高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)134函數(shù)的連續(xù)性及極限的應(yīng)用

1、13.4 函數(shù)的連續(xù)性及極限的應(yīng)用知識(shí)梳理1.函數(shù)的連續(xù)性.一般地，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處連續(xù)必須滿足下面三個(gè)條件：（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處有定義；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處及其附近有定義，而且f（x）=f（x0）,就說函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù).2.如果f（x）是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，那么f（x）在閉區(qū)間a,b上有最大值和最小值.3.若f（x）、g（x）都在點(diǎn)x0處連續(xù),則f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）0）也在點(diǎn)x0處連續(xù).若u（x）在點(diǎn)x0處連續(xù),且f（u）在u0=u（x0）處連

2、續(xù),則復(fù)合函數(shù)fu（x）在點(diǎn)x0處也連續(xù).特別提示（1）連續(xù)必有極限,有極限未必連續(xù).（2）從運(yùn)算的角度來分析,連續(xù)函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限運(yùn)算與函數(shù)關(guān)系“f”是可以交換順序的.點(diǎn)擊雙基1.f（x）在x=x0處連續(xù)是f（x）在x=x0處有定義的_條件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要解析：f（x）在x=x0處有定義不一定連續(xù).答案：A2.f（x）=的不連續(xù)點(diǎn)為A.x=0B.x=（k=0,±1,±2,）C.x=0和x=2k（k=0,±1,±2,）D.x=0和x=（k=0,±1,±2,）解析：由cos=0,得=k+（k

3、Z）,x=.又x=0也不是連續(xù)點(diǎn),故選D答案：D3.下列圖象表示的函數(shù)在x=x0處連續(xù)的是A. B. C. D.答案：A4.四個(gè)函數(shù):f（x）=;g（x）=sinx;f（x）=|x|;f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0處連續(xù)的函數(shù)是_.（把你認(rèn)為正確的代號(hào)都填上）答案：典例剖析【例1】（1）討論函數(shù)f（x）=（2）討論函數(shù)f（x）=在區(qū)間0,3上的連續(xù)性.剖析：（1）需判斷f（x）=f（x）=f（0）.（2）需判斷f（x）在（0,3）上的連續(xù)性及在x=0處右連續(xù),在x=3處左連續(xù).解:（1）f（x）=1,f（x）=1,f（x）f（x）,f（x）不存在.f（x）在x=0處不連續(xù).（

4、2）f（x）在x=3處無定義,f（x）在x=3處不連續(xù).f（x）在區(qū)間0,3上不連續(xù).【例2】設(shè)f（x）=當(dāng)a為何值時(shí),函數(shù)f（x）是連續(xù)的.解:f（x）=（a+x）=a,f（x）=ex=1,而f（0）=a,故當(dāng)a=1時(shí),f（x）=f（0）,即說明函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù),而在x0時(shí),f（x）顯然連續(xù),于是我們可判斷當(dāng)a=1時(shí),f（x）在（,+）內(nèi)是連續(xù)的.評(píng)述：分段函數(shù)討論連續(xù)性,一定要討論在“分界點(diǎn)”的左、右極限,進(jìn)而斷定連續(xù)性.【例3】如右圖,在大沙漠上進(jìn)行勘測(cè)工作時(shí),先選定一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),然后采用如下方法進(jìn)行:從原點(diǎn)出發(fā),在x軸上向正方向前進(jìn)a（a0）個(gè)單位后,向左轉(zhuǎn)90°

5、;,前進(jìn)ar（0r1個(gè)單位,再向左轉(zhuǎn)90°,又前進(jìn)ar2個(gè)單位,如此連續(xù)下去.（1）若有一小分隊(duì)出發(fā)后與設(shè)在原點(diǎn)處的大本營(yíng)失去聯(lián)系,且可以斷定此小分隊(duì)的行動(dòng)與原定方案相同,則大本營(yíng)在何處尋找小分隊(duì)?（2）若其中的r為變量,且0r1,則行動(dòng)的最終目的地在怎樣的一條曲線上?剖析：（1）小分隊(duì)按原方案走,小分隊(duì)最終應(yīng)在運(yùn)動(dòng)的極限位置.（2）可先求最終目的地關(guān)于r的參數(shù)形式的方程.解:（1）由已知可知即求這樣運(yùn)動(dòng)的極限點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)的極限位置為Q（x,y）,則x=aar2+ar4=,y=arar3+ar5=,大本營(yíng)應(yīng)在點(diǎn)（,）附近去尋找小分隊(duì).（2）由消去r得（x）2+y2=（其中x,y0）,即

6、行動(dòng)的最終目的地在以（,0）為圓心,為半徑的圓上.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.函數(shù)f（x）=則有A.f（x）在x=1處不連續(xù)B.f（x）在x=2處不連續(xù)C.f（x）在x=1和x=2處不連續(xù)D.f（x）處處連續(xù)解析：f（x）=0,f（x）=1,f（x）在x=1處不連續(xù).答案：A2.若f（x）在定義域a,b上有定義,則在該區(qū)間上A.一定連續(xù)B.一定不連續(xù)C.可能連續(xù)也可能不連續(xù)D.以上均不正確解析：有定義不一定連續(xù).答案：C3.已知函數(shù)f（x）=函數(shù)f（x）在哪點(diǎn)連續(xù)A.處處連續(xù) B.x=1C.x=0 D.x=解析：f（x）=f（x）=f（）.答案：D4.有以下四個(gè)命題:f（x）=在0,1上連續(xù);若f（x

