2019-2020學(xué)年福建省三明市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

1、2019-2020學(xué)年福建省三明市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1 .函數(shù)f(x) ln(x 1)的定義域?yàn)?)A. (,)B. (0,)C. 1,)D. (1,)【答案】D根據(jù)真數(shù)大于零可得定義域.【詳解】要使函數(shù)f(x) ln(x 1)有意義，則有x 1 0,即x 1 ,所以函數(shù)f(x) ln(x 1)的定義域?yàn)?1,).故選：D.本題主要考查函數(shù)定義域的求解，對數(shù)函數(shù)一般要求真數(shù)大于零，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2 .用二分法求解方程 ex 3x 8 0近似解的過程中，設(shè) f(x) ex 3x 8 ,經(jīng)計(jì)算 得部分函數(shù)值近似值如下表：x11.251.522.25f(x)2.280.7

2、60.985.398.24據(jù)此可以判斷方程的根所在區(qū)間是()A. (1,1.25)B. (1.25,1.5)C. (1.5,2)D. (2,2.25)【答案】B根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，只需要找到函數(shù)值異號的區(qū)間即可【詳解】因?yàn)楦鶕?jù)零點(diǎn)存在定理可得f(1.25)f(1.5) 0,則1.25,1.5至少存在一個(gè)零點(diǎn)，故選：B.本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的確定，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得f(a)f(b) 0 ,則a,b至少存在一個(gè)零點(diǎn).rr3.設(shè)向量a (2,4)與向量b (x,6)垂直，則實(shí)數(shù)x的值是()A.12B.3C. 3D. 12【答案】A利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得2x 24 0,從而可求實(shí)數(shù)x的

3、值.【詳解】一、,，一 rr 一.因?yàn)橄蛑豠 (2,4)與向重b (x,6)垂直， r r所以 a b 2x 24 0,即 x 12.故選：A.本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，向量垂直則得向量的數(shù)量積為0,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4.已知哥函數(shù)f(x) x2m1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2, 8),則實(shí)數(shù)m的值是(第13頁共17頁A.1B, -C. 2D. 32【答案】C利用備函數(shù)f(x) x2m1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2, 8),可得實(shí)數(shù)m的值.【詳解】因?yàn)楦绾瘮?shù)f(x) x2m1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2, 8),所以22m 1 8,解得m 2 .故選：C.本題主要考查募函數(shù)解析式的求解，函數(shù)圖象經(jīng)過某點(diǎn)，則該點(diǎn)

4、坐標(biāo)一定適合解析式, 側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng) .5.已知函數(shù)f(x)log3x, xf(x 2), x2,A. 0B. 1C. 2D. 3先求f (1) f(3),再把x 3代入10g 3x可得.【詳解】因?yàn)閒 (x)10g3 x, x 2,f(x 2), x 2,所以 f(1) f(3) log 3 3 1.故選：B.本題主要考查分段函數(shù)的求值問題，分段函數(shù)的求值要注意"對號入座”，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6 .在平面直角坐標(biāo)系中， 已知e O是以原點(diǎn)。為圓心，半徑長為2的圓.設(shè)角x(rad)的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與橫軸的非負(fù)半軸重合，終邊與 e O的交點(diǎn)為B,則點(diǎn)B的縱

5、坐標(biāo)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為()A. y tanxB. y sin xC. y 2cos xd. y 2sin x【答案】D設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)的定義可求.【詳解】設(shè) B(a,y),則 a2 y2 4,sin x , y TaV 2，所以 y 2sin x.故選：D.本題主要考查三角函數(shù)的定義，根據(jù)角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)可得定義式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).7 .如圖，在VABC中，D,E分別是AB, AC的中點(diǎn)，。是該平面上任意一點(diǎn)，設(shè)uuinuuiruur- r uur uuur , A uur uur uur 由三角形中位線性質(zhì)可得BC 2DE ,結(jié)合DE OE OD可得x, y，從

6、而可求因?yàn)閐,e分別是AB, AC的中點(diǎn),uuiruuur 口”ur xuuJ y uur所以 BC 2DE，即 DE -OD -OE ;22因?yàn)閡uurDEuurOEuurOD_y,所以2 x21解得14.故選：A.本題主要考查平面向量的基底表示,選擇合適的基底是求解本題的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng)8.設(shè)函數(shù) f (x) 3x, g (x) ax4x 2,若對任意xi 0，總存在x2R，使得f x1 g x2 ,則實(shí)數(shù)a的最大值是()D. 16A. 4B. 2C. 4【答案】C 先求f(x)的值域，根據(jù)題意f(x)的值域應(yīng)該是g(x)的值域的子集，又a分類討論可得.【詳解】因?yàn)閷θ我鈞

