2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題之銳角三角函數(shù)(中考題型整理,突破提升)含詳細(xì)答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題之銳角三角函數(shù)（中考題型整理，突破提升）含詳細(xì)答案一、銳角三角函數(shù)1 .在矩形ABCD中，AD>AB,點(diǎn)P是CD邊上的任意一點(diǎn)（不含 C, D兩端點(diǎn)），過點(diǎn) P 作PF/ BC,交對(duì)角線BD于點(diǎn)F.ADC3(圖2)（1）如圖1,將PDF沿對(duì)角線BD翻折得到aDF, QF交AD于點(diǎn)E.求證：4DEF是等 腰三角形；（2）如圖2,將4PDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到 P'DF',連接P'C, F'B.設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 a （0°< a< 180°）. 若0°av/BDC,即DF在/BDC的內(nèi)部時(shí)

2、，求證： DP'8 DF'B. 如圖3,若點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，DF'B能否為直角三角形？如果能，試求出此時(shí)tan/DBF的值,如果不能，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2） 證明見解析； PF/ BC,/ DFP=Z ADF,/ DFQ=Z ADF,.DEF是等腰三角形；(2)若 0°< “V / BDC,. /P' DFf PDF,./P' DFZF' DC=PDF- ./P' D C=F' D B由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：DP國(guó)DPF, 1. PF/ BC, .,.DPFADCB或Y323【解析】D DFQ=/

3、ADF,所以 DEF是等腰三 DP 的 ADCB;故需要對(duì)該三角形的內(nèi)角進(jìn)行分【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可知角形；（2） 由于PF/ BC,所以DPFDCB,從而易證 由于DF'B是直角三角形，但不知道哪個(gè)的角是直角,類討論.【詳解】（1）由翻折可知:/ DFP之 DFQ,即DF'在/ BDC的內(nèi)部時(shí),/ F' DC. .DP'呼2DCBDC DP'一 ,DB DF '.-.DP'CADF'B;如圖所示,當(dāng) / F' DB=9W,.DF， =DF=BD,2DF ' 1BD 2當(dāng)/DBF =90；此

4、時(shí)DF'是斜邊，即DF>DB,不符合題意;當(dāng)/ DF B=90寸，如圖所示,.DF，=DF=BD, / DBF= 30 ；【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的性質(zhì)以及判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定 理、運(yùn)用分類思想進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.2.如圖，AB是。的直徑，點(diǎn) C, D是半圓O的三等分點(diǎn)，過點(diǎn) C作。的切線交 AD的 延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DU AB于點(diǎn)F,交。于點(diǎn)H,連接DC, AC.(1)求證：/AEC=90;(2)試判斷以點(diǎn) A, O, C, D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說明理由；(3)若D

5、C=2,求DH的長(zhǎng).(2)四邊形AOCD為菱形;(3) DH=2K.【解析】試題分析：(1)連接OC,根據(jù)EC與。切點(diǎn)C,則/OCE=90,由題意得/DAC=/ CAB,即可證明 AE/OC,貝U / AEC+/ OCE=180,從而得出Z AEC=90(2)四邊形AOCD為菱形. 平行四邊形，再由 OA=OC 形是菱形)；(3)連接OD.根據(jù)四邊形1?1_ M1)得m = 則/DCA=/ CAB可證明四邊形AOCD是即可證明平行四邊形 AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊AOCD為菱形，得4OAD是等邊三角形，則 /AOD=60 ,再由DFDHLAB于點(diǎn)F, AB為直徑，在 RtOFD中，

6、根據(jù)sinZAOD0,求得DH的長(zhǎng).試題解析：(1)連接OC,.EC與。切點(diǎn)C,OCX EC,/ OCE=90,°點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn),ri (3 r?iZ DAC=Z CAB, ,.OA=OC,Z CAB=Z OCA,Z DAC=Z OCA, .AE/ OC (內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行) / AEC-+Z OCE=180,°/ AEC=90;°(2)四邊形AOCD為菱形.理由是：1 1 W 工HT，Z DCA=Z CAB,2 .CD/ OA,又 AE/ OC,四邊形AOCD是平行四邊形， .OA=OC,平行四邊形AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)

