圓的標準方程學案8必修2

1、研卷知古今；藏書教子孫。題目 第七章直線和圓的方程圓的方程高考要求1掌握圓的標準方程和一般方程2 了解參數(shù)方程的概念 理解圓的參數(shù)方程3掌握圓的方程的兩種形式并會根據(jù)具體情況選擇其中的一種解題4掌握圓系方程并會運用它解決有關(guān)問題；5靈活運用圓的幾何性質(zhì)解決問題知識點歸納1.圓的定義平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓.2圓的標準方程圓心為（a, b）,半徑為r的圓的標準方程為（x-a）2 + （y - b）2 = r2方程中有三個參量a、b、r,因此三個獨立條件可以確定一個圓 3圓的一般方程二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (*)配方得222 . E . 2 D2 E2 -4

2、F+(y+萬)=4-把方程 x2 y2 Dx Ey F =0(D2 E2 -4F . 0),T'D2+E2-4FD D E八其中，半徑是r =_E一4F,圓心坐標是 -上，-E 1叫做圓的一般方程2<22 J（1）圓的一般方程體現(xiàn)了圓方程的代數(shù)特點：x2、y2項系數(shù)相等且不為零 沒有xy項（2）當 D2+e24F=0 時，方程（*）表示點（？，_1）； 22當D2+E24FV0時，方程（*）不表示任何圖形（3）根據(jù)條件列出關(guān)于 D、E、F的三元一次方程組，可確定圓的一般方程4圓的參數(shù)方程圓心在O （0, 0）,半徑為r的圓的參數(shù)方程是：x = r cos：y = r sin ;（

3、ct是參數(shù)）圓心在點C（a, b）,半徑為r的圓的參數(shù)方程是:（a是參數(shù)）x = a + r cost、y = b + r sin«在中消去。得x2+y2=r2,在中消去。得（xa） 2+（yb）2= r2,把這兩個方程相對于它們各自的參數(shù)方程又叫做普通方程5二元二次方程 Ax2+ Bxy+Cy2+ Dx + Ey+ F=0表示圓的充要條件若二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓，則有 A=Cw0, B=0,這僅是二元二次 方程表示圓的必要條件，不充分在 A=CW0, B=0 時，二元二次方程化為 x2+y2+Rx+5y+F=0, A A A僅當D2+E2 4

4、AF>0時表示圓故Ax2+Bxy+Cy2+Dx + Ey+F=0表示圓的充要條件是：CD A=C*0, B=0, D2+E24AF>06線段AB為直徑的圓的方程： 若A(x1，yi), B(x2,y2),則以線段AB為直徑的圓的方程是(xx)(xx2) (y yi)(y y2)= 0 22_7經(jīng)過兩個圓交點的圓系萬程：經(jīng)過x +y +Dx+Eiy + Fi=0,22x +y +D2x + E2y+ F2 =0的交點的圓系方程是：22_22_x y DixEiyFi(xy D?xE2yF2) = 0在過兩圓公共點的圖象方程中，若 入=1,可得兩圓公共弦所在的直線方程8 經(jīng)過直線與圓交

5、點的圓系方程： 經(jīng)過直線l:Ax + By+C=0與圓22x2 +y2 +Dx +Ey +F =0的交點的圓系方程是：x2 y2 Dx Ey F (Ax By C) =09確定圓需三個獨立的條件222(1)標準萬程：(xa) +(yb) =r , (a,b)圓心 r 一一半徑(2) 一般方程：x2 +y2 +Dx +Ey +F =0, ( D2 +E2 -4F > 0)一一2 一 2 一/ DEDE -4F(一一，一一)-圓圓心，r 二222題型講解例1 (1)求經(jīng)過點 A(5,2),B(3,2)，圓心在直線2x y 3=0的圓的方程；(2)求以O(shè)(0,0),A(2,0),B(0,4)為

6、頂點的三角形OAB外接圓的方程2x0 y0 3 = 0解：(1)設(shè)圓心P(%y0),則有2222 ,605) +(y02) =(x。3) +(y。2)解得 x0=4, y0=5,半徑 r= 10 ,，所求圓的方程為(x 4+(y 25)10(2)采用一般式，設(shè)圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0將三個已知點的坐標代入列方程組解得：D= 2, E= 4, F=0點評：第(1),(2)兩小題根據(jù)情況選擇了不同形式例2設(shè)A (c, 0)、B (c, 0) (c>0)為兩定點，動點 P到A點的距離與到 B點的距離 的比為定值a ( a>0),求P點的軌跡分析：給曲線建立方程是解析幾何

