三角函數的圖象與性質（課堂PPT）

1、1.4 三角函數的圖像與三角函數的圖像與性質性質執(zhí)教：執(zhí)教： 克州一中克州一中 阿吉買買提阿吉買買提2O下面我們借助正弦線下面我們借助正弦線(幾何法幾何法)來畫出來畫出y=sinx在在0，2上的圖象上的圖象. 首先，我們來作坐標為首先，我們來作坐標為(x0，sinx0)的點的點S，不，不妨設妨設x00，如圖所示，在單位圓中設如圖所示，在單位圓中設AP的長為的長為x0(即即AOP= x0)，則則MP= sinx0，所以點，所以點S (x0，sinx0) 是以是以AP的長為橫坐標，正弦線的長為橫坐標，正弦線MP 的數量的數量為縱坐標的點為縱坐標的點. S (x0，sinx0)My-x1-12O1.

2、4.1 正弦函數、余弦函數的圖像正弦函數、余弦函數的圖像PA 為了更直觀地研究三角函數的性質，可以先作為了更直觀地研究三角函數的性質，可以先作出它們的圖象出它們的圖象.3 知道如何作出知道如何作出y=sinx的圖象的一個點，就可以的圖象的一個點，就可以作出一系列的點，例如，在單位圓中，作出對應作出一系列的點，例如，在單位圓中，作出對應于于 的角及相應的正弦線的角及相應的正弦線, 相應地相應地,把把x軸上從軸上從0到到2這一段分成這一段分成12等份，把角等份，把角x的正弦的正弦線向右平移，使它的起點與線向右平移，使它的起點與x軸上表示數軸上表示數x的點重的點重合，再用光滑的曲線把這些正弦線連結起

3、來，既合，再用光滑的曲線把這些正弦線連結起來，既得到正弦函數得到正弦函數y=sinx在在0，2區(qū)間上的圖象，如區(qū)間上的圖象，如圖所示圖所示. 11 . 6 3 26， ， ，-111oyxA O2232鏈接鏈接4 最后我們只要將函數最后我們只要將函數y=sinx， x 0，2的的圖象向左、右平移圖象向左、右平移(每次每次2個單位個單位)，就可以得到正就可以得到正弦函數弦函數y=sinx， xR的圖象的圖象，如圖所示如圖所示. 正弦函數的圖象叫做正弦曲線正弦函數的圖象叫做正弦曲線(sine curve).正弦曲線正弦曲線-yxO1-1246-2-4-6 以上是借助正弦線描點來作出正弦曲線，也以上

4、是借助正弦線描點來作出正弦曲線，也可以利用圖形計算器、計算機作出正弦曲線可以利用圖形計算器、計算機作出正弦曲線.yxO1-124-235 用描點法用描點法(代數法代數法)作出正弦函數在作出正弦函數在0，2上的上的圖象，然后由周期性就可以得到整個圖象圖象，然后由周期性就可以得到整個圖象.x02y=sinx010-10232(1) 列表列表(2) 描點描點(3) 連線連線-232-xy1-1O2(五點法五點法) 由上圖可以看出，函數由上圖可以看出，函數y=sinx，x0，2的的圖象上起著關鍵作用的點有以下五個圖象上起著關鍵作用的點有以下五個:(0，0)， ( ，1) ，( ，0)，( ，-1)，

5、(2 ，0)2326 觀察正弦和余弦曲線觀察正弦和余弦曲線(如下圖如下圖) 的形狀和位置的形狀和位置,說出它們的異同點，說出它們的異同點，yxO1-124-23y=cosxy=sinx 它們的形狀相同，且都夾在兩條平行直線它們的形狀相同，且都夾在兩條平行直線y=1與與y=1之間之間. 但它們的位置不同，正弦曲線交但它們的位置不同，正弦曲線交y軸軸于原點，余弦曲線交于原點，余弦曲線交y軸于點軸于點(0，1).由由cox=sin(x+ )，可知，可知y=cosx圖象向左平移圖象向左平移 個單個單位得到位得到，余弦函數的圖象叫做余弦曲線余弦函數的圖象叫做余弦曲線 .222y=cosx圖象的最高點圖象