7、； (3)連接OD.四邊形AOCD為菱形， .OA=AD=DC=2 .OA=OD,.OA=OD=AD=2, .OAD是等邊三角形，/ AOD=60 ； DHL AB于點(diǎn)F, AB為直徑，.DH=2DF,DF在 RtOFD中，sin/AOD'門，L曰 .,.DF=ODsinZ AOD=2sin60 =7 , . DH=2DF=2%'3考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)2.等邊三角形的判定與性質(zhì) 3.菱形的判定與性質(zhì) 4.解直角三角形.3.如圖，PB為。的切線，B為切點(diǎn)，過B作OP的垂線BA,垂足為C,交。于點(diǎn)A, 連接PA, AO.并延長(zhǎng)AO交。O于點(diǎn)E,與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D.（2）若M

8、=,且OC=4,求PA的長(zhǎng)和tan D的值.【答案】（1）證明見解析;【解析】試題分析：（1）連接OB, 分線，進(jìn)而可得：PA=PB(2) PA =31, tan D="先由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得:OP是線段AB的垂直平線的性質(zhì)可得/ PBO=90 ,0C 2 = _(2)連接BE,由'6然后證明4PA必PBO,進(jìn)而可得/PBO=/ PAO,然后根據(jù)切 進(jìn)而可得：/PAO=90,進(jìn)而可證：PA是。的切線；,且OC=4,可求AC, OA的值，然后根據(jù)射影定理可求 PC的值，從而可求 OP的值，然后根據(jù)勾股定理可求AP的值.試題解析：（1）連接OB,則OA=OB,.OPX

9、AB,AC=BC；.OP是AB的垂直平分線，PA=PB在 APAO 和 PBO 中，,PA = P 用PO = P0Lox = OB,.PACAPBO (SSS/ PBO=Z PAO, PB=PAPB為。的切線，B 為切點(diǎn)，/ PBO=90 / PAO=90 即 PAI OA,.PA是。O的切線；(2)連接BE,OC 2. AC 3,且 OC=4,，AC=6,，AB=12,在RtACO中，由勾股定理得：AO為初,痔= RI3,，AE=2OA=4內(nèi)，OB=OA=2/T3,在 RtAPO 中，AC，OP, ，AC2=OCPC,解彳導(dǎo):PC=9, . OP=PC+OC=13在RtAPO中，由勾股定理

10、得： AP=.=3.BE DE DE16JTJ易證 BE/? f D"，所以而DO /定一十砧，解得'一弓一,36JT3PA 571 20A + DEtanD = ；- =則§ ,在取A 4DP中，AD 12.考點(diǎn)：1.切線的判定與性質(zhì)；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.解直角三角形.4.如圖，濕地景區(qū)岸邊有三個(gè)觀景臺(tái)且、月、C.已知少=1物0米，川0=100。米，5點(diǎn)位于幺點(diǎn)的南偏西60一7”方向，C點(diǎn)位于且點(diǎn)的南偏東661”方向.求且BC的面積；（2）景區(qū)規(guī)劃在線段BC的中點(diǎn)管處修建一個(gè)湖心亭，并修建觀景棧道.試求達(dá)、力間的距離.（結(jié)果精確到01米）（參考數(shù)據(jù)：加

11、5里2公。£。，加，刖漢70即，g對(duì)丁書549 , sin66.r0.5l , co&6（5.10.41 ,A匚二聯(lián)廠Z.Z_比一 ）【答案】（1） 560000 （2） 565.6【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)。作CE_艮4交比4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E ,然后根據(jù)直角三角形的內(nèi)角和求出/ CAE,再根據(jù)正弦的性質(zhì)求出 CE的長(zhǎng)，從而得到 4ABC的面積；（2）連接 ，過點(diǎn)刀作力尸且3 ,垂足為尸點(diǎn)，則.然后根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)和余弦值求出BE、AE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求解即可 .試題解析：過點(diǎn)C作隨_血 交&1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E ,在RtAAEC 中，ZC4E-18-60 7- 661

