高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-3學(xué)案：2.4 二項(xiàng)分布 Word版含解析

1、§4二項(xiàng)分布1掌握獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念及意義，理解事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式(重點(diǎn))2理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型，并能用于解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題(難點(diǎn))3了解二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系(易混點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理二項(xiàng)分布閱讀教材P48P50，完成下列問題1n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果滿足以下條件：(1)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互_的結(jié)果，可以分別稱為“_”和“_”；(2)每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為；(3)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，則這n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)【答案】(1)對(duì)立成功失敗(2)1p2二項(xiàng)分布(1)若用隨機(jī)變量X表示n次獨(dú)立重

2、復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)，則P(Xk)_(k0,1,2，n)(2)若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如(1)所述，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為X_.【答案】(1)Cpk(1p)nk(2)B(n，p)1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)滿足的條件是_(填序號(hào))每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；每次試驗(yàn)只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況；每次試驗(yàn)中發(fā)生的機(jī)會(huì)是均等的；每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的【解析】由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義知正確【答案】2一枚硬幣連擲三次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為_【解析】拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為，由于每次試驗(yàn)的結(jié)果不受影響，故由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)可知，所求概率為PC2.【答案】質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并

3、與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的概率問題某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位)：(1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；(3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率【精彩點(diǎn)撥】由于5次預(yù)報(bào)是相互獨(dú)立的，且結(jié)果只有兩種(即準(zhǔn)確或不準(zhǔn)確)，符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)【自主解答】(1)記預(yù)報(bào)一次準(zhǔn)確為事件A，則P(A)0.8.5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，2次準(zhǔn)確的概率為PC×0.82×0.230.051 20.05，因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為

4、0.05.(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的對(duì)立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，其概率為PC×(0.2)5C×0.8×0.240.006 720.01.所以所求概率為1P10.010.99.所以5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率約為0.99.(3)說明第1,2,4,5次中恰有1次準(zhǔn)確所以概率為PC×0.8×0.23×0.80.02 0480.02，所以恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率約為0.02.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟1判斷：依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)2分拆：判斷所求事件是否需

5、要分拆3計(jì)算：就每個(gè)事件依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算再練一題1(1)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊(duì)勝的概率為，沒有平局若進(jìn)行三局兩勝制比賽，先勝兩局者為勝，甲獲勝的概率為_(2)在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為_【解析】(1)“甲獲勝”分兩類：甲連勝兩局；前兩局中甲勝一局，并勝最后一局即P2C×××.(2)由題意知，Cp0(1p)41，p.【答案】(1)(2)二項(xiàng)分布一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立

6、的，并且概率都是.(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)的分布列；(2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)的分布列【精彩點(diǎn)撥】(1)首先判斷是否服從二項(xiàng)分布，再求分布列(2)注意“首次遇到”“或到達(dá)”的含義，并明確的取值再求取各值的概率【自主解答】(1)B，的分布列為P(k)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.(2)的分布列為P(k)P(前k個(gè)是綠燈，第k1個(gè)是紅燈)k·，k0,1,2,3,4；P(5)P(5個(gè)均為綠燈)5.故的分布列為012345P1本例屬于二項(xiàng)分布，當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí)，應(yīng)弄清XB(n，p)中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p.2解決二項(xiàng)分布問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)

7、(1)對(duì)于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時(shí)才能運(yùn)用，否則不能應(yīng)用該公式(2)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對(duì)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次再練一題2在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題設(shè)4名考生選做每道題的可能性均為，且各人的選擇相互之間沒有影響(1)求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的人數(shù)為名，求的分布列【解】(1)設(shè)事件A表示“甲選做14題”，事件B表示“乙選做14題”，則甲、乙2名考生

8、選做同一道題的事件為“AB”，且事件A，B相互獨(dú)立P(AB)P(A)P(B)P()P()××.(2)隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4，且B.P(k)Ck4kC4(k0,1,2,3,4)隨機(jī)變量的分布列為01234P探究共研型獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布綜合應(yīng)用探究1王明在做一道單選題時(shí)，從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)答案，他做對(duì)的結(jié)果數(shù)服從二項(xiàng)分布嗎？?jī)牲c(diǎn)分布與二項(xiàng)分布有何關(guān)系？【提示】做一道題就是做一次試驗(yàn)，做對(duì)的次數(shù)可以為0次、1次，它服從二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布就是一種特殊的二項(xiàng)分布，即是n1的二項(xiàng)分布探究2王明做5道單選題，每道題都隨機(jī)選一個(gè)答案，那么他做對(duì)的道數(shù)服從