7、的兩個主要問題之一，其基本方法就是把幾何條件代數(shù)化；主要問題之二是根據(jù)方程研究曲線的形狀、性質(zhì)，即用代數(shù)的方法研究幾何問題解：設(shè)動點P的坐標為(x, y),由四=a(a>0)得 |PB|(x c)2 y 2x -c) y22=a,化簡，得(1 a2) x2+2c (1+a2) x+c2 (1 a2) + (1-a2) y2=0當a=1時，方程化為x=0=(等;)2 a -10)為圓心,2ac| |為半徑的圓a -1,.1 a2當aw1時，方程化為(x-1c) + ya2 -1所以當a=1時，點P的軌跡為y軸;, , a2 ; 1當aw1時，點P的軌跡是以點(a-1ca2 -1點評：本題主

8、要考查直線、圓、曲線和方程等基本知識，考查運用解析幾何的方法解決 問題的能力，對代數(shù)式的運算化簡能力有較高要求同時也考查了分類討論這一數(shù)學思想例3 圓與y軸相切，圓心在直線 x- 3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2后，求此圓的方程分析：利用圓的性質(zhì)：半弦、半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形解：因圓與y軸相切，且圓心在直線 x- 3y=0上，故設(shè)圓方程為(x -3b)2 (y -b)2 = 9b2又因為直線y=x截圓得弦長為2J7,則有(|3b 二b|)2+( .7)2=9b2,解得b= 土 1故所求圓方程為_22_,_22 一(x -3) +(y1) =9 或(x+3) +(y+1) =9點評

9、：在解決求圓的方程這類問題時，應(yīng)當注意以下幾點：(1)確定圓方程首先明確是標準方程還是一般方程；(2)根據(jù)幾何關(guān)系(如本例的相切、弦長等)建立方程求得a、b、r或D、E、F; (3)待定系數(shù)法的應(yīng)用，解答中要盡量減少未知量的個數(shù)例4已知。O的半徑為3,直線l與。O相切，一動圓與l相切，并與。O相交的公共弦 恰為。O的直徑，求動圓圓心的軌跡方程分析：問題中的幾何性質(zhì)十分突出，切線、直徑、垂直、圓心，如何利用這些幾何性 質(zhì)呢？解：取過O點且與l平行的直線為x軸，過。點且垂直于l的直線為y軸，建立直角坐標設(shè)動圓圓心為M (x, y),。與。M的公共弦為 AB,。M與l切于點C,則|MA|=|MC|.

10、AB為。O的直徑， MO垂直平分AB于O由勾股定理得 |MA|2=|MO |2+|AO|2=x2+y2+9,而 |MC|=|y+3|, . . x2 y2 9 =|y+3|化簡得x2=6y,這就是動圓圓心的軌跡方程點評：求軌跡的步驟是“建系，設(shè)點，找關(guān)系式，除瑕點”例5已知y軸右側(cè)一動圓C1與一定圓C2 : (x -2)2 + y2 =4外切，也與y軸相切(1)求動圓Ci圓心M的軌跡C;(2)過點T(2, 0)作直線l與軌跡C交于A、B兩點，求一點E(xo,O),使得AAEB是 以點E為直角頂點的等腰直角三角形解(1)由題意知動點 M到定點(2,0)與到定直線x= -2的距離相等，則動點 M的

11、軌跡是以定點(2,0)為焦點，定直線 x = -2為準線的拋物線所以點 M的軌跡方程為y2=8x又點M在原點時，圓并不存在，所以，動點 M的軌跡C是以(0, 0)為頂點，以(2, 0) 為焦點的拋物線，除去原點(2)設(shè)直線 l: x = my-2,代入 y2 = 8x,得y28my+16 = 06 = 64m2 -64 > 0,解之得 m > 1或m < -1 (*).設(shè)A(x1,yi), B(x2,y2),則yi,y2是方程 的兩個實數(shù)根，由韋達定理得y1 +y2 =8m, y1y2 =16 ,2所以，線段AB的中點坐標為F(4m -2,4m),而 | AB 尸:1 m2(