6、的最高點( 0，1)，與，與x軸的交點軸的交點( ，0)， ( ，0), 圖象的最低點圖象的最低點(，1).327 事實上，描出五點后，函數事實上，描出五點后，函數y=sinx，x0，2的圖象形狀就基本確定了，因此在精確程度要的圖象形狀就基本確定了，因此在精確程度要求不高時，我們常常找出這五個關鍵點求不高時，我們常常找出這五個關鍵點，然后用然后用光滑曲線將它們連結起來，就得到函數的簡圖光滑曲線將它們連結起來，就得到函數的簡圖，今后，我們將經常使用這種今后，我們將經常使用這種“五點五點(畫圖畫圖)法法” 例例1 畫出下列函數的簡圖：畫出下列函數的簡圖： (1) y=1+sinx； (2) y=c

7、osx x0，2 )-232-xy1-1O2-232-xy1-1O28x02x02 sin2x010 1032 例例2 用用“五點法五點法”畫出下列函數的簡圖：畫出下列函數的簡圖：y=sin2x x0，2 ) 描點畫圖，然后由周期性得整個圖象描點畫圖，然后由周期性得整個圖象(如圖所示如圖所示)24342yxO1-12-3-23y=sin2xy=sinx兩圖象有何關系？兩圖象有何關系？9練習練習1.畫出下列函數的簡圖，并說明這些函數的畫出下列函數的簡圖，并說明這些函數的圖象與圖象與正弦曲線正弦曲線的區(qū)別和聯系的區(qū)別和聯系: (1) y=sinx1 ； (2) y=2sinx.y= sinx1 y

8、=sinxxyO2-21-2-1-3y=sinx1的圖象可由的圖象可由正弦曲線正弦曲線向下平移向下平移1個單位個單位.10y=sinxy= 2sinxxyO2-21-2-1-322. 畫出下列函數的簡圖，并說明這些函數的圖象畫出下列函數的簡圖，并說明這些函數的圖象與與正弦曲線正弦曲線的區(qū)別和聯系的區(qū)別和聯系: (2) y=2sinx. y=2sinx的圖象可由正弦曲線上的每一點的的圖象可由正弦曲線上的每一點的縱坐標縱坐標變?yōu)樵瓉淼淖優(yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變倍，橫坐標不變.112. 畫出下列函數的簡圖，并說明這些函數的圖象畫出下列函數的簡圖，并說明這些函數的圖象與與余弦曲線余弦曲線的區(qū)別和聯系的

9、區(qū)別和聯系: (1) y= 1+cosx ； (2) y=cos(x+ ).3y=1+cosx的圖象可由的圖象可由余弦曲線余弦曲線向上平移向上平移1個單位個單位.可由可由余弦曲線余弦曲線上每一點向左平移上每一點向左平移 個單位得到個單位得到.3y= 1+cosxy=cosxxyO2-212y=cosxy= cos(x+ )33xyO2-2112周期性的有關概念：周期性的有關概念：那么函數那么函數f(x)就叫做周期函數就叫做周期函數 (periodic function)，非零常數非零常數T叫做這個函數的周期叫做這個函數的周期(period). 一般地對于函數一般地對于函數f(x)，如果存在如果

10、存在一個非零常數一個非零常數T，使得定義域內的，使得定義域內的每一個每一個x值，都滿足值，都滿足f(x+T)= f(x)最小正周期：最小正周期：對一個周期函數對一個周期函數f(x)的所有周期中存的所有周期中存在最小的正數，那么這個最小正數就叫做這個函在最小的正數，那么這個最小正數就叫做這個函數的最小正周期數的最小正周期.正弦函數和余弦函數都是周期函數，正弦函數和余弦函數都是周期函數，2k (kz且且k0) 都是它們的周期，它們最小的正周期都是都是它們的周期，它們最小的正周期都是2;正切函數也是周期函數，其最小的正周期是正切函數也是周期函數，其最小的正周期是.1.4.2 正弦函數、余弦函數的性質

