線和圓以及圓錐曲線的基礎(chǔ)知識兩個容易或中檔小題，機(jī)動靈活，考查雙基；解答題難度設(shè)置在中等或以上，一般都有較高的區(qū)分度，主要考查解析幾何的本質(zhì)“幾何圖形代數(shù)化與代數(shù)結(jié)果幾何化”以及分析問題解決問題的能力.解析幾何的主要內(nèi)容是高二中的直線與方程，圓與方程，圓錐曲線與方程考查的重點(diǎn)：直線的傾斜角與斜率、點(diǎn)到直線的距離、兩條直線平行與垂直關(guān)系的判定、直線和圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何

2、性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、曲線與方程、圓錐曲線的簡單應(yīng)用等，其中以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系最為重要。圓錐曲線方程這章擴(kuò)展開的內(nèi)容比較多，比較繁雜，對學(xué)生來說不一定要把所有的結(jié)論一一記住，關(guān)鍵是掌握圓錐曲線的概念實(shí)質(zhì)以及直線和圓錐曲線的關(guān)系.因此，在復(fù)習(xí)過程中要注意下述幾個問題：（1）在解答有關(guān)圓錐曲線問題時，首先要考慮圓錐曲線焦點(diǎn)的位置，對于拋物線還應(yīng)同時注意開口方向，這是減少或避免錯誤的一個關(guān)鍵，同時勿忘用定義解題.（2）在考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系或兩圓錐曲線的位置關(guān)系時，可以利用方程組消元后得到二次方程，用判別式進(jìn)行判.但對直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與雙曲線的漸近線平行時，

3、不能使用判別式，為避免繁瑣運(yùn)算并準(zhǔn)確判斷特殊情況，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.畫出方程所表示的曲線，通過圖形求解.當(dāng)直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.（3）求圓錐曲線方程通常使用待定系數(shù)法，若能據(jù)條件發(fā)現(xiàn)符合圓錐曲線定義時，則用定義求圓錐曲線方程非常簡捷.在處理與圓錐曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)問題，也可反用圓錐曲線定義簡化運(yùn)算或證明過程. 一般求已知曲線類型

4、的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟. 定形指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對稱軸的位置；定式根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個坐標(biāo)軸上時，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m0,n0)；定量由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小.（4）在解與焦點(diǎn)三角形（橢圓、雙曲線上任一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形）有關(guān)的命題時，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圓錐曲線定義.（5）要熟練掌握一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理在求弦長、中點(diǎn)弦、定比分點(diǎn)弦、弦對定點(diǎn)張直角等方面的應(yīng)用. （6）求動點(diǎn)軌跡方程是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之

5、一，它是各種知識的綜合運(yùn)用，具有較大的靈活性，求動點(diǎn)軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“曲線”化成“方程”，將“形”化成“數(shù)”，使我們通過對方程的研究來認(rèn)識曲線的性質(zhì). 求動點(diǎn)軌跡方程的常用方法有：直接法、定義法、幾何法、代入轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、交軌法等.解題時，注意求軌跡的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍.【典型例題】1.直線的基本問題：直線的方程幾種形式、直線的斜率、兩條直線平行與垂直的條件、兩直線交點(diǎn)、點(diǎn)到直線的距離。例1已知與，若兩直線平行，則的值為解析：點(diǎn)評：解決兩直線平行問題時要記住看看是不是重合易錯指導(dǎo)：不知道兩直線平行的條件、不注意檢驗(yàn)兩直線是否重合是本題容易出錯的地方。例2經(jīng)過圓的圓心

6、，且與直線垂直的直線方程是解析：圓心坐標(biāo)是，所求直線的斜率是，故所求的直線方程是，即點(diǎn)評：本題考查解析幾何初步的基本知識，涉及到求一般方程下的圓心坐標(biāo)，兩直線垂直的條件，直線的點(diǎn)斜式方程，題目簡單，但交匯性很強(qiáng)，非常符合在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計試題的命題原則，一個小題就把解析幾何初步中直線和圓的基本知識考查的淋漓盡致易錯指導(dǎo)：基礎(chǔ)知識不牢固，如把圓心坐標(biāo)求錯，不知道兩直線垂直的條件，或是運(yùn)算變形不細(xì)心，都可能導(dǎo)致得出錯誤的結(jié)果2.圓的基本問題：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、兩圓位置關(guān)系.例3已知圓的方程為設(shè)該圓過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（）ABCD解析：圓心坐標(biāo)是，半徑是，圓心到點(diǎn)