9、二項(xiàng)分布嗎？為什么？【提示】服從二項(xiàng)分布因?yàn)槊康李}都是隨機(jī)選一個(gè)答案，結(jié)果只有兩個(gè)：對(duì)與錯(cuò)，并且每道題做對(duì)的概率均相等，故做5道題可以看成“一道題”重復(fù)做了5次，做對(duì)的道數(shù)就是5次試驗(yàn)中“做對(duì)”這一事件發(fā)生的次數(shù)，故他做對(duì)的“道數(shù)”服從二項(xiàng)分布探究3王明做5道單選題，其中2道會(huì)做，其余3道均隨機(jī)選一個(gè)答案，他做對(duì)的道數(shù)服從二項(xiàng)分布嗎？如何判斷一隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布？【提示】不服從二項(xiàng)分布因?yàn)闀?huì)做的兩道題做對(duì)的概率與隨機(jī)選取一個(gè)答案做對(duì)的概率不同，不符合二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布關(guān)鍵是看它是否是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足

10、這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布，否則就不服從二項(xiàng)分布(2016·泰興高二檢測(cè))甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響用表示甲隊(duì)的總得分(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P(AB)【精彩點(diǎn)撥】(1)由于甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率相同，且正確與否沒有影響，所以服從二項(xiàng)分布，其中n3，p；(2)AB表示事件A、B同時(shí)發(fā)生，即甲、乙兩隊(duì)總得分之和為3且甲隊(duì)總得分大于

11、乙隊(duì)總得分【自主解答】(1)由題意知，的可能取值為0,1,2,3，且p(0)C3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)C3.所以的分布列為0123P(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以ABCD，且C，D互斥，又P(C)C2，P(D)C3，由互斥事件的概率公式得P(AB)P(C)P(D).對(duì)于概率問題的綜合題，首先，要準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是AB還是AB，確定事件至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件公式，最后，選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、

12、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解.再練一題3(2016·余姚高二質(zhì)檢)為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的，.現(xiàn)有3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)(1)求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；(2)記為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求的分布列【解】記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3.由題意知A1，A2，A3相互獨(dú)立，B1，B2，B3相互獨(dú)立，C1，C2，C3相互獨(dú)立，Ai，Bj，Ck

13、(i，j，k1,2,3且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，用P(Ai)，P(Bj)，P(Ck).(1)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率P3! P(A1B2C3)6P(A1)P(B2)P(C3)6×××.(2)法一：設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由已知，B，且3，所以P(0)P(3)C3，P(1)P(2)C2，P(2)P(1)C2，P(3)P(0)C3.故的分布列是0123p法二：記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Di，i1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互獨(dú)立，且P(Di)P(AiCi)P(Ai)P(Ci)，所以B，即

14、P(k)Ck3k，k0,1,2,3.故的分布列是0123p構(gòu)建·體系1(2016·桂林二模)一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了X次球，則P(X12)()AC102BC102CC22DC102【解析】“X12”表示第12次取到紅球，且前11次有9次取到紅球，2次取到白球，因此，P(X12)·C9×2C102.【答案】D2某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)該批電子管進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第次首次測(cè)到正品，則P(3)()AC2×BC2×C.2× D.2×

15、【解析】3表示第3次首次測(cè)到正品，而前兩次都沒有測(cè)到正品，故其概率是2×.【答案】C3某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的該市的4位申請(qǐng)人中恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690039】【解析】每位申請(qǐng)人申請(qǐng)房源為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)申請(qǐng)A片區(qū)房源記為A，則P(A)，所以恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)的概率為C·2·2.【答案】4設(shè)XB(4，p)，且P(X2)，那么一次試驗(yàn)成功的概率p等于_【解析】P(X2)Cp2(1p)2，即p2(1p)22·2，解得p或

16、p.【答案】或5甲、乙兩人各射擊一次擊中目標(biāo)的概率分別是和，假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響，每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響(1)求甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；(2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率【解】設(shè)“甲、乙兩人各射擊一次擊中目標(biāo)分別記為A，B”，則P(A)，P(B).(1)甲射擊4次，全擊中目標(biāo)的概率為CP4(A)1P(A)04.所以甲射擊4次至少1次未擊中目標(biāo)的概率為1.(2)甲、乙各射擊4次，甲恰好擊中2次，概率為CP2(A)·1P(A)26×2×2.乙恰好擊中3次，概率為CP3(B)

17、3;1P(B)1.故所求概率為×.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1一頭病豬服用某藥品后被治愈的概率是90%，則服用這種藥的5頭病豬中恰有3頭豬被治愈的概率為()A0.93B1(10.9)3CC×0.93×0.12DC×0.13×0.92【解析】由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好發(fā)生k次的概率公式知，該事件的概率為C×0.93×(10.9)2.【答案】C2假設(shè)流星穿過大氣層落在地面上的概率為，現(xiàn)有流星數(shù)量為5的流星群穿過大氣層有2個(gè)落在地面上的概率為()A.B.