7、i 0, f (x1) 3xi 1,所以根據(jù)題意可知g(x) ax2 4x 2的值域包含1,).當(dāng)a 0時(shí)，g(x) R符合題意；,-2，2、2.2 -，當(dāng) a 0時(shí)，g() 1, a(l)4() 2 1 ,解得 a 4；aa a顯然當(dāng)a 0時(shí)，不符合題意；所以實(shí)數(shù)a的最大值是4.故選：C.本題主要考查函數(shù)的值域問題，二次型函數(shù)的值域要關(guān)注二次項(xiàng)系數(shù)的影響，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).二、多選題9.下列各選項(xiàng)給出的兩個(gè)函數(shù)中，表示相同函數(shù)的有()A.f(x)-與 g(x)x7B,f (t)|t 1| 與 g(x) |x 1|x2 1C.f(x)x與 g(x)log2 2D.f (x)與 g(x

8、) x 1x 1【答案】BC 逐項(xiàng)考查每兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是否相同即可【詳解】 對于選項(xiàng)A, g(x) x與f(x) x對應(yīng)法則不同，所以兩者不是同一函數(shù);對于選項(xiàng)B, f(t) It 1|與g(x) |x 1|定義域和對應(yīng)法則均相同，所以兩者是同一函數(shù)；對于選項(xiàng)c, f(x) x與g(x) 10g22x定義域和對應(yīng)法則均相同，所以兩者是同一函x2 1對于選項(xiàng)D, f (x) -一1的定義域?yàn)?x x 1，而g(x) x 1的定義域?yàn)镽,定 x 1義域不同，所以兩者不是同一函數(shù)；故選：BC.是定義域要相本題主要考查同一函數(shù)的判定，兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)要滿足兩個(gè)條件:同；二是對應(yīng)法則要一致

9、.側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng) .10.已知函數(shù)f(x) tan x ，則下列關(guān)于f(x)的判斷正確的是(3A.在區(qū)間一，上單調(diào)遞增6B.最小正周期是C.圖象關(guān)于直線x 一成軸對稱D.圖象關(guān)于點(diǎn) -,0成中心對稱66【答案】ABD逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)合正切型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷可得【詳解】.4對于選項(xiàng) A,x ,時(shí)，x ,此時(shí)f(x) tan x 一為增函數(shù);632 33對于選項(xiàng)B, f (x) tan x 的最小正周期為T 門 ；對于選項(xiàng)C,因?yàn)閒 (0) 亞f(-)J3, f(0)f (-),所以圖象不是關(guān)于直線33x 一成軸對稱； 6k _k對于選項(xiàng)D,令x ,k Z,得x 一，令k 1得x

10、 ,所以圖象關(guān)32236于點(diǎn)-,0成中心對稱 6故選：ABD.本題主要考查正切型函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)的求解方法是解決本題的關(guān)鍵.側(cè)重考查邏 輯推理的核心素養(yǎng)r r11 .設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量，則下列描述正確的有（）a.若a br iai而，則存在實(shí)數(shù)使得a brrrb若 ab,則abiab i4 rrrr ir , rrC.若a b | |a | |b|,則a在b萬向上的投影為|b|d.若存在實(shí)數(shù)使得ar ir r r rb,則a biia1【答案】AB4 r r r r r r 一，一r 右|a b|a| |b|,則a,b反向，從而arr rrr rrb ,則a b0 ,從而可得|ab |

11、 |ab |;4 r r r r - r r r , rr右|a b|a| |b|,則a,b同向，a在b萬向上的投影為| a |r rr r .若存在實(shí)數(shù)使得ab,則a,b共線，但是a ba b不一定成立【詳解】r r r r -，r r對于選項(xiàng)a,若a ba b，則a,b反向，由共線定理可得存在實(shí)數(shù)使得r r a b ；r r ir r對于選項(xiàng)B,右a b，則a b 0，rr 2r2r rr2rr 2 r2 r rr2-rr rr| ab |a2a bb ,|ab | a2a bb ,可彳4ab | | ab；r r r r r r r rr對于選項(xiàng)C,右a b | |a | b，則a,b同

12、向，a在b方向上的投影為a；r rrr 一對于選項(xiàng)d,若存在實(shí)數(shù)使得a b,則a,b共線，但是a ba b不一定 成立.故選：AB.本題主要考查平面向量的性質(zhì)及運(yùn)算,明確向量的性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)則是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng)x 3x. x 0.12.已知函數(shù)f (x),'萬程|f(x) 1| 2 m(m R),則下列判斷正ex 1, x 0,確的是()3A.函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x 一對稱2B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,)上單調(diào)遞增C.當(dāng)m (1,2)時(shí)，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根D.當(dāng)m ( 1,0)時(shí)，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根【答案】BC先作出函數(shù)y | f(x) 1的圖象，然