11、正弦函數、余弦函數的性質13說明說明: : 當函數對于當函數對于自變量的一切值自變量的一切值每增加或減少每增加或減少一個定值一個定值，函數值就重復出現時函數值就重復出現時，這個函數就叫這個函數就叫做周期函數做周期函數.設設f(x)是定義在實數集是定義在實數集 D上的函數上的函數，若存在一個若存在一個 常數常數T( T0)，具有下列性質具有下列性質: (1)對于對于任何的任何的 xD，有有(xT)D； (2)對于對于任何的任何的 xD，有有f(x+T)=f(x)成立，則成立，則f(x) 叫做周期函數叫做周期函數.若若函數函數f(x)不是當不是當x取定義域內的取定義域內的“每一個值每一個值”時時，

12、都有都有f(x+T)= f(x)成立，則成立，則T就不是就不是f(x)周期周期. 今后本書所說的周期，如果不加特別說明，今后本書所說的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數的最小的正周期一般都是指函數的最小的正周期.14要重視要重視 “ T0”且為常數這一條件，且為常數這一條件， 若若T=0，則則f(x+T)=f(x)恒成立，函數值不變沒有恒成立，函數值不變沒有研究價值；若研究價值；若T為變數，則失去了周期的意義為變數，則失去了周期的意義.一般地，函數一般地，函數y=Asin(x+)，y=Acos(x+)(其中其中A，為常數，且為常數，且A0，0)的周期的周期2T =若函數若函數y=f(x)的

13、周期為的周期為T，則，則y=Af(x+)的周期的周期為為 ，(其中其中A，為常數為常數, 且且A0，0)T|若在若在函數的定義域內至少能找到一個函數的定義域內至少能找到一個x ，使，使f(x+T)= f(x)不成立，我們就斷然函數不成立，我們就斷然函數f(x) 不是周期不是周期函數或函數或T不是函數不是函數f(x)的周期的周期.15y=sinx (xR) y=cosx (xR) 定義域定義域值值 域域周期性周期性xR.y - 1, 1 .T = 2.我們得到正弦、余弦函數定義域、值域、周期我們得到正弦、余弦函數定義域、值域、周期:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=co

14、sx16 正弦、余弦函數的奇偶性正弦、余弦函數的奇偶性yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23sin(x)= sinx y=sinx 是奇函數是奇函數cos(x)= cosx y=cosx是偶函數是偶函數定義域關于定義域關于 原點對稱原點對稱y=sinx17 正弦函數的單調性正弦函數的單調性 ？yxO1-124-23y=sinx (xR)x0sinx101012322增區(qū)間為增區(qū)間為 ， 其值從其值從1增至增至1.2 2 ，減區(qū)間為減區(qū)間為 ， 其值從其值從1增至增至 1.322，3+2k+2k(kz)22， +2k+2k(kz)22， 18 余弦函數的單調性余弦函數的單調性

15、y=cosx (xR)yxO1-124-23x-0cosx1010122 ？增區(qū)間為增區(qū)間為，0 ，其值從其值從1增至增至1.減區(qū)間為減區(qū)間為0 ， ，其值從其值從1增至增至 1.+2k，2k，(kz)2k，2k+，(kz)19 正弦、余弦函數的對稱軸、對稱中心正弦、余弦函數的對稱軸、對稱中心:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx對稱軸對稱軸對稱中心對稱中心y=sinxy=cosx函數函數軸、中心軸、中心x =+kkz2，()x=kkz，（）k0（ ， ）k02（， ）20 x02cosx101012cosx20202232(1) 先用先用“五點法五點法”畫一個

16、周期的圖象，列表畫一個周期的圖象，列表: 例例1 用用“五點法五點法”畫出下列函數的簡圖：畫出下列函數的簡圖： (1) y=2cosx xR (2) y=sin2x xR 描點畫圖，然后由周期性得整個圖象描點畫圖，然后由周期性得整個圖象(如圖所示如圖所示)xO2-124-23-21yy=2cosxy=cosx兩圖象有何關系？兩圖象有何關系？21 例例2 求下列函數的最大值及取得最大值時自變量求下列函數的最大值及取得最大值時自變量 x 的集合：的集合： (1) y=cos ；x3 解解 函數的函數的y=cos 的最大值為的最大值為1，x3 因為使因為使cosz取得最大值的取得最大值的z的集合為的