18、C.D.【解析】此問題相當(dāng)于一個(gè)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)5次，有2次發(fā)生的概率，所以PC·2·3.【答案】B3在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率相同若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為()A.B. C.D.【解析】設(shè)所求概率為p，則1(1p)4，得p.【答案】A4位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率都是，質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是()A.5BC×5CC×3DC×C×5【解析】如圖，由題可知，質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)2次，向上移動(dòng)3次才能位于

19、點(diǎn)(2,3)，問題相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)向右恰好發(fā)生2次的概率所以概率為PC×2×3C5.故選B.【答案】B5若隨機(jī)變量B，則P(k)最大時(shí)，k的值為()A1或2B2或3C3或4D5【解析】依題意P(k)C×k×5k，k0,1,2,3,4,5.可以求得P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5).故當(dāng)k2或1時(shí)，P(k)最大【答案】A二、填空題6已知汽車在公路上行駛時(shí)發(fā)生車禍的概率為0.001，如果公路上每天有1 000輛汽車通過，則公路上發(fā)生車禍的概率為_；恰好發(fā)生一起車禍的概率為_(已知0.9991 0000.367 70,0.9999

20、990.368 06，精確到0.000 1)【解析】設(shè)發(fā)生車禍的車輛數(shù)為X，則XB(1 000，0.001)(1)記事件A：“公路上發(fā)生車禍”，則P(A)1P(X0)10.9991 00010.367 700.632 3.(2)恰好發(fā)生一次車禍的概率為P(X1)C×0.001×0.9999990.368 060.368 1.【答案】0.632 30.368 17在等差數(shù)列an中，a42，a74，現(xiàn)從an的前10項(xiàng)中隨機(jī)取數(shù)，每次取出一個(gè)數(shù)，取后放回，連續(xù)抽取3次，假定每次取數(shù)互不影響，那么在這三次取數(shù)中，取出的數(shù)恰好為兩個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)的概率為_(用數(shù)字作答)【解析】由已知

21、可求通項(xiàng)公式為an102n(n1,2,3，)，其中a1，a2，a3，a4為正數(shù)，a50，a6，a7，a8，a9，a10為負(fù)數(shù)，從中取一個(gè)數(shù)為正數(shù)的概率為，取得負(fù)數(shù)的概率為.取出的數(shù)恰為兩個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)的概率為C×2×1.【答案】8下列說法正確的是_(填序號(hào))某同學(xué)投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且XB(10,0.6)；某福彩的中獎(jiǎng)概率為p，某人一次買了8張，中獎(jiǎng)張數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且XB(8，p)；從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹?，則摸球次數(shù)X是隨機(jī)變量，且XB.【解析】顯然滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，而雖然是有

22、放回地摸球，但隨機(jī)變量X的定義是直到摸出白球?yàn)橹梗簿褪钦f前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項(xiàng)分布的定義【答案】三、解答題9(2016·濱州高二檢測(cè))某市醫(yī)療保險(xiǎn)實(shí)行定點(diǎn)醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)，方便管理”的原則，參加保險(xiǎn)人員可自主選擇四家醫(yī)療保險(xiǎn)定點(diǎn)醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為本人就診的醫(yī)療機(jī)構(gòu)若甲、乙、丙、丁4名參加保險(xiǎn)人員所在地區(qū)有A，B，C三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們的選擇相互獨(dú)立設(shè)4名參加保險(xiǎn)人員選擇A社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為X，求X的分布列【解】由已知每位參加保險(xiǎn)人員選擇A社區(qū)的概率為，4名人員選擇A社區(qū)即4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即XB，所以P(Xk)C·k·4k(

23、k0,1,2,3,4)，所以X的分布列為X01234P10.(2016·柳州高二檢測(cè))甲、乙兩隊(duì)在進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝制的排球比賽中，規(guī)定先贏三局的隊(duì)獲勝，并且比賽就此結(jié)束，現(xiàn)已知甲、乙兩隊(duì)每比賽一局，甲隊(duì)獲勝的概率為，乙隊(duì)獲勝的概率為，且每局比賽的勝負(fù)是相互獨(dú)立的(1)求甲隊(duì)以32獲勝的概率；(2)求乙隊(duì)獲勝的概率【解】(1)設(shè)甲隊(duì)以32獲勝的概率為P1，則P1C2·2·.(2)設(shè)乙隊(duì)獲勝的概率為P2，則P23C2··C2·2·.能力提升1甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3局2勝”，即以先贏2局者為勝，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中甲獲勝的概率為0.6，則本次比賽甲獲勝的概率是()A0.216B0.36C0.432D0.648【解析】甲獲勝有兩種情況，一是甲以20獲勝，此時(shí)p10.620.36；二是甲以21獲勝，此時(shí)p2C×0.6×0.4×0.60.288，故甲獲勝的概率pp1p20.648.【答案】D2(2016·孝感高級(jí)中學(xué)期中)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子n次，設(shè)出現(xiàn)k次點(diǎn)數(shù)為1的概率為Pn(k)，若n20，則當(dāng)Pn