遞推數(shù)列及答案

1、 遞推數(shù)列1數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 4數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 5.(2005重慶卷)數(shù)列滿足且記,求數(shù)列的通項(xiàng)及數(shù)列的前項(xiàng)和 6. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 7數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)。 8.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)。 9.已知數(shù)列滿足 ，且 ，求。 10.數(shù)列中，,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 11(1).在數(shù)列中，當(dāng)， ， 求通項(xiàng)公式.(2).已知數(shù)列和中，且，求和。 12.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 13. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 14. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 15.已知數(shù)列an中，a1=

2、3，求an的通項(xiàng)。16.已知數(shù)列an中，a1=2，求an的通項(xiàng)。17.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，求an的通項(xiàng)。 18.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)19.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng) 20.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)21、（05年江西理）已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足a0=1，an1=an(4an)，nN，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an。22已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項(xiàng)公式. 23已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？ 24.在數(shù)列an中，求通項(xiàng)公式an。 25.設(shè)在數(shù)列an中，求an的通項(xiàng)公式。 26.在數(shù)列中，求通項(xiàng)公式an。 27.設(shè)， ，求

3、證：。 28.設(shè)數(shù)列滿足， 求證： 。 29.設(shè)r為正整數(shù)，定義數(shù)列如下： ， 求證：。 30.設(shè)數(shù)列滿足，對一切，有，求所有被11整除的的一切n值。 31.設(shè)數(shù)列和滿足，且 求證：是完全平方數(shù)。 答案 遞推數(shù)列 1 數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 【解】：由已知可得從而可得，這個式子兩邊相加，即得，。 【解】：由已知可得從而可得，這個式子兩邊相加，即得：2.數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解法1】：（歸納法）由，得：，可歸納出：（），然后用數(shù)學(xué)歸納法證之。略?！窘夥?】：（化歸法）令，展開整理并與原式比較系數(shù)得，從而可將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)，則，從而，則，

4、所以。【解法3】：（化歸法）將原式兩邊同除以，得，從而又將原數(shù)列化為易于遞推的形式。設(shè)，則，則 （或者采用累差迭加法）所以【解法4】：（階差法）由，反向遞推得： 即 ， 兩邊相加得：（） 【解法5】：（化歸法）由可得（2），兩式相減得：（2），設(shè)，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是：，問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)用“累差迭加法”解題。 3數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。 4.(2005重慶卷)

5、數(shù)列滿足且記（1）求的值（2）求數(shù)列的通項(xiàng)及數(shù)列的前項(xiàng)和解析:(1)由于得代入遞推關(guān)系整理得即 由有所以(2)由 是以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列故即由得故 = = = 5. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：設(shè)將代入式，得，則等式兩邊消去，得，則得方程組，則，代入式，得由及式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。6數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)。 【解】：由得（2），兩式相減即得：（2），整理可得，即：（2），于是（2），化簡可得（2），結(jié)合，求得原數(shù)7（2004年全國15題）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)解：因?yàn)樗运允绞降脛t則所以由，取n=2得，則，又知，則，代入得。8.已知數(shù)列滿足

6、 ，且 ，求。 9.數(shù)列中，,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。【解】：設(shè)，則，解得：1、，運(yùn)用累差迭加法可得10. 數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且滿足：），求數(shù)列的通項(xiàng)。解析:由于得由, (n+1)即 11(1).在數(shù)列中，當(dāng)， 求通項(xiàng)公式.解：式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化為：則是一個等比數(shù)列，首項(xiàng)=2-2（-1）=4，公比為3.利用上題結(jié)果有：.11(2)已知數(shù)列和中，且，求和。解：an=2n-4·3n, bn=2n-5·3n 12.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：令，則故，代入得即因?yàn)椋蕜t，即，可化為，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則+3，

7、即，得。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。 13. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點(diǎn)。因?yàn)?。，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點(diǎn)，即方程的兩個根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。14. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則x=1是函數(shù)的不動點(diǎn)。因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點(diǎn)，即