7、）是（a,b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù),則f（x）在（a,b）內(nèi)有最大值和最小值;=4;若f（x）=則f（x）=0.其中正確命題的序號(hào)是_.（請(qǐng)把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）答案：5.拋物線y=b（）2、x軸及直線AB:x=a圍成了如圖（1）的陰影部分,AB與x軸交于點(diǎn)A,把線段OA分成n等份,作以為底的內(nèi)接矩形如圖（2）,陰影部分的面積為S等于這些內(nèi)接矩形面積之和當(dāng)n時(shí)的極限值,求S.解：S=b·（）2+b·（）2+b·（）2+b·（）22·=·ab=·ab=ab.培養(yǎng)能力6.求y=f（x）=的不連續(xù)點(diǎn).解：易求f（x）的定義域?yàn)閤|

8、x1,0,1,所以f（x）的不連續(xù)點(diǎn)為x=1,x=0和x=1.7.（2002年春季上海）某公司全年的純利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工,獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)（工作業(yè)績(jī)均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方案將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.（1）設(shè)ak（1kn）為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求a2、a，并用k、n和b表示ak（不必證明）;（2）證明：akak1（k1，2，n1），并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；（3）發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為Pn（b）對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求Pn（b）（

9、可用公式（1）n=）. （1）解：a1，a2（1）·b，a3（1）2·b，ak（1）k1·b.（2）證明:akak1（1）k1·b，此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了按勞分配的原則.（3）解:設(shè)fk（b）表示發(fā)給第k位職工后所剩余額，則f1（b）（1）·b，f2（b）（1）2·b，fk（b）（1）k·b，得n（b）fn（b）（1）n·b,故n（b）.探究創(chuàng)新8.（2003年北京）如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB、BC相切,圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)

10、下去,記圓On的面積為an（nN*）.（1）證明an是等比數(shù)列；（2）求（a1+a2+an）的值.（1）證明:記rn為圓On的半徑，則r1=tan30°=l.=sin30°=,rn=rn1（n2）.于是a1=r12=,=（）2=,an成等比數(shù)列.（2）解：因?yàn)閍n=（）n1·a1（nN*）,所以（a1+a2+an）=.思悟小結(jié)1.函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)反映到函數(shù)f（x）的圖象上是在點(diǎn)x=x0處是不間斷的.一般地,函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處不連續(xù)（間斷）大致有以下幾種情況（如下圖所示）.圖甲表示的是f（x）在點(diǎn)x0處的左、右極限存在但不相等,即f（x）不存在.圖乙表

11、示的是f（x）在點(diǎn)x0處的左極限存在,而右極限不存在,也屬于f（x）不存在的情況.圖丙表示的是f（x）存在,但函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處沒有定義.圖丁表示的是f（x）存在,但它不等于函數(shù)在這一點(diǎn)處的函數(shù)值f（x0）.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)與f（x）在點(diǎn)x0處有極限的聯(lián)系與區(qū)別:其聯(lián)系是:f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)是依據(jù)f（x）在點(diǎn)x0處的極限來定義的,它要求f（x）存在.其區(qū)別是:函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)比在此點(diǎn)處有極限所具備的條件更強(qiáng).首先,f（x）在點(diǎn)x0處有極限,對(duì)于點(diǎn)x0而言,x0可以屬于f（x）的定義域,也可以不屬于f（x）的定義域,即與f（x0）是否有意義無關(guān),而f（x

12、）在點(diǎn)x0處連續(xù),要求f（x）在點(diǎn)x0及其附近都有定義;其次,f（x）在點(diǎn)x0處的極限（值）與f（x）在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f（x0）可以無關(guān),而f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù),要求f（x）在點(diǎn)x0處的極限（值）等于它在這一點(diǎn)的函數(shù)值f（x0）.我們通常說“連續(xù)必有極限,有極限未必連續(xù)”,正是針對(duì)上述事實(shí)而言的.2.函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)必須具備以下三個(gè)條件:函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處有定義;函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處有極限;函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處的極限值等于在這一點(diǎn)x0處的函數(shù)值,即f（x）=f（x0）.這三個(gè)條件缺一不可,是我們判斷函數(shù)在一點(diǎn)處是否連續(xù)的重要工具.拓展題例【例題】一彈性小球自h

13、0=5 m高處自由下落,當(dāng)它與水平地面每碰撞一次后速度減少到碰前的,不計(jì)每次碰撞時(shí)間,計(jì)算小球從開始下落到停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程和時(shí)間.解：設(shè)小球第一次落地時(shí)速度為v0,則有v0=10（m/s）,那么第二,第三,第n+1次落地速度分別為v1=v0,v2=（）2v0,vn=（）nv0,小球開始下落到第一次與地相碰經(jīng)過的路程為h0=5 m,小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的路程是L1=2×=10×（.小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過的路程為L(zhǎng)2,則L2=2×=10×（）4.由數(shù)學(xué)歸納法可知,小球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過路程為L(zhǎng)n=10×（）2n.故從第一次到第n+1次所經(jīng)過的路程為Sn+1=h0+L1+L2+Ln,則整個(gè)過程總路程為S=Sn+1=5+10&