12、'=53.V ,所以 CE = AC 三口5二,七 1000m O.S= 8C0 米.所以兄但二s8= 4X Lx就口二5前心0。（平方米）.22（2）連接為口，過點(diǎn)口作DT近，垂足為F點(diǎn)，則DFH CE .因?yàn)椤笆撬乐悬c(diǎn)，所以D尸二;CE二4M米，且F為期中點(diǎn)，所以拓二西十上=L40Q 600 = 2口01米.所以/=以£ W£ = 4M米，由勾股定理得，.必二JjF:+QF：=/的：+網(wǎng)0:=領(lǐng)忘=5隈6米.答：以、口間的距離為元5_6米.8-口 (W2SQH)考點(diǎn)：解直角三角形5. (2013年四川攀枝花12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 ABCD是梯形

13、，AB/ CD,點(diǎn) B (10, 0) , C (7, 4).直線 l 經(jīng)過 A, D 兩點(diǎn)，且 sinZ DAB=.動(dòng)點(diǎn) P2在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿 B-C-D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線A- D-C相交于點(diǎn)M,當(dāng)P, Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)(2)試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的 t的取值范圍；(3)試求(2)中當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大，并求出 S的最大值；(4)隨著P, Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) M在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè) PM的延長(zhǎng)線與直線l相交于點(diǎn)

14、N,試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，4QMN為等腰三角形？請(qǐng)直接寫出 t的值.【答案】解：(1) ( - 4, 0) ； y=x+4.(2)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中：當(dāng)0vt w時(shí)，如圖1,過點(diǎn)C作CF，x軸于點(diǎn)F,則CF=4, BF=3,由勾股定理得 BC=5.過點(diǎn) Q 作 QE，x 軸于點(diǎn) E,則 BE=BQ?cosZ CBF=5t?3 =3t 5，PE=PB- BE= (14-2t) - 3t=14 - 5t,S=- PM?PE= X 2t K14- 5t) =5t2+14t. 22當(dāng)1 vt w對(duì)，如圖2,過點(diǎn)C Q分別作x軸的垂線，垂足分別為 F, E,則CQ=5t- 5, PE=A1 AP-

15、EF=11-2t- (5t 5) =16- 7t.S=PM?PE=X 2t 代 167t) =- 7t2+16t.22當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時(shí)，DM+CQ=CD=7,即(2t 4) + (5t 5) =7,解得 t= 16 . 7當(dāng)2<t< 時(shí)，如圖3,MQ=CDDM CQ=7 ( 2t 4) ( 5t 5) =16 7t,S=1 PM?MQ= 1 X 4><16 -7t) =T4t+32.22綜上所述，點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式為5t27t214t16t(3)當(dāng) 0vt wiM, S 5t2 14t27 t5490<t 11<t 214t322«

16、;英7- a= - 5< 0,拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線當(dāng)0v t w時(shí)，S隨t的增大而增大.當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值，最大值為 9.當(dāng) 1 vt w對(duì)，s 7t2 16t7 t647. a=-7< 0,拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線.,.當(dāng)t=。時(shí)，S有最大值，最大值為 當(dāng) 2vtv 竺時(shí)，S=- 14t+327. k=- 14<0,，S隨t的增大而減小.又.當(dāng) t=2 時(shí)，S=4；當(dāng) t=16 時(shí)，S=0, /.0<S< 4, 7綜上所述，當(dāng)t=A處測(cè)得塔頂M的仰角為45。；沿著山坡向上行走 40m到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得塔頂 M的仰角時(shí), 7, 一 一一一 64S有

17、最大值，最大值為 64 QMN為等腰三角形. 6 (1)利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，由sin/DAB=X2,利用特殊三角函數(shù)值，得到2 AOD為等腰直角三角形，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；由點(diǎn) A、求出直線l的解析式：占八、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法,. C (7,4), AB/ CD,D (0, 4). sinZ DAB= , / DAB=45 . . . OA=OD=4.2.A (-4,0)4k b設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b,則有 b 41.y=x+4.4點(diǎn)A坐標(biāo)為(-4, 0),直線l的解析式為:y=x+4.(2)弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程分別求解： 當(dāng)0vtwM,如圖1；當(dāng)1 vt W對(duì)，如圖2；

