湖南大學(xué)第五章采樣

1、第五章 采樣 基本題 考慮正弦信號 若用頻率采樣，那么離散時間信號就等于 假定采樣頻率固定在。1假設(shè)并定義T=1/8192。創(chuàng)建向量n=0:8192，使得t=n*T包含了區(qū)間內(nèi)8192個時間樣本。創(chuàng)建向量x，它包含在t的時間樣本上的樣本。2用stem對展示前50個樣本，用plot對采樣時間展示的前50個樣本。 為了計算帶限重建信號的連續(xù)時間傅立葉變換的樣本，今用下列函數(shù)function X,w=ctffts(x,T)N=length(x);X=fftshift(fft(x,N)*(2*pi/N);w=linspace(-1,1-1/N,N)/(2*T);這個函數(shù)用fft計算重建信號的傅立葉變換

2、。文件ctffts.m應(yīng)該裝在相應(yīng)的MATLABPATH中。3用X,w=ctffts(x,T)計算重建信號的連續(xù)時間傅立葉變換。畫出X對w的幅值圖。X在合理的頻率值上是非零嗎？假定當(dāng)X接近于零時，相位等于零，X的相位正確嗎？中等題4對正弦頻率和重作13。X的幅值對于所預(yù)計的頻率還是非零嗎？X的相位正確嗎？t=linspace(0,1,8192);w=2*pi*2000;y=;T=1/8192;x=sin(w*t);for n=1:50 y(n)=x(n);endX,w=ctffts(x,T);subplot(211)plot(w,X);axis(-2500 2500 0 1.5);subplo

3、t(212)xn=angle(X);plot(xn);5用sound(x,1/T)將4中創(chuàng)建的每個采樣信號放出來。你聽到的音調(diào)隨頻率的提高而提高嗎？注意，和plot一樣，sound函數(shù)也有內(nèi)插的作用。有提高6現(xiàn)在對正弦頻率，和重作1和3。也用sound將每個采樣信號放出來。你所聽到的音調(diào)高度隨每次頻率的增加而提高嗎？如果不是，你能解釋這個現(xiàn)象嗎？深入題 現(xiàn)在考慮信號 由于這個信號當(dāng)通過一個揚聲器放出來時，其聲音聽起來像鳥叫的聲音，所以常稱它為鳥聲信號，這是由于這個信號的瞬時頻率隨時間而增加的緣故。一個正弦信號的瞬時頻率是它的相位的導(dǎo)數(shù)，即sin(.)的宗量的導(dǎo)數(shù)。對于這個鳥聲信號，其瞬時頻率是

4、 在下面習(xí)題中，假設(shè)。7設(shè)和，將該鳥聲信號在區(qū)間內(nèi)的樣本存入時間向量x中。w=2*pi*30000;r=2000;T=1/8192;n=0:8192;t=T*n;x=sin(w*t+1/2*r*t.2)sound(x,1/T);plot(t,x);當(dāng)t等于0.548的時候，即瞬時頻率等于抽樣頻率的一半時，鳥聲的強度最大。8用sound放出在x中的鳥聲信號。你能解釋剛才聽到的嗎？9確定鳥聲信號有最大強度的近似時間樣本。已知瞬時頻率的線性方程和你對混疊的理解，請解釋怎樣本就能預(yù)計到這個時間樣本。§5.2 由樣本重建信號目的 這個練習(xí)討論由樣本重建原連續(xù)時間信號。相關(guān)知識 這個練習(xí)包含信號

5、從它的樣本的重建，這里T是采樣周期，是任意整數(shù)。正如在練習(xí)5.1中所討論的。如果的帶寬小于，那么就能用低通過濾的沖激串采樣完全恢復(fù) 由重建所用的低通濾波器是 它是一個截止頻率為的理想低通濾波器。這個濾波器的單位沖激響應(yīng) 然后帶限重建由下式給出 這個信號是否是的一個“好”的重建取決于的帶寬。正如在練習(xí)5.1所指出的，如果的帶寬是大于，那么這個重建信號一般不等于。 如果的帶寬超過，仍然有可能從它的樣本恢復(fù)，如果還有關(guān)于的樣本的另外一些信息的話。譬如，若已知是分段線性的，那么就可以用一個線性內(nèi)插器重建。樣本的線性內(nèi)插器由與下面單位沖激響應(yīng)卷積給出： 連續(xù)時間重建信號等效于用直線將這些樣本連起來。然而

6、，就如同在采樣率低于奈奎斯特率時，帶限內(nèi)插在不能很好的恢復(fù)一個信號一樣，如果原信號不是分段線性的，線性內(nèi)插器不能產(chǎn)生一個很好的重建。下面的練習(xí)將說明，任何內(nèi)插濾波器的性能都取決于原信號的特征。 在下面的練習(xí)中，既用帶限內(nèi)插，又用線性內(nèi)插從采樣時刻得到的樣本來重建下列信號： 基本題1用解析法證明，在采樣時刻和都等于樣本值。這樣的內(nèi)插器稱為嚴(yán)格內(nèi)插器，因為它們保留了原始信號在采樣時刻的真正值。這個帶限內(nèi)插和線性內(nèi)插濾波器時因果的嗎？2和帶限嗎？若是，帶寬是多少？syms t;x1t=sym('cos(8*pi*t/5)');ht=sym('heaviside(t+2)-he