12、y1 y2)2 -4yl y2 =8 , 1 m2m2 -1,丁 x軸上存在一點E,使 AEB為以點E為直角頂點的等腰直角三角形，EF _L AB ,且 EF =AB直線 EF的方程為：y -4m =-m(x-4m2 + 2)令 y =0得 E點坐標為(4m2 +2,0),則 | EF |=4Jm2 +1所以 4, m2 1 =- 8 1 m2 m2 -1.2解之得m =±J2 ,則E點坐標為(10,0)例6 已知圓C的圓心在直線xy4=0,并且通過兩圓 G：x2+y2 4x 3=0C2:x2+y2 4y 3=0 的交點，(1)求圓C的方程；(2)求兩圓G和G相交弦的方程解：(1)因

13、為所求的圓過兩已知圓的交點，故設(shè)此圓的方程為：x2+y2 4x3+(x2+y2 4y 3)=0,即 (1+ 入)(x2+y2) 4xay3入一3=0,即x2 y2圓心為(一2-, 1 1由于圓心在直線221 1 所求圓的方程為:四.S_3=0,1 1 21 /.,xy4=0,4=0,解得 入=/3x +y 6x+2y3=0(2)將圓C1和圓G的方程相減得：x+y=0此即相交弦的方程點評：學會利用圓系的方程解題例7 求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x 4y+1=的交點，且面積最小的圓的方程解法一：因為通過兩個交點的動圓中，面積最小的是以此二交點為直徑端點的圓，于解方程組J'2x

14、+ y + 4 = 022 c,/ 公x +y +2x4y+1=0得交點A( 1/5,2/5), B(3,2)用圓的直徑式方程得：(x+11/5)(x+3) +(y /5)<y2)=0,化簡整理得(x+13/5)2+(y T5)2=4/5解法二：(運用曲線系方程)設(shè)過直線與用圓的交點的圓的方程為 x2+y2+2x4y+1+ (2x+y+4)=0,21 _ 4 2 5 2.即 (x+入 +1) +(y+)二一,一 4 A +424要使圓面積最小，必須半徑最小，由于r=九2 4九十4二 4168)2 .161 162. 5552 ' 5當且僅當兒二85時，r最小故所求圓的方程是(x+

15、135)2+(y -362=4/5例8 求圓x2 +y2 +4x12y+39=0關(guān)于直線3x 4y+ 5 = 0的對稱圓方程解：圓方程可化為(x+2( + (y6)2 =1,圓心o(-2,6),半徑為1設(shè)對稱圓圓心為 O (a,b)，則。與。關(guān)于直線3x-4y-5 = 0對稱,c a -2b 63 4 一，9因此有2b-6 3.二-1a 2 4-5二0解得32 a =5,26b 二 一一5所求圓的方程為點評：圓的對稱問題可以轉(zhuǎn)化為點 （圓心）的對稱問題，由對稱性質(zhì)知對稱圓半徑相等例9 設(shè)方程x2 + y2 -2(m +3)x +2(1 4m2)y+16m4 +9 = 0,若該方程表示一個圓,求

16、m的取值范圍及這時圓心的軌跡方程解：配方得：lx -（m 3） f + y -（1 -4m2） =1 6m - 7m2該方程表示圓，則有211+6m-7m A0 ,得 mw （-亍,1）,'x=m+32此時圓心的軌跡方程為 «）,消去m,得y=4（x3） -1 ,y =1 -4m241m20由 mW (-一，1)得 x=m+3W , 477所求的軌跡方程是-2 y=4(x3) -1,20xW ,417)點評：方程表示圓的充要條件，求軌跡方程時，一定要討論變量的取值范圍，如題中20 .x 7，4例10已知圓x2+y2=16,A （2, 0）,若PQ是圓上的動點，且 AP_L A

17、Q ,求PQ中點的軌跡方程解：設(shè)PQ中點M的坐標為（x,y）,由已知圓的參數(shù)方程,可設(shè) P(4cosH1,4sin d),Q(4cos%4sin 電),x =2coss 2cos% y =2sin42sin 匕=4 4 8 cos9cosu2 sin 2 sin %(1)又 AP_LAQ,二 KpaKaq =一1,4sin 4sin %4cos3-2 4cosi2-2化簡得 4 sin用sin% cos日cos4二 2 cos cos% )-1 = x -1代入（1）式，得x2 +y2 =8 + 2（x1）,所以所求軌跡方程為 x2 y2 -2x -6=0小結(jié):1不論圓的標準方程還是一般方程，