18、當(dāng)2vtv 16時(shí)，如圖3.7S的最大值.（3）根據(jù)（2）中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計(jì)算，最終確定（4） 4QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論：如圖4,點(diǎn)M在線段CD上,如圖5,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，同時(shí)當(dāng)Q剛好運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn) D,此時(shí)4QMN為等腰三角形,MQ=CDDM CQ=7 ( 2t 4) ( 5t 5) =16 7t, MN=DM=2t - 4,20由 MN=MQ ,得 16 7t=2t -4,解得 t=.9t=12.5.當(dāng)t=20或t=12時(shí)，4QMN為等腰三角形.考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題，雙動(dòng)點(diǎn)問題，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函 數(shù)值，由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系

19、式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類 思想的應(yīng)用. .如圖，MN為一電視塔，AB是坡角為30 °的小山坡（電視塔的底部N與山坡的坡腳 A在 同一水平線上，被一個(gè)人工湖隔開），某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量這座電視塔的高度.在坡腳 * 為30°,請(qǐng)求出電視塔 MN的高度.（參考數(shù)據(jù)：J2 = 1.41 J3 = 1.73結(jié)果保留整數(shù)）【答案】95m【解析】【分析】過點(diǎn) C作C已AN于點(diǎn)E, CF，MN于點(diǎn)F.在4ACE中，求 AE= 20>/3 m,在 RTA MFC 中，設(shè) MN=x m,則 AN=xm. FC= 33 mm,可得 x+ 2073 = 33 (

20、 x20),解 方程可得答案.【詳解】解：過點(diǎn) C作CE! AN于點(diǎn)E, CF± MN于點(diǎn)F.在4ACE中，AC= 40m, Z CAE= 30°.CE= FN=20m, AE= 20 73 m設(shè) MN = x m,則 AN= xm . FC= 3 xm ,在RTA MFC中MF= MN -FN= MN-CE= x-20FC= NE= NA+ AE= x+ 20 , 3 / MCF= 30 °FC= . 3 MF,即 x+20/3 = 33 ( x- 20)40 3解得：x3 1= 60 + 20 73 = 95m答：電視塔MN的高度約為95m.【點(diǎn)睛】本題考核知

21、識(shí)點(diǎn)：解直角三角形.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記解直角三角形相關(guān)知識(shí)，包括含特殊角的直角三角形性質(zhì) .7.如圖，在4ABC中，/A=90°, /ABC=30°, AC=3,動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，在 AB邊上以每 秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CD,作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (s)C(1)若BDE是以BE為底的等腰三角形，求 t的值;(2)若4BDE為直角三角形，求 t的值；(3)當(dāng) 臣bceC9時(shí)，所有滿足條件的t的取值范圍(所有數(shù)據(jù)請(qǐng)保留準(zhǔn)確值，參考2數(shù)據(jù)：tan15 °=2 - J3).【答案】(1) 遞 ；(2) J3秒或3秒；(3) 6-3 7

22、3wt W32【解析】【分析】(1)如圖1,先由勾股定理求得 AB的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn) A、E關(guān)于直線CD的對(duì)稱，得CD垂直 平分AE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得： AD=DE,所以AD=DE=BD由AB=3j3 ,可得t 的值；(2)分兩種情況：當(dāng)/DEB=90°時(shí)，如圖2,連接AE,根據(jù)AB=3t=3 33 ,可得t的值；當(dāng)/EDB=90°時(shí)，如圖3,根據(jù)AGXEGD,彳導(dǎo)AC=DE由AC/ ED,得四邊形 CAED 是平行四邊形，所以 AD=CE=3即t=3;(3) BCE中，由對(duì)稱得：AC=CE=3所以點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，CE的長(zhǎng)不變，所以 4BCE 面積的變化取決于以 CE

23、作底邊時(shí)，對(duì)應(yīng)高的大小變化， 當(dāng)4BCE在BC的下方時(shí)， 當(dāng)4BCE在BC的上方時(shí)，分別計(jì)算當(dāng)高為3時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值即可得結(jié)論.【詳解】解：(1)如圖1,連接AE, 由題意得：AD=t, / CAB=90 ； / CBA=30 ； BC=2AC=6,.AB=762_3T=3>/3, 點(diǎn)A、E關(guān)于直線CD的對(duì)稱， CD垂直平分AE,.AD=DE, BDE是以BE為底的等腰三角形，DE=BD,.AD=BD,.t=AD= 33 ;2(2) ABDE為直角三角形時(shí)，分兩種情況：當(dāng)/DEB=90°時(shí)，如圖2,連接AE,.CD垂直平分AE,.AD=DE=t, / B=30 ,°BD