13、后依據(jù)圖象可得.【詳解】3對于選項(xiàng)A, f (4)4, f ( 1) 1 e,顯然函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線 x -對稱；2對于選項(xiàng)B, f (x) x2 3x的圖象是開口向上的拋物線，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,)上單調(diào)遞增；作出函數(shù)y | f(x) 1|的圖象，如圖，當(dāng)m (1,2)時(shí)，2 m (0,1),結(jié)合圖形可知方程|f(x) 1| 2 m(m R)有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m ( 1,0)時(shí)，2 m (2,3),結(jié)合圖形可知方程|f(x) 1| 2 m(m R)有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；故選：BC.本題主要考查分段函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是求解這類問題的常用方法.側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)抽

14、象的核心素養(yǎng).、填空題13.已知 f(x 1) x2 2x 3,貝U f (1) 【答案】3結(jié)合解析式的特點(diǎn)，令 x 0可得f(1).因?yàn)閒(x 1) x2 2x 3,所以令x 0可得f(1) 3.故答案為：3.本題主要考查函數(shù)值的求解，題目較為簡單，直接代入求解即可，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的 核心素養(yǎng).414 .計(jì)算490.52(lg5)2 lg5 lg2 lg5入2【答案】2 3利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求4、2 , - ,2 、(lg5) lg5 lg2 lg5 lg5(lg593lg2) lg522lg5 lg 10 lg5 .332故答案為：2.3本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算， 熟記對數(shù)的運(yùn)算規(guī)則是求

15、解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15.已知函數(shù) f(x) 3sin 2x,則f(x)圖象的一條對稱軸方程是 6x 0,一時(shí)，f(x)的值域?yàn)?【答案】x -3,332f (x) 3sin 2x 一 的對稱軸可由2x 一 k 一求得，由x 0,一 可得 66222x 6的范圍，結(jié)合圖象可求值域 .【詳解】令2xk，令k 0可得f (x)圖象的一條對稱軸萬23程是x此處答案不是惟一的;3因?yàn)閤0,-，所以 2x 26.5 .,結(jié)合圖象可得sin 2x 6 661-2,1,所3以f(x)的值域?yàn)橐?32故答案為：(1). x (2).3,332本題主要考查正弦型函數(shù)的對稱性和值域，對稱性的求解

16、一般是利用整體代換意識， 值域的求解一般是利用換元法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)2_x16.使不等式log 2 x x 2成立的x的取值氾圍是 .【答案】(0, 2) U (4,)在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別作出三個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得 【詳解】2 一x.2如圖，分力1J作出 y log2 x, y x ,y 2的圖象，結(jié)合圖象可知 log2 x x恒成立，當(dāng)x (0,2)時(shí)，x2 2x；當(dāng)x (2,4)時(shí)，x2 2x;當(dāng) x (4,)時(shí)，x2 2x；所以不等式10g2 x x2 2x成立的x的取值范圍是(0, 2) U(4,).故答案為：(0,2)U(4,).本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用

17、，利用圖象求解不等式的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).四、解答題17.已知集合 A x|a 1 x 2a 3, B x|1 log2x 2 .(1)當(dāng) a 0時(shí)，求 AI B;(2)若AI B B ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1【答案】(1) A B x|2 x 3 (2) 1 a 32(1)當(dāng)a 0時(shí)，求出集合A,然后求解AI B;(2)由AI B B可得B A,結(jié)合集合B的范圍可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng) a 0時(shí)，A x| 1 x 3,不等式 1 log2 x 2 可化為 log22 log 2 x log2 4 ,則 2 x 4,即 B x|2 x 4,所以 A B x

18、|2 x 3.(2)因?yàn)锳I B B ,所以B A,由(1)知 B x|2 x 4,又 A x | a 1 x 2a 3,所以a 1 2,2a 3 4,-1解得一a 3.2 1則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1a 3.2本題主要考查集合的運(yùn)算,把集合化簡為最簡形式是求解的前提，根據(jù)子集關(guān)系求解參 數(shù)范圍時(shí)，常常借助數(shù)軸來進(jìn)行，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)18.已知函數(shù) f(x) log2(ax 2).(1)若實(shí)數(shù)a滿足32a 3a 6 ,求f (2)的值;(2)若f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) a的取值范圍【答案】(1) f(2) 2 (2)2 a 0(1)先根據(jù)32a 3a 6求出a ,然后可求f

19、(2)；(2)利用換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?32a 3a 6 ,所以 3a 3 3a 20 ,因?yàn)?a 0 ,所以3a 2 0 ,則3a 3 0,解得a 1,所以 f (x) 10g 2 (x 2),因此“2) 2.(2)令 t ax 2 ,則 f (x) g(t) 10g 21,而g(t) 10g2t是(0,)上的增函數(shù)，要使f (x)在(，1)上單調(diào)遞減，則問題等價(jià)于t ax 2在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減，0在區(qū)間(，1)上恒成立，所以a 0,a 2 0,2 a 0.本題主要考查對數(shù)型函數(shù)的求值及單調(diào)性問題，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一般是拆分內(nèi)層函數(shù)和外層

