概率論公式總結(jié)

1、第1章隨機(jī)事件及其概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB) = 0 時，P(A+B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) B A時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng) A=Q 時，P( B)=1- P(B)乘法公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，對事件 A, A2,A,若P(AiA2An-1)> 0,則有P(A1A2 An) P(Ai)P(A2| Ai)P(A3| A1A2)P(An| A1A2 An 1)。獨(dú)立性 兩個事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) P(A)P(B)，則稱事件a、B是相互獨(dú)立的。若事件

2、A、B相互獨(dú)立，且P(A)0，則有 多個事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C )全概公式P(A) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A| Bn)。貝葉斯公 式P(Bi)P(A/Bi)P(Bi/A)n'，i=1，2,n。P(Bj)P(A/Bj)j 1此公式即為貝葉斯公式。P(Bi)，( i 1，2，n)，通常叫先驗(yàn)概率。P(Bi /A)，( i 1，2，n)，通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了

3、“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。第二章隨機(jī)變量及其分布連隨量設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，對任意實(shí)數(shù)x，有布密度xF(x) f (x)dx ,貝廿稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量。 函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。f (x)稱為X的概率密度密度函數(shù)具有下面性質(zhì)：f(x) 0 。f(x)dx 1離 連 隨 量 系散 續(xù) 機(jī) 的與 型 變 關(guān)P(X x) P(x X x dx) f (x)dx O積分元f (x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X xk)pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q設(shè)X為隨機(jī)變量

4、，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù) F(x) P(X x)稱為隨機(jī)變量 X的分布函數(shù), 本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。 餾重貝努里試式驗(yàn)中(b)設(shè)事件a) A可發(fā)以得到概率落入?yún)^(qū)。間事件,bA的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入變量-設(shè)為®，內(nèi)的概率可能取值為02 ,n O1.0 F(x) 1,k k n kP0 k); P°n(k)F(C)n是單調(diào)不減的函數(shù)，即X1 x其時，有中F(xi)F(X2)；F( 1 )p,imPF(1c)k 0°)2,F(,n )xlim F(x) 1 ;xF(x 0)F(x)，即F(x)是右連機(jī)變量5X服從參x數(shù)為3nx)F 的二o項(xiàng)。分對于離1記

5、為隨機(jī)變量,F(x)xPfqx),/0.1，這泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kP(X k) e , k!0, k 0,1,2,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為 X -()或者 P( ) O超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M) °Xk xPk ；對于連續(xù)型隨機(jī)變量, 1時，。甲&)“幾何分布P(X k) qk 1p,k 1,2,3,，其中 p>0, q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a , b內(nèi)，其密度函數(shù)f (x)在a , b1上為常數(shù)b a，即當(dāng)a< xi<

6、;X2< b時，X落在區(qū)間指數(shù)分布f(x) b a0,aw x <其他(X1, X2 )內(nèi)的概率為f (x)其中 o，則稱隨機(jī)變量x 0X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為記住積分公式F(x)x<0。正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為其中、0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為、的2正態(tài)分布或咼斯(Gauss)分布，記為 X N(,)。f(X)具有如下性質(zhì)：1°f(x)的圖形是關(guān)于X對稱的；12° 當(dāng)X時，f( )為最大值；<22若X N(,)，則X的分布函數(shù)為(X)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。1 2(-x) = 1-(x)且(0)

7、= 。如果 X N( ,2)，貝92。函數(shù)分布離散型已知X的分?X布列為x1, X2, xn,P(X Xi)Y g(X)白YP1, P2, Pn,勺分布列(yg(Xi)互不相等)如下：g(X1), g(X2), g(xn),P(Y yi)若有某些g(P1,P2, Pn,Xi)相等，則應(yīng)將對應(yīng)的 pi相加作為g(xi)的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度f X(x)寫出Y的分布函數(shù) R(y) = P(g(X) wy)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章二維隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量(X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)(x,y)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形

8、區(qū)域D,即有D=(X,Y)|a<x<b,c<y<dP(X,Y) Df (x, y)dxdy,則稱 為連續(xù)型隨機(jī)向量；D并稱f(x,y)為=(X, Y)的分布密度或稱為 X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：(1) f(x,y) > 0;(2)f(x,y)dxdy 1.離散型 連續(xù)型 關(guān)系與 的邊緣分布離散型X的邊緣分布為Pi?P(XXi)Pj(i,j1,2,j)；Y的邊緣分布為P?jP(Y yj)Pij(i, j 1,2,i)°連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=f X(x)f Y(y)直接

9、判斷，充要條件:率密度區(qū)間為矩形可分離變量正概隨機(jī)變量的函數(shù)若Xi,X2,XmXm+1,相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則： h (Xi, X2,Xm) 和 g ( Xm+1,Xn)相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h (X)和g (Y)獨(dú)立。例如：若 X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：FZ(z) P(Z z) P(X Y z)態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(12,22)。n個相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。C 2 C2 2Ci i ,CiiiiZ=max,mi n(X1,X2,Xn)若X1,X2 Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx (x), Fx2 (