7、的距離為，根據(jù)題意最短弦和最長弦（即圓的直徑）垂直，故最短弦的長為，所以四邊形的面積為點(diǎn)評：本題考查圓、平面圖形的面積等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理、運(yùn)算求解等能力。解題的關(guān)鍵有二，一是通過推理知道兩條弦互相垂直并且有一條為圓的直徑，二是能根據(jù)根據(jù)面積分割的道理，推出這個四邊形的面積就是兩條對角線之積的一半。本題是一道以分析問題解決問題的能力立意設(shè)計的試題。易錯指導(dǎo)：邏輯思維能力欠缺，不能找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，或是運(yùn)算能力欠缺，運(yùn)算失誤，是本題不能解答或解答錯誤的主要原因3.圓錐曲線的基本問題：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，求簡單的曲線方程.例4已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q

8、（2，1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. （，1）B. （，1）C. （1，2）D. （1，2）解析：定點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，由拋物線的定義，動點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)和拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小時，求點(diǎn)的坐標(biāo)，顯然點(diǎn)是直線和拋物線的交點(diǎn)，解得這個點(diǎn)的坐標(biāo)是。點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義和數(shù)形結(jié)合解決問題的思想方法類似的題目在過去的高考中比較常見易錯指導(dǎo)：不能通過草圖和簡單的計算確定點(diǎn)和拋物線的位置關(guān)系，不能將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為其到準(zhǔn)線的距離，是解錯本題或不能解答本題的原因例5已知圓以圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個焦

9、點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為解析：圓和軸的交點(diǎn)是，和軸沒有交點(diǎn)。故只能是點(diǎn)為雙曲線的一個頂點(diǎn)，即；點(diǎn)為雙曲線的一個焦點(diǎn)，即。，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。點(diǎn)評：本題考查圓和雙曲線的基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。解題的關(guān)鍵是確定所求雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)易錯指導(dǎo)：數(shù)形結(jié)合的思想意識薄弱，求錯圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，用錯雙曲線中的關(guān)系等，是不同出錯的主要問題4.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例6若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）ABCD解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則且.又，故，由得（圓心在第一象限、舍去）或，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是。點(diǎn)評：本題考查直線和圓的有

10、關(guān)基礎(chǔ)知識，考查坐標(biāo)法的思想，考查運(yùn)算能力。解題的關(guān)鍵是圓心坐標(biāo)易錯指導(dǎo)：不能把直線與圓相切的幾何條件通過坐標(biāo)的思想轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，或是運(yùn)算求解失誤等例7（過雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F。過點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則AFB的面積為_解析：雙曲線右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，雙曲線一條漸近線的斜率是，直線的方程是，與雙曲線方程聯(lián)立解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故AFB的面積為點(diǎn)評：本題考查雙曲線的基礎(chǔ)知識和運(yùn)算能力。易錯指導(dǎo)：過右焦點(diǎn)和漸近線平行的直線和雙曲線只有一個交點(diǎn)，如果寫錯漸近線的方程，就會解出兩個交點(diǎn)，不但增加了運(yùn)算量，還使結(jié)果錯誤。例8在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以為圓心，為

11、半徑的圓做圓，若過點(diǎn)，所作圓的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為解析：過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，如圖，這說明四邊形是一個正方形，即圓心到點(diǎn)的距離等于圓的半徑的倍，即，故點(diǎn)評：本題把橢圓方程、圓和圓的切線結(jié)合起來，考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了“在知識的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題”的原則，較全面地考查了解析幾何的基本知識。解題的突破口是將圓的兩條切線互相垂直轉(zhuǎn)化為一個數(shù)量上的關(guān)系。AyxOBGFF1易錯指導(dǎo)：陷入圓的兩條切線互相垂直，不能通過數(shù)形結(jié)合的方法找到解題途徑等，是考生解錯本題的主要原因。例9設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為如圖4所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切

12、線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）解析：（1）由得，當(dāng)?shù)?，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)G的切線方程為即，令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點(diǎn),以為直角的只有一個，同理以為直角的只有一個若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，。關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點(diǎn)使得為直角三角形。點(diǎn)評：本題考查橢圓和拋物線