24、=2DE=2t,.AB=3t=3>/3 , '''t= 3z ； 當(dāng)/EDB=90°時(shí)，如圖3, 連接CE,.CD垂直平分AE, .CE=CA=3 / CAD=Z EDB=90 ； .AC/ ED,/ CAG=/ GED, . AG=EG, /CGA=/EGD, .AGCAEGD, .AC=DE,1. AC/ ED,四邊形CAED是平行四邊形， .AD=CE=3,即 t=3;綜上所述，BDE為直角三角形時(shí)，t的值為J3秒或3秒；(3) 4BCE中，由對(duì)稱得：AC=CE=3所以點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，CE的長(zhǎng)不變，所以 4BCE 面積的變化取決于以 CE作底邊時(shí)

25、，對(duì)應(yīng)高的大小變化， 當(dāng)4BCE在BC的下方時(shí)，過 B作BHLCE,交CE的延長(zhǎng)線于 H,如圖4,當(dāng)AC=BH=3 時(shí)，此時(shí) Sbce= 1AE?BH=1 X 3X 9=, 222易得 AACGAHBG,.CG=BG,/ ABC=Z BCG=30 ,°/ ACE=60 - 30 =30 ；1 . AC=CE AD=DE, DC=DC. .AC* ECD,/ ACD=Z DCE=15,°tan / ACD=tan15 = ： =2 32 ,2 .t=6-3>/3,由圖形可知：0vtv6-3百 時(shí)，4BCE的BH越來越小，則面積越來越小, 當(dāng)4BCE在BC的上方時(shí)，如圖

26、3, CE=ED=3且CE1 ED,此時(shí) SBCE=-CE?DE=1 X 3X 9=,此時(shí) t=3,【點(diǎn)睛】直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積問本題考查三角形綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、 題、軸對(duì)稱等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題, 學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)解決問題，屬于中考?jí)狠S題.8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是。C外一點(diǎn)，連接 CP交。C于點(diǎn)Q,點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)為P',當(dāng)點(diǎn)P在線段CQ上時(shí)，稱點(diǎn)P為。C友好點(diǎn)”.已知A(1, 0),B(0, 2), C(3, 3)(1)當(dāng)。的半徑為1時(shí)，點(diǎn)A, B, C中是。友好點(diǎn)”的是已知點(diǎn)M在直線V= x+

27、2上，且點(diǎn)M是。O友好點(diǎn)”，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值3范圍；(2)已知點(diǎn)D(2，3, 0),連接BC, BD, CD, OT的圓心為T(t, - 1),半彳仝為1,若在 BCD 上存在一點(diǎn)N,使點(diǎn)N是。T友好點(diǎn)”，求圓心T的橫坐標(biāo)t的取值范圍.【答案】 B； 0WmwJ3； (2)-4+3J3&V3 J3.【解析】【分析】(1)限據(jù) 友好點(diǎn)”的定義，OB= <2r=2,所以點(diǎn)B是。友好點(diǎn)”;設(shè)M(m, - m+2 )，根據(jù) 友好點(diǎn)”的定義，OM = Jm23m 222，由此求解即可；N是。T友好點(diǎn)"，NT<r=(2)B(0, 2), C(3, 3), D(2

28、4;, 0), OT 的圓心為 T(t, - 1),點(diǎn)BD交于點(diǎn)2,所以點(diǎn)N只能在線段BD上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)T作TNLBD于N,作TH/y軸，與H,易知 /BDO= 30 °, ZOBD= 60 °, NT= HI-,直線 BD： y= - - x+2,可知 H(t,-231+2),繼而可得NT=- It + H3,由此可得關(guān)于t的不等式，解出t的范圍即可.322【詳解】.1=1,，根據(jù)友好點(diǎn)”的定義，OB= <2r=2,.點(diǎn)B是。O友好點(diǎn)”，-OC= J32 32 =3 72>2r=2, .點(diǎn) C 不是 0 ° 友好點(diǎn)A(1, 0)在。上，不是。友好點(diǎn)”，