10、x)Fxn (x)，貝y Z=max,min(X 1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：2分布設(shè)n個隨機(jī)變量X1, X2, ,Xn相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和nWX 2我們稱隨機(jī)變量 w服從自由度為n的2分布記為i 1所謂自由度是指獨(dú)立正 中的一個重要參數(shù)。2分布滿足k2ZYi (n1i 1W 2 (n)上態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，匕疋隨機(jī)變量分布2瓦可加性：設(shè) Y(n則n2nk).t分布設(shè)XY是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且XN(0,1),Y2(n),可X以證明函數(shù)T我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，JY/ n記為Tt(n)。t1(n)t (n)F分布22設(shè)X (nJ,Y S2)，且

11、X與Y獨(dú)立，可以證明X /“F 我們稱隨機(jī)變量F服從第一個自由度為 ni,第二個丫/亞自由度為n2的F分布，記為Ff(n i, n 2).第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1) 一維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為 p( X Xk ) = p< ,k=1,2,n ,(要求絕對收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變 量，其概率密度為f(x),(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)方差2D(X)=EX-E(X),標(biāo)準(zhǔn)差(X) FD(X),(2)(1)E(C)=C期望 的性(2)E(CX)=CE(X)質(zhì)nn(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)

12、，E( CiXi)QE(Xi)i 1i 1(4)E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。(3)(1)D(C)=0 ； E(C)=C方差 的性(2)2D(aX)=a D(X) ； E(aX)=aE(X)質(zhì)(3)D(aX+b)= a 2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b(4)2D(X)=E(X )-E2(X)(5)D(X± Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X± Y)=D(X)+D(Y)± 2E(X-E(X)(Y-E(Y)無條件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。

13、(4) 常見期望方差分布0-1 分布 B(1, p)p的期望和 方差二項(xiàng)分布B(n, p)np泊松分布P()幾何分布G(p)超幾何分布H (n,M , N)均勻分布U(a,b)指數(shù)分布e()正態(tài)分布N( ,2)n2nt分布0n , c、(n>2) n 2二維 隨機(jī) 變量期望函數(shù)的期望EG(X,Y)=EG(X,Y)=數(shù)字特征方差協(xié)方差對于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩11為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為XY或cov(X,Y)，即與記號 XY相對應(yīng)，X與Y的方差D( X)與D( Y)也可分別記為XX與YY。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y,如果D (X)>0, D(Y)>0，則稱

14、XY為X 與 Y的相關(guān)系數(shù)，記作、,、,(有時可簡記為)。Jd(x)Jd(y)八o、；，一XY八丿 u| < 1,當(dāng)|1=1時，稱X與Y完全相關(guān)：P(X aY b) 1完全+ ¥正相關(guān)，當(dāng)1時(a C相關(guān)負(fù)相關(guān)，當(dāng)1時(a)，0)，而當(dāng)0時，稱X與Y不相關(guān)。以下五個命題是等價的：XY0 ；COV(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);差的性質(zhì)(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y

15、)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).獨(dú)立若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則XY0 ;反之不真。和不相關(guān)(2)中心極限定列維設(shè)隨機(jī)變量Xi, X2,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有理林德伯相同的數(shù)學(xué)期望和方差：格定理2E(Xk),D(Xk)0(k 1,2,)，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實(shí)數(shù)X,有此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗 拉普 拉斯定 理設(shè)隨機(jī)變量 X n為具有參數(shù) n, p(0<p<1)任意實(shí)數(shù)X,有的二項(xiàng)分布，則對于第六章樣本及抽樣分布常見統(tǒng)計量 及其性質(zhì)樣本均值Xi .n樣本方差S2-(XiX)2.n 1 i i

16、樣本標(biāo)準(zhǔn)差Sx)2樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩E(X) ，D(X)其中S*2niFX)2，為二階中心矩(2 )正 總體下 四大分布正態(tài)分布設(shè)Xi, X2, ,x_N(,一個樣本，則樣本函數(shù)t分布設(shè)Xi,X2, ,Xn為來自正態(tài)總體 N( , 2)的一個樣本，則樣def本函數(shù)t_s/ n t(n1),其中t( n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè)X1, X2 , ,Xn為來自正態(tài)總體 N( ,2)的一個樣本，則wdef (n1)S222(n 1),2表示自由度為 分n-1的分布F分布設(shè)Xi,X2, Xn為來自正態(tài)總體 N（ ,1 ）的一個樣本，而yi,y2, , yn為來自正態(tài)總體 N（ , 2）的一個樣本，則樣本函數(shù)idefF S；/S22 /212 F(ni21, n21）,其中F（ni 1,n21）表示自由度為ni 1，當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布密度為f（X； 1 , 2 , m），其中為