第六章 線性空間 (1)

1、第六章 線性空間§1基本知識§1. 1 基本概念1、集合的相關(guān)概念：2、映射：3、單射：4、滿射：5、雙射（一一映射）：6、可逆映射及其逆映射：7、線性空間：8、向量的線性組合：9、向量組的等價：10、向量的線性相關(guān)與無關(guān)：11、線性空間的維數(shù)（有限維與無限維線性空間）：12、線性空間的基與坐標(biāo)：13、過渡矩陣：14、線性空間的子空間： 15、生成子空間：16、子空間的和： 17、兩個子空間的直和： 18、有限個子空間的直和：19、線性空間的同構(gòu)：§1. 2 基本定理1、基與維數(shù)的判定定理：設(shè)是線性空間上個線性無關(guān)的向量，如果上任何一個向量都可以由它線性表出，那么

2、是維的，是它的一組基. 2、子空間的判定定理：設(shè)是線性空間的一個非空子集，如果關(guān)于的兩種運算是封閉的，那么是的一個子空間. 3、生成子空間的相等與維數(shù)的判定定理：（1）兩個向量組生成相同的子空間的充分必要條件是這兩個向量組等價；（2）.4、基的擴充定理：設(shè)是維線性空間上任意個線性無關(guān)的向量，如果，那么在上必定可以找到個向量，使得是的一組基.5、子空間的交的性質(zhì)定理：設(shè)都是線性空間的子空間，那么也是的子空間.6、子空間的和的性質(zhì)定理：設(shè)都是線性空間的子空間，那么也是的子空間.7、維數(shù)定理：設(shè)都是線性空間的子空間，那么.推論：設(shè)都是線性空間的子空間，如果，那么.8、直和的判定定理：設(shè)都是線性空間的

3、子空間，那么如下條件是等價的（1）是直和；（2）若，則；（3）；（4）9、直和的判定定理續(xù)：設(shè)都是線性空間的子空間，那么如下條件是等價的（1）是直和；（2）若，則；（3）；（4）10、直和的存在性定理：設(shè)是線性空間的任何一個子空間，那么一定存在的一個子空間，使得. 11、有限維線性空間同構(gòu)的判定定理：（1）數(shù)域任何一個維線性空間都同構(gòu)于；（2）有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是，它們的維數(shù)相等.§1. 3 基本性質(zhì)1、線性空間的性質(zhì)：（1）零元素是唯一的；（2）負元素是唯一的；（3）；（4）.2、過渡矩陣的性質(zhì)：（1）過渡矩陣都是可逆矩陣；（2）設(shè)基到基的過渡矩陣是，則基到基的過渡矩

4、陣是；（3）設(shè)基到基的過渡矩陣是，到基的過渡矩陣是，則基到基的過渡矩陣是.（4）設(shè)基到基的過渡矩陣是，向量在基和下的坐標(biāo)分別是和，則.3、子空間的交與和的性質(zhì)：設(shè)都是線性空間的子空間，則如下條件等價 （1）； （2）； （3）；4、同構(gòu)映射的性質(zhì)：設(shè)是線性空間到線性空間的同構(gòu)映射，則（1）；（2）；（3）線性相關(guān)；（4）同構(gòu)映射的逆映射是線性空間到線性空間的同構(gòu)映射；（5）若是線性空間到線性空間的同構(gòu)映射，則是線性空間到線性空間的同構(gòu)映射.§2 基本題型及其常用解題方法§2. 1 線性空間的判定與證明1、利用定義例6.1（北大教材，P267，3）2、利用子空間的判定定理例6

5、.2（北大教材，P267，3）§2.2 基、維數(shù)的計算、判定與證明1、利用定義例6.3（北大教材，P268，8）2、利用定理：設(shè)是線性空間上的個線性無關(guān)的向量，若上任意一個向量可以由線性表出，那么是維線性空間且是它的一個基。例6.4（北大教材，P270，14）3、利用向量組的秩與極大無關(guān)組，的一個極大無關(guān)組就是生成子空間的一個基。例6.5 （北大教材，P270，16）例6.6（北大教材，P270，18）§2.3 求過渡矩陣1、利用定義例6.7（北大教材，P269，9）2、利用過渡矩陣的性質(zhì)：若基到基的過渡矩陣是，到基的過渡矩陣是，則到基的過渡矩陣是， 經(jīng)過行初等變換 。例6

6、.8（北大教材，P269，9）§2.4 求坐標(biāo)1、利用定義例6.9（北大教材，P268，7）2、利用坐標(biāo)變換公式例6.10（北大教材，P269，9）§2.5 直和的判定與證明1、利用定義例6.11（北大教材，P271，20）2、利用定理：是直和，當(dāng)且僅當(dāng)這個和中的每一個向量都可以唯一的表示為例6.12（北大教材，P271，20）3、利用定理：是直和，當(dāng)且僅當(dāng) 例6.12（北大教材，P270，19）4、利用維數(shù)公式6.12（北大教材，P271，21）§2.6 子空間例6.13設(shè)是線性空間的子空間，證明：是子空間的充分必要條件是或。例6.14（北大教材，P272，補充