29、故答案為B;如圖，設(shè)M（m,一夸 m+2 ），根據(jù) 友好點(diǎn)”的定義,.OM =m2 3m 222,整理，得 2m2- 21y3mWQ解得o&y3 ； ，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍：0葡 V3 ;(2)蛻0, 2), Q3, 3), D(2j3, 0), OT 的圓心為 T(t, - 1),點(diǎn) N 是。T 友好點(diǎn)”,-NT<r=2,，點(diǎn)N只能在線段 BD上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) T作TNBD于N,作TH/ y軸，與BD交于點(diǎn)H.22), D(2W, 0),.B(0,，直線BD： y= -x+2,3 H 點(diǎn)H(t,BD上，-1+2),3HT=- -1+2 _ (_ 1)= -1+3, OB 2.3

30、tan / BDO= ，OD 2,33/ BDO=30 ;/ OBD= 60 ;/ THN=Z OBD=60 ；.NT= HT?sin/ THN=HT,.NT=<3HT=立(®+3)= 1t +述，223221t+越. 22t - 4 + 3 y/3 ,當(dāng)H與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)T的橫坐標(biāo)等于點(diǎn) D的橫坐標(biāo)，即t=3j3, 此時(shí)點(diǎn)N不是友好點(diǎn)”，. .t<3 73,故圓心T的橫坐標(biāo)t的取值范圍：-4+3j3q3j3.【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，正確理解友好點(diǎn)”的意義，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與特殊三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.9.如圖，直線y=1x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物

31、線y=-工x2+bx+c經(jīng)過22A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 C.(1)求拋物線的解析式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足工x+2A2x2+bx+c的x的取值范圍；22(3)設(shè)點(diǎn)D為該拋物線上的一點(diǎn)、連結(jié)AD,若/DAC=/CBO,求點(diǎn)D的坐標(biāo).(1)亡；(2)(3)1 2 3【答案】(1) y 2x 2x 2； (2)當(dāng)xno或xw- 4； (3) D點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 2)或(2, - 3).【解析】【分析】1由直線y=x+2求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析2觀察圖象，找出直線在拋物線上方的x的取值范圍；如圖，過 D點(diǎn)作x軸的垂線，交 x軸于點(diǎn)E,先求出CO= 1, A

32、O= 4,再由/DAO / CBO,得出tan / DAC= tanZ CBO,從而有， DE CO，最后分類討論確定點(diǎn) D的坐標(biāo).AE BO【詳解】 解：（1）由y= -x+2可得:2當(dāng) x= 0 時(shí)，y=2；當(dāng) y=0 時(shí)，x= 4,A ( 4, 0) , B (0, 2),把A、B的坐標(biāo)代入y=- - x2+bx+c得:2八123 c拋物線的解析式為：y -x -x 222(2)當(dāng) x>0或 x<- 4 時(shí),WTx'bx+c（3）如圖，過D點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E,事 123“ c由 y _ x -x 2令 y = 0, 22解得：xi = 1, x2= - 4,

33、 .CO= 1, AO= 4, 123設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,- m -m 2),22 / DAC= / CBO, tanZ DAC= tan / CBO,在 RtADE和 RtBOC中有DEAECOBO，12m 當(dāng)D在x軸上方時(shí)，2 m解得：m1 = 0, m2=-4 （不合題意，舍去），.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0, 2）當(dāng)D在x軸下方時(shí),(1m2m 2)解得：m1 = 2, m2=- 4 （不合題意，舍去），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2, -3）,故滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 2）或（2, - 3）本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次 函數(shù)解析式.解題的關(guān)鍵是能夠熟練掌握

34、一次函數(shù)和二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題，分類討論是第(3)題的難點(diǎn).10.如圖，交圓的切線AB是圓。的直徑，。為圓心，AD、BD是半圓的弦，且 /PDA=/ PBD.延長(zhǎng) PDBE于點(diǎn)E(1)判斷直線PD是否為。的切線，并說明理由;(2)如果 / BED=60°, PD=J3,求 PA 的長(zhǎng)；(3)將線段PD以直線AD為對(duì)稱軸作對(duì)稱線段 DF,點(diǎn)F正好在圓。上，如圖2,求證：四 邊形DFBE為菱形.O【答案】(1)【解析】【分析】EB證明見解析；(2)(1)連接OD,由AB是圓。的直徑可得/ADB=90 ,進(jìn)而求得 出直線PD為。的切線；(2)根據(jù)BE是。的切線，則/EBA=90,即可