20、函數(shù)，結(jié)合內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性，遵循同增異減的規(guī)則19.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與 x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線 y 2x上.(1)求tan 的值；(2)求 sin( )cos (sin cos )的值.213【答案】(1)2 (2)5(1)在角的終邊上任取一點(diǎn)，結(jié)合正切函數(shù)的定義可求；2(2)先化間sin( )cos (sin cos ),結(jié)合正切值可求2tan21第15頁共17頁解法一：(1)在直線y2x上任取一點(diǎn) P(m, 2m)(m 0),由已知角的終邊在直線y 2x上,所以 tan二m2.m(2) sin( )cos-(sin、2. 2cos ) si

21、n 2sin cos 1 ,sin由(1)知 tan = - 2 ,所以2 ,即 sin 2coscos所以 sin24cos2,又 sin2cos21 ,212從而求得 cos- , sin所以sin(2. 2,2)cos (sin cos ) sin 4cos135解法二：(1)同解法(2) sin( )cos一 (sin 2、2.2cos ) sin 2sin cos 1 ,2 2乂 sin cos 1,所以 sin( )cos - (sin2 sin 2sin coscos )22 1sin cos,2 tan2 tan所以sin()cos一 (sin cos )228 1 13本題主

22、要考查三角函數(shù)的定義和同角的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式化簡代數(shù)式時(shí)注意符號問題，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)且ODuur r設(shè)OA a，20 .在VOBC中，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OB上,uuu rr b)-3【答案】(1) 1 373 (2)4(arb)；(1)根據(jù)向量的模長和夾角可以得到(2 ab) (ar(2)先利用基底向重a ,r .b表不出uuruuu uurOC， OA kDC,結(jié)合共線定理可得實(shí)數(shù)k的值.(1)因?yàn)閞|a|一 r2, |b|,r ，一 ，與b的夾角為一，6r所以a|a|b|cos 一w r則(2ab)(a b)6r2 2ar2 b1 3 3.(2)由已知uuuOCuu

23、uOBuurBCuuuOBuuu2BAuuu uuu2OA OB，uuiTDCuuurDOuuurOCuuu2OBuuu2OAuuuOBuuu2OA5 uuu 5OB , 3第22頁共17頁fiuuu ruuu r因?yàn)?OA a，OB b，uuu uuur則 OA kDCr r 5 ra k 2a -b 3r(2k 1)a又因?yàn)閡uur 與 uiinkDC共線，所以存在實(shí)數(shù)uuruuu uuir使彳導(dǎo) OC(OA kDC),r r即2a br 5 r LL(2k 1)a -kb ，所以(2 2 kr 5r)a1 -kb,3r r因?yàn)閍與b不共線，所以2 2k 0,51 k 0,3解得k4534

24、所以實(shí)數(shù)k的值為-.4本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及共線定理，用合適的基底表示向量是求解的關(guān) 鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)21 .已知函數(shù)f(x) 2x 2 x(1)當(dāng)x 3,3時(shí)，求f(x)的值域;(2)若對于任意t R,不等式f t2 2t2f 2t k0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)638638(2)(1)先利用定義法判定f(x) 2x 2 x的單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性可得值域;(2)結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，然后結(jié)合恒成立問題可得.【詳解】設(shè)Xi X2，則111f Xif X221 2x2 21 2 1 2x12x22X11因?yàn)?X X2,所以

25、2X1 2x2，即 2X1 2 0,又 10,2 1 2所以f X1f X2 ,所以f (X)在(，)上是增函數(shù).(1)由上可知f (X)在區(qū)間3,3上是增函數(shù),所以f(X)在區(qū)間3,3上最小值為f( 3)63 一 ，.63,取大值為 f (3) ,88因此f(X)的值域是63 638 , 8(2)因?yàn)閒 ( X) f(X),所以f(X)在R是上奇函數(shù)，所以不等式f t2 2t f 2t2 k0對于彳E意t R恒成立,22等價(jià)于不等式f t 2t f k 2t對于彳E意t R恒成立，因?yàn)閒 (x)在(,)上是增函數(shù)， 所以問題等價(jià)于不等式t2 2t k 2t2對于彳i意t R恒成立,即3t2 2t k對于任意t R恒成立，211設(shè)g(t) 3t2 2t,則g(t)的最小值為一，所以k33-，E1所以k的取值范圍是，3 .本題主要考查函數(shù)的值域求解和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，奇偶性和單調(diào)性的結(jié)合，可以使復(fù)雜的不等式問題轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式問題，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).22.已