17、集合為: z|z=2k，kz，x3 令令z = ， 由于由于 =2k，得得 x= 6k.x3 所以，使函數所以，使函數 y=cos 取得最大值時自變量取得最大值時自變量x 的集的集 合為合為: z | z = 6k，kz.x3 練習練習 函數函數y=sinx 的值域是的值域是 ( ) A.1, 1 B. ，1 C. D.2(x)63121322，312，B22 解解 函數的函數的y=2sin2x 的最大值為的最大值為2(1)=3， 因為使因為使sinz取得最小值的取得最小值的z的集合為的集合為: z|z=-+2k kz2， 令令z =2x，由于由于2x= +2k，得得2xk .4 所以，使函數

18、所以，使函數y=2sin2x 取得最小值時自變量取得最小值時自變量x 的集合為的集合為:x|xkkz.4 ， 例例2 求下列函數的最大值及取得最大值時自變量求下列函數的最大值及取得最大值時自變量 x 的集合：的集合： (2) y=2sin2x. 練習練習 求下列函數的最小值及取得最小值時自變量求下列函數的最小值及取得最小值時自變量 x 的集合：的集合： (1) y=2sinx； (2) y=2cosx.3(1) x|x=+2k kz2，；(2) x|x=6k kz，；23例例3不通過求值，指出下列各式大于不通過求值，指出下列各式大于0還是小于還是小于0 (1) sin( ) sin( ) ;

19、(2) cos( ) cos( ) 1810235174又又 y=sinx 在在 上是增函數，上是增函數，2 2 ，23233(2)cos()coscos555，3045，又又 y=cosx 在在0，上是減函數上是減函數210182 解解(1)sin()sin(1018）sin()sin()0.1810即 1717cos()coscos444，3coscos543coscos054 ，2317cos()cos()0.5424 (1) sin2500 sin2600 ; (2) cos cos158149練習練習1不求值，分別比較下列各組中兩個三角函不求值，分別比較下列各組中兩個三角函數值的大小

20、數值的大小: (1) sin2500 與與 sin2600 ; (2) cos 與與 cos158149練習練習2 利用函數的性質，比較下列各題中兩個三利用函數的性質，比較下列各題中兩個三角函數值的大小角函數值的大小: (1) sin103045與與 sin sin164030 ; (2) sin5080與與 sin1440 ; (3) cos7600與與 cos(7700)； (4) cos 與與 cos .47()444()9 (4) cos cos47()444().9 sin103045sin sin164030(2) sin5080cos(7700)25解解 (1) y=2sin(x

21、 ) = 2sinx，例例4 求下列函數的單調區(qū)間：求下列函數的單調區(qū)間： (1) y=2sin(x )； (2) y=sin(2x+ )3 222232kxk，5,1212kxk得3222232kxk，71212kxk，所以單調增區(qū)間為所以單調增區(qū)間為:12(kz).512kk， 函數在函數在 上單調遞增上單調遞增.32k2k kz22，（）函數在函數在 上單調遞減，上單調遞減，2k2k kz22，（）單調減區(qū)間為單調減區(qū)間為:7(kz).1212kk，26例例4 求下列函數的單調區(qū)間：求下列函數的單調區(qū)間：(2) y=sin(2x+ )3 222232kxk，5,1212kxk得32222

22、32kxk，71212kxk，所以單調增區(qū)間為所以單調增區(qū)間為:12(kz).512kk，32k2k ,(kz)22，2k2k ,(kz)22，單調減區(qū)間為單調減區(qū)間為:7(kz).1212kk，解解 (2) 令令z=2x + ，函數函數y=sinz的單調增區(qū)間為的單調增區(qū)間為:3函數函數y=sinz的單調減區(qū)間為的單調減區(qū)間為:2732kx+2k2kx2k24244 ， 所以單調增區(qū)間為所以單調增區(qū)間為:32k2k 44+， +352kx+2k2kx2k24244，(3) y = sin(x + )；432k2k ,(kz)22，2k2k ,(kz)22，解解 (3) 令令z=x + ，函數函數y=sinz的單調增區(qū)間為的單調增區(qū)間為:4函數函數y=sinz的單調減區(qū)間為的單調減區(qū)間為:52k2k 44+， + 所以單調減區(qū)間為所以單調減區(qū)間為:281.了解正弦函數圖象了解正弦函數圖象( (代數描點法、幾何描點代數描點法、幾何描點法法) )、余弦函數圖象、余弦函數圖象( (代數