35、求得Z P=30° ,/ADO+/PDA=90 ,即可得再由PD為。的切線，得/PDO=90 ；根據(jù)三角函數(shù)的定義求得 OD,由勾股定理得OP,(3)根據(jù)題意可證得 /ADF=/ PDA=Z PBD=Z ABF,由AB是圓即可得出PA;。的直徑，得 /ADB=90,設(shè)/ PBD=X，則可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, / DBF=2X ,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出x的值，可得出4BDE是等邊三角形.進(jìn)而證出四邊形DFBE為菱形.【詳解】(1)直線PD為。的切線，理由如下：如圖1,連接OD,.AB是圓O的直徑，/ ADB=90 ； / ADO+/ BDO=90 ；

36、又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ；即 PD± OD, 點(diǎn)D在。O上, 直線PD為。O的切線；(2) .BE是。的切線，/ EBA=90 ； / BED=60 ；/ P=30 ,° .PD為。的切線,/ PDO=90 ；在 RtA PDO 中,/ P=30°, PD=石,0 OD，tan 30 日亍，解得OD=1,PO . PD2 OD2 =2,PA=PO- AO=2 - 1=1;(3)如圖2,依題意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF, / PDA=Z PBD

37、Z ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圓O的直徑，/ ADB=90 ,°設(shè) / PBD=x ,貝U / DAF=Z PAD=90 +x°, / DBF=2x , 四邊形AFBD內(nèi)接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,°即 90o+x+2x=180°,解得 x=30°,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF=30 ；.BE、ED是。的切線， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,° 4BDE是等邊三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF

38、=90 30 =60 / DBF=2X =60°, .BDF是等邊三角形， .BD=DF=BF .DE=BE=DF=BF5cE【答案】(1)證明見解析(2)本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理和菱形的性質(zhì)，是中檔 題，難度較大.11.如圖，在？ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O, AC± BC于點(diǎn)C,將ABC沿AC翻折得到 AEC,連接 DE.(1)求證：四邊形 ACED是矩形；(2)若 AC= 4, BC= 3,求 sin/ABD 的值.6.1365(1)根據(jù)？ABCD中，AC± BC,而AB8 4AEC不難證明；(2)依據(jù)已知條件，在 4AB

39、D或4AOC作垂線AF或OF,求出相應(yīng)邊的長(zhǎng)度，即可求出ZABD的正弦值.【詳解】(1)證明： WAABC沿AC翻折得到AAEC,，BC= CE AC± CE, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AD/BC, AD= BC, .AD=CE, AD/CE, 【四邊形ACED是平行四邊形， .ACXCE, 四邊形ACED是矩形.(2)解：方法一、如圖 1所示，過點(diǎn) A作AU BD于點(diǎn)F, . BE=2BC= 2X26, DE=AC= 4,在 RtBDE 中，BD BE2 DE2、62 422.13.s BDE=DE?A DIAF?BD, . AF =2 .136.1313.RtABC中，A

40、B=店42=5, RtA ABF 中，AF 6.136.13sin/ABF= sin/ABD= "AB1365 .5方法二、如圖2所示，過點(diǎn)。作OF, AB于點(diǎn)F,同理可得，OB= - BD J13,21 1一Saaob= OF AB OA BC ,22.OF=.在 RtBOF 中,-OFSinZ FBO=OB_6_ 6_135-1365. ,6、.13 sin / ABD= -65BCE囪【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì) 和解直角三角形求線段的長(zhǎng)度，關(guān)鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計(jì)算公式求出 sin/ABD.12 .如圖，A

41、B為e O的直徑，C、D為e O上異于A、B的兩點(diǎn)，連接CD ,過點(diǎn)C作CE DB ,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E ,垂足為點(diǎn)E ,直徑AB與CE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F .(1)連接 AC、AD ,求證： DAC ACF 180 .(2)若 ABD 2 BDC.求證：CF是e O的切線.3 , 當(dāng)BD 6 , tan F 一時(shí)，求CF的長(zhǎng).420 【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；CF 工0.3【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理證得 /ADB=90,即AD± BD,由CE! DB證彳導(dǎo)AD/CF,根據(jù)平行線 的性質(zhì)即可證得結(jié)論；(2) 連接OC.先根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形外角的性質(zhì)得出