7、aviside(t-2)')x2=sym('1-abs(t)/2');x2t=ht.*x2;subplot(1,4,1);ezplot(x1t);grid on; subplot(1,4,2);ezplot(x2t);grid on; F1=fourier(x1t);subplot(1,4,3);ezplot(F1,-100,100);grid on; F2=fourier(x2t);subplot(1,4,4);ezplot(F2,-10,10);grid on;根據(jù)頻譜圖形可以看出x1t是帶限的，其大小是8*pi/5*2,x2t不是帶限的 3創(chuàng)建一個向量ts，它包含

8、在內(nèi)的采樣間隔。將對應(yīng)于ts的和的樣本存入向量xs1和xs2，用stem畫出xs1和xs2對ts的圖。T=1/2;n=-4:4;ts=n*T;x1t=cos(8*pi*ts/5);x2t=(1-abs(ts)/2).*(heaviside(ts+2)-heaviside(ts-2);xs1=x1t;xs2=x2t;figure;subplot(1,2,1);stem(ts,xs1);grid on;title('xs1µÄͼÐÎ');Xlabel('x1n');subplot(1,2,2);stem(

9、ts,xs2);grid on;title('xs2µÄͼÐÎ');Xlabel('x2n'); 為了從這個樣本重建和，要注意到這些重建信號在MATLAB中僅僅能夠一個有限的樣本數(shù)上被計算出。因此，要計算這些內(nèi)插信號僅在區(qū)間上，將含在xs1和xs2中的每個樣本之間計算3個樣本。因此這個內(nèi)插信號的采樣間隔就是。另一個問題是的無限長持續(xù)時間問題。下面將用有限長內(nèi)插器來代替； 用這個內(nèi)插濾波器內(nèi)插和的樣本所得出的信號稱作和。相類似地，用線性內(nèi)插器內(nèi)插和的樣本所得出的信號稱作和。4假設(shè)Ti=1/8并創(chuàng)建一個內(nèi)

10、插時刻ti=-2:Ti:2向量。將在內(nèi)插時刻和的值存入向量hb1和hlin中。用plot畫出這兩個單位沖激響應(yīng)對ti的圖。在采樣時刻ts上這兩個單位沖激響應(yīng)的值是什么？每個單位沖激響應(yīng)的峰值都應(yīng)該在處。Ts=1/8;ws=4*pi;n1=-16:16;t1=n1*Ts;hb1f=sinc(2.*t1).*(heaviside(t1+2)-heaviside(t1-2);x1t1=cos(8*pi*t1/5);x2t1=(1-abs(t1)/2).*(heaviside(t1+2)-heaviside(t1-2);y1b1=conv(hb1f,x1t1);y2b1=conv(hb1f,x2t1)

11、;hlin=(1-abs(t1)/T).*(heaviside(t1+T)-heaviside(t1-T);y1lin=conv(hlin,x1t1);y2lin=conv(hlin,x2t1);中等題 因為和都僅對于為非零，所以在區(qū)間上的這些內(nèi)插信號就僅是在區(qū)間的樣本的函數(shù)。下面的練習(xí)將用conv（離散卷積）函數(shù)從在xs1和xs2中的樣本，在ti的內(nèi)插時刻上重建這些信號。然而，為了考慮這些內(nèi)插濾波器的非因果性，并且要保持住與在xs1和xs2中樣本的關(guān)系，還應(yīng)做以下練習(xí)。5計算在ti時刻點上的內(nèi)插信號要求作許多hlin或（hb1）移位形式的疊加，每個都用適當(dāng)?shù)臉颖局导訖?quán)。這個求和式等效于一個卷

12、積，它能用函數(shù)conv來實現(xiàn)?，F(xiàn)考慮樣本的線性內(nèi)插。第一步是要使在xs2中的樣本時刻對應(yīng)于在hlin中的樣本的時刻。這可以用創(chuàng)建如下向量來完成>> N=4*(length(xs2)-1)+1;>> xe2=zeros(1,N);>> xe2(1:4:N)=xs2;在xe2中每個元素的時間由te=-4:Ti:4給出。對于在te中的每一個時刻等于在ts中的一個樣本時間，xe2就包含了在xs2中的相應(yīng)值；否則，xe2是零。用stem畫出xe2對te的圖，并將它與xs2圖比較。N=4*(length(xs2)-1)+1;xe2=zeros(1,N);xe2(1:4:N)=xs2;te=-4:1/4:4;figure;stem(te,xe2,'fill','-');grid on;6利用conv將xe2與hlin作卷積，conv輸出的一個子集含有在時刻ti上的線性內(nèi)插。記住，存在hlin中的線性的內(nèi)插器對應(yīng)于一個非因果濾波器，而conv則認(rèn)為濾波器是因果的。參照8.1節(jié)有關(guān)conv如何能用來實現(xiàn)非因果濾波器的說明，提取對應(yīng)于輸出的所要求部分，并將它存入向量ylin中。用plot畫出