7、題，4）例6.15（北大教材，P272，補充題，5）§2.7 同構(gòu)的判定與證明1、利用定義例6.16（北大教材，P269，10）2、利用有限維向量空間同構(gòu)的充要條件例6.17設(shè)數(shù)域上的矩陣的秩為，則齊次線性方程組的解空間同構(gòu)于。§3 例題選講§3.1線性空間的判定與證明的例題例6.18（1）設(shè)是數(shù)域上所有級矩陣組成的集合，對任意正整數(shù)，求；（2）用表示數(shù)域上的所有級矩陣關(guān)于矩陣的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成的線性空間，數(shù)域上的級矩陣稱為循環(huán)矩陣，用表示表示數(shù)域上的所有級循環(huán)矩陣組成的集合。證明：是的一個子空間，并求它的一個基和維數(shù)。例6.19 設(shè)分別為數(shù)域上的與矩陣，又，證

8、明：是的子空間，且.§3.2基、維數(shù)的計算、判定與證明的例題例6.20 用表示數(shù)域上的所有級矩陣關(guān)于矩陣的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成的線性空間，與中所有矩陣可交換的矩陣全體構(gòu)成的一個子空間，稱為的中心，求它的維數(shù)和一個基。例6.21 設(shè)，求與矩陣可交換的3階實方陣全體組成的線性空間的一組基和維數(shù)。例6.22 （北大教材，P269，13）§3.3求過渡矩陣的例題例6.23 （北大教材，P271，1） 例6.24（05，4分）設(shè)是階可逆矩陣，交換的第1行與第二行得矩陣，分別是的伴隨矩陣，則（A）交換的第1列與第2列得矩陣. （B）交換的第1行與第2行得矩陣.（C）交換的第1列與第2列得

9、矩陣. （D）交換的第1行與第2行得矩陣.§3.4求坐標(biāo)的例題例6.25 設(shè)有方程，其中，求，使得.§3.5直和的判定與證明的例題例6.26例6.27例6.28§3.6子空間的例題例6.29例6.30§3.7同構(gòu)的判定與證明的例題例6.31例6.32§4 練習(xí)題§4.1 北大教材題目P197-P203，習(xí)題1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、19、20、21、23、24、25、286、259、30、P203-P204，習(xí)題1、6、8、9、§4.2 補充習(xí)題1、（88，1分）設(shè)矩陣，則逆矩陣 2、

10、（91，3分）設(shè)4階方陣，則的逆矩陣= 3、（94，3分）設(shè)，其中，則= 4、（95，3分）設(shè)，是的伴隨矩陣，則 5、（95，3分）設(shè)3階方陣滿足關(guān)系式，其中則 .6、（99，3分）已知，其中，則 7、（01，3分）設(shè)矩陣滿足，其中是單位矩陣，則 8、（02，3分）設(shè)矩陣，則 9、（03，4分）設(shè)均為三階矩陣，是三階單位矩陣，已知，則 10、（03，4分）設(shè)維向量是階單位矩陣.，其中的逆矩陣為，則 .6、（06，4分）設(shè)矩陣是二階單位矩陣，矩陣滿足，則 .12、（91，3分）設(shè)階方陣滿足關(guān)系式，其中是階單位矩陣，則必有（A） (B) (C) (D) 13、（92，3分）設(shè)均為階可逆矩陣，則等于

11、（A） (B) (C) (D) 14、（96，3分）設(shè)階矩陣非奇異是的伴隨矩陣，則（A） (B) (C) (D) 15、（05，4分）設(shè)均為階矩陣，是階單位矩陣，若，則為（A） (B) (C) (D) 16、（87，7分）設(shè)矩陣和滿足關(guān)系式，其中，求矩陣17、（88，6分）已知階方陣滿足方程，其中給定，而是單位矩陣，證明可逆，并求出.18、（88，6分）已知，其中，求及19、（89，5分）已知，其中，求矩陣.20、（90，6分）設(shè)4階矩陣，且矩陣滿足關(guān)系式，其中是4階單位矩陣，表示的逆矩陣，表示的轉(zhuǎn)置，將上述關(guān)系式化簡并求矩陣21、（91，5分）設(shè)階矩陣滿足條件. （1）證明：為可逆矩陣，其中是階單位矩陣； （2）已知，求矩陣.22、（92，5分）設(shè)矩陣，矩陣滿足，其中是3階單位矩陣，試求出矩陣.23、（93，8分）已知三階矩陣的逆矩陣為，試求伴隨矩陣的逆矩陣.24、（95，8分）設(shè)三階矩陣滿足，其中列向量試求矩陣.25、（96，6分）設(shè)，其中是階單位矩陣，是維非零列向量，是的轉(zhuǎn)置，證明：（1）的充要條件是；（2）當(dāng)時，是不可逆矩陣.26、（95，3分）設(shè)維向量，矩陣，其中是階單位矩陣，則等于（A） (B) (C) (D)