13、方程的求法、拋物線的切線方程的求法、存在性問題的解決方法、分析問題解決問題的能力，是一道幾乎網(wǎng)羅了平面解析幾何的所有知識點(diǎn)并且和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯在一起的綜合性試題，是一道“在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處”設(shè)計的典型試題。易錯指導(dǎo)：本題把拋物線和橢圓結(jié)合在一起，題目的條件里還有兩條直線，考生在心理上畏懼，可能出現(xiàn)的問題是思維混亂，理不清題目中錯綜復(fù)雜的關(guān)系，找不到正確的解題思路；在解決第二問時缺乏分類討論的思想意識產(chǎn)生漏解等【模擬演練】一、選擇1.下列各組直線中，兩條直線互相平行的是（）A.與 B.與C.與 D.與2. 直線繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°所得直線與圓的位置關(guān)系是（ ）.A直線與圓相切B

14、直線與圓相交但不過圓心C直線與圓相離D直線過圓心2.A解析：由得，所以，即，傾斜角為從而所求直線傾斜角為，斜率，直線，即此時，所以直線與圓相切3.雙曲線的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)，的面積為，則兩條漸近線的夾角為（）A B C D5、已知A、B、C三點(diǎn)在曲線y=上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1m4)，當(dāng)ABC的面積最大時，m等于( )A.3B.C.D.6.已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為、，是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足，則該雙曲線的方程是（）A B C D7.已知點(diǎn)F是雙曲線的左右焦點(diǎn)，以為一邊的等邊三角形與雙曲線的兩交點(diǎn)恰為等邊三角形兩邊中點(diǎn)，則雙曲線離心率（ ）.ABCD8.已知拋物線的焦點(diǎn)為

15、，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ).或 .或. 或 .或10.設(shè)經(jīng)過橢圓上的任意兩點(diǎn)的連線的垂直平分線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D. 11.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同意直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知的頂點(diǎn)A（2，0），B（0，4），若其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是A. （-4，0） B. （-4，0），（-2，0）C.（-4，0），（-3，0） D. （-4，2）12、二、填空14.直線與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長為，離心率為的雙曲線交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，則

16、直線的方程是19.已知以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)和，線段的垂直平分線交圓于點(diǎn)和，且.(1)求直線的方程；(2)求圓的方程；(3)設(shè)點(diǎn)在圓上，試問使的面積等于8的點(diǎn)共有幾個？證明你的結(jié)論.20.直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.21.已知點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為。（1）求證：點(diǎn)的軌跡在一個橢圓上，并寫出橢圓的方程；（2）設(shè)過原點(diǎn)的直線交（1）中的橢圓于點(diǎn)、，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，試求面積的最大值，并求此時直線的斜率；22.已知點(diǎn)A（1，0），B（1，1）和拋物線

17、.，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖.（I）證明: 為定值;（II）若POM的面積為，求向量與的夾角；() 證明直線PQ恒過一個定點(diǎn).參考答案1.B解析：將以上各式轉(zhuǎn)化為斜截式，A.與，斜率不相同；B.與斜率相同，截矩不相同；C.與斜率相同，截矩相同；D.與斜率不相同.故選B.3.A解析：設(shè)坐標(biāo)為根據(jù)右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)，可得，因此點(diǎn)坐標(biāo)為，因此的面積為，得，因此兩條漸近線的夾角為.5、B解析：由題意知A(1，1)，B(m,),C(4,2).直線AC所在方程為x3y+2=0,點(diǎn)B到該直線的距離為d=.m(1,4),當(dāng)時，SABC有最大值，

18、此時m=.6.D解析：根據(jù)得，因此，解之得或，因此則該雙曲線的方程是.7.A解析.要求雙曲線的離心率就需要構(gòu)造特征量之間的關(guān)系，注意到雙曲線與等邊三角形的交點(diǎn)在雙曲線上，且三邊反映了特征量之間的關(guān)系，可以構(gòu)造三角形求解.因此連接,在中，.8、解析：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為 設(shè)，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，則，又由得，即，解得選B.10、解析：設(shè)此兩點(diǎn)分別為的中點(diǎn)為則有 得：，再根據(jù)垂直兩直線的斜率之積等于-1，故可知AB的中垂線的方程為：，令選A.12、14.解析：根據(jù)題意，故，故雙曲線方程為，設(shè)，則，兩式相減得，由， 故，故直線的方程是，即19、解：直線的斜率 ，中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，直線方程為 . 設(shè)圓心，則由在上得： 又直徑,，又由解得或圓心 或圓的方程為 或. ， 當(dāng)面積為時 ，點(diǎn)到直線的距離為 . 又圓心到直線的距離為，圓的半徑 且 圓上共有兩個點(diǎn)使 的面積為. 20、解：（1）將直線的方程代入雙曲線的方程后，整理得：-，依題意，直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，解得的取值范圍是，（2）設(shè)兩點(diǎn)的