42、/3=2/ 1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,則OC/ DB,再由CE! DB,得到OC CF,根據(jù)切線的判定即可 證明CF為。O的切線； 由 CF/ AD,證出 ZBAD=ZF,得出 tan / BAD=tan/F=_BD =j ,求出 AD=： BD=8,利 一OC 3 用勾股定理求得 AB=10,得出OB=OC= 5,再由tanF=-,即可求出 CF.CF 4【詳解】解：(1) AB是e O的直徑，且D為e O上一點(diǎn),ADB 90 ,QCE DB, DEC 90 ,CF /AD , DAC ACF 180 .(2)如圖，連接OC.Q OA OC ,12.Q 312,3 2 1.Q

43、4 2 BDC , BDC 1,4 2 1,43,OC /DB.QCE DB, OC CF .又QOC為e O的半徑，CF為e O的切線.D由(1)知 CF /AD ,BAD F , l 3 tan BAD tanF - 4，BD 3 .AD 4Q BD 64AD - BD 8 , 3AB V6 82 10，OB OC 5.QOC CF , OCF 90 ,tanFOCCF解得CF203【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是(2)中，需要運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結(jié)果.13.，一.3如圖，4ABC中，AC=BC=

44、10, cosC=，點(diǎn)P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) A、C重合)，5以PA長(zhǎng)為半徑的OP與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)為 D,過點(diǎn)D作DE，CB于點(diǎn)E.(1)當(dāng)。P與邊BC相切時(shí)，求OP的半徑.(2)連接BP交DE于點(diǎn)F,設(shè)AP的長(zhǎng)為x, PF的長(zhǎng)為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直 接寫出x的取值范圍.(3)在(2)的條件下，當(dāng)以 PE長(zhǎng)為直徑的OQ與。P相交于AC邊上的點(diǎn)G時(shí)，求相交所得的公共弦的長(zhǎng)405x 【答案】(1) R -；(2) y Vx 8x 80 ; (3) 5093x 20【解析】【分析】10.5.(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為H,圓的半徑為3 一R,連接 HP,則 HP±

45、BC, cosC=-,則54 HP R 4 sinC= , sinC=, 即可求斛;5 CP 10 R 5EB BF4首先證明PD/ BE,則EB EF,即：PD PF一(3)證明四邊形 PDBE為平行四邊形，則 AG=E25x Jx2 8x 80 y ,即可求解;xyP= BD,即：AB=DB+AD= AG+AD=4 .5,即可求解.(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為 H,圓的半徑為 R,3 一 4連接 HP,則 HP± BC, cosC=-,則 sinC=,55HP sinC= CPR 440=一,斛倚：R=;10 R 593(2)在 ABC 中，AC= BC= 10, cosC=

46、,5過點(diǎn)B作BHI± AC,同理可得：CH= 6, HA=4, AB= 4而，則：tan/CAB= 2,BP= J82+(x4)2 = 7x28x80?DA= x,貝U BD= 4 5 - x, 55如下圖所示，PA= PD,/ PAD= / CAB= / CBA= 3,Stan 3= 2,則 cos 氏二，sin 3= 5EB= BDcos 片(475.PD/ BE,EBPDBF，即:PF2x5x整理得:5x y=Jx2 8x 80 ；(3)以3x 20EP為直徑作圓Q如下圖所示,即兩個(gè)圓的半徑相等，則兩圓另外一個(gè)交點(diǎn)為D,GD為相交所得的公共弦， 點(diǎn)Q是弧GD的中點(diǎn)， DGXEP.AG是圓P的直徑，/ GDA= 90 ; .EP/ BD,由（2）知，PD/ BC, 二.四邊形PDBE為平行四邊形,.AG= EP= BD,AB= DB+AD= AG+AD= 4 石, 設(shè)圓的半徑為r,在4ADG中,2r4rAD= 2rcos 傷 , DG= 忑 AG= 2r,2r20需+2= 4 75 ,解得：2r=拆 1 ,4r則：DG= 50-10 a/5 ,相