18、都有三個字母( a、b、r或D、E、F)的值需要確定, 因此需要三個獨立的條件利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a、b、r (或D、E、F)的三個方程組成的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的值2求圓的方程的一般步驟：(1)選用圓的方程兩種形式中的一種(若知圓上三個點的坐標，通常選用一般方程；若 給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標間的關(guān)系，通常選用標準方程)；(2)根據(jù)所給條件，列出關(guān)于 D、E、F或a、b、r的方程組；(3)解方程組，求出 D、E、F或a、b、r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，得到所求 圓的方程3解析幾何中與圓有關(guān)的問題，應(yīng)充分運用圓的幾何性質(zhì)幫助解題 學生練習1方程x2+y2 2 (t+3)

19、x+2 (1 4t2) y+16t4+9=0 (tC R)表示圓方程，則t的取值范圍是A-1<t< - B- 1<t<- C- -<t<1D1<t<2727答案：C2 點 P (5a+1解：由 D2+E24F>0,得 7t2 6t1<0,即一1 <t<1 12a)在圓(x 1) +y =1的內(nèi)部，則a的取值范圍是A I a I < 1Ba< 行 C I al < 5 D | a | < 13解：點 P 在圓(x- 1) 2+y2=1 內(nèi)部 u (5a+1 1) 2+ (12a) 2<1u I

20、a I < 13答案：D3已知圓的方程為(x- a) 2+ (y-b) 2=r2 (r>0),下列結(jié)論錯誤的是A當a2+b2=r2時，圓必過原點 B當a=r時，圓與y軸相切C當b=r時，圓與x軸相切 D當b<r時，圓與x軸相交解：已知圓的圓心坐標為(a, b),半徑為r,當b<r時，圓心到x軸的距離為|b|,只有當|b|<r 時，才有圓與x軸相交，而b<r不能彳證|b|<r,故D是錯誤的故選 D答案：D4 .圓x2+y24x+2y =0的圓心和半徑分別是()A (2,-1),、5 B (2,-1), 5 C (-2,1), .5 D (-2,1), 5

21、答案：A5 .點(1, 1)在圓(x a)2+(y+ a)2 =4的內(nèi)部，則a的取值范圍是()A -1 <a <1, B 0 <a <1, C ac-1 或 a>1 D a=±1答案：A6 .已知直線ax+by+c=0 (abc#0)與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為 a,b,c的三角形()A 是銳角三角形B是直角三角形 C是鈍角三角形D不存在答案：B7 . x2與y2的系數(shù)相同，且不等于零，并且沒有xy這樣的項是二元二次方程表示圓的()A必要條件B充分條件C充分且必要條件D既不充分也不必要條件答案：A22m的取值范圍是()8 .萬程x +y x

22、+ y + m = 0表布一個圓，則A m m2B m ：二 2 C m ：-2答案：C9 .已知圓心為點(2,-3), 一條直徑的兩個端點恰好落在兩個坐標軸上，則這個圓的方程是2222A. x y -4x 6y 8=0 B x y -4x 6y-8=02222Cx y -4x-6y =0 Dx y -4x 6y =0答案：D 一 2210 .圓x+y +Dx +Ey -3 =0的圓心在x軸上，半徑r=2,且D>E,則D=()A _1B _2C 1D 2答案：D .2211 . M (3, 0)是圓x +y 8x 2y+10=0內(nèi)一點，過 M點最長的弦所在的直線方程是( )A x y-3

23、=0B x-y-3=0C 2x -y -6 =0 D 2x y -6 =0答案：B12 .過點C(-1, 1)和D(1, 3),圓心在x軸上的圓的方程是 答案：(x-2) 2+y2=1013方程|x -1 =，1 (y1)2表示的曲線是 答案：兩個半圓14.已知圓 C的圓心在直線l1: xy 1 =0上，與直線l2:4x+3y + 14 = 0相切，且截直線 l3 :3x+4y+10 =0所得弦長為6,則圓C的方程： (答案：(x2 2 十(y1 2 =25)15 .過點A (1, 2)和B (1, 10)且和直線x2y1=0相切的圓方程為 答案：(x-3) 2+ (y-6) 2=80 或(x+7) 2+ (y-6) 2=80 2216 .圓(x3) +(y3) =9上到直線3x+4y 11 = 0的距離等于1的點有 個答案：217 .已知BC是圓x2+y2 =25的弦，且BC =6,則BC的中點的軌跡方程是 答案：x2+y2=162218圓x +y +4x 12y+3q =0關(guān)于點(1,1)的對稱圓萬程是 答案：(x-4) 2+ (y+4) 2=40-3q一 2219圓x十y十pxqy =0關(guān)于y軸對稱的圓