8、方程的根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。 15.已知數(shù)列an中，a1=3，求an的通項(xiàng)。解：因?yàn)閍n的特征函數(shù)為：,由設(shè)即,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.a1=3,.16.已知數(shù)列an中，a1=2，求an的通項(xiàng)。解：因?yàn)閍n的特征函數(shù)為：,由設(shè)即,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.a1=2,.16.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，求an的通項(xiàng)。解： -得：因?yàn)閍n的特征函數(shù)為：,由x=1.設(shè)，將代入得：，。 17.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得， 18.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng) 18.已解：其特征方程為，化簡得，解得，令 由得，可得

9、，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，19.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，即，解得，令 由得，求得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，例在數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式練習(xí)6、（05年江西理）已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足a0=1，an1=an(4an)，nN，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an。例3已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項(xiàng)公式.將這問題一般化，應(yīng)用特征方程法求解，有下述結(jié)果.定理2.如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個相同的根（稱作特征根）時，若則若，則其中特別地，當(dāng)存在使時，無窮數(shù)列不存在.（2）當(dāng)

10、特征方程有兩個相異的根、（稱作特征根）時，則，其中證明：先證明定理的第（1）部分.作交換則 是特征方程的根，將該式代入式得 將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根于是 當(dāng)，即=時，由式得故當(dāng)即時，由、兩式可得此時可對式作如下變化： 由是方程的兩個相同的根可以求得 將此式代入式得令則故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.其中當(dāng)時，當(dāng)存在使時，無意義.故此時，無窮數(shù)列是不存在的.再證明定理的第（2）部分如下：特征方程有兩個相異的根、，其中必有一個特征根不等于，不妨令于是可作變換故，將代入再整理得 由第（1）部分的證明過程知不是特征方程的根，故故所以由式可得： 特征方程有兩個相異根、方程有兩個

11、相異根、，而方程與方程又是同解方程.將上兩式代入式得當(dāng)即時，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.此時對于都有當(dāng)即時，上式也成立.由且可知 例4已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）對于都有（2） 令，得.故數(shù)列從第5項(xiàng)開始都不存在，當(dāng)4，時，.（3）令則對于（4）顯然當(dāng)時，數(shù)列從第2項(xiàng)開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數(shù)列是存在的，當(dāng)時，則有令則得且2.當(dāng)（其中且N2）時，數(shù)列從第項(xiàng)開始便不存在.于是知：當(dāng)在集合或且2上取值時，無窮數(shù)列都不存在. 例1.在數(shù)列

12、an中，求通項(xiàng)公式an。解：對原遞推式兩邊同除以可得：令則即為，則數(shù)列bn為首項(xiàng)是，公差是的等差數(shù)列，因而，代入式中得。故所求的通項(xiàng)公式是 例2.設(shè)在數(shù)列an中，求an的通項(xiàng)公式。解：將原遞推式變形為/得：，即設(shè)式可化為，則數(shù)列bn是以b1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，于是，代入式得：，解得為所求。 例6.在數(shù)列中，求通項(xiàng)公式an。分析：首先考慮所給遞推式與公式的聯(lián)系。解：設(shè)，則同理，。即，猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明（證明略）。由于即，解得，于是為所求。例1、數(shù)列中，。求。（1981年第22屆IMO預(yù)選題）分析 本題的難點(diǎn)是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式

13、，便于化簡變形。解：構(gòu)建新數(shù)列，使則 ， ，即化簡得 ，即 數(shù)列 是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。 即 2 證明不等式這類題一般先通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，然后證明不等式或者對遞推關(guān)系式先進(jìn)行巧妙變形后再構(gòu)建新數(shù)列，然后根據(jù)已經(jīng)簡化的新數(shù)列滿足的關(guān)系式證明不等式。27.設(shè)， ，求證：。（1990年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 利用待證的不等式中含有及遞推關(guān)系式中含有這兩個信息，考慮進(jìn)行三角代換，構(gòu)建新數(shù)列，使，化簡遞推關(guān)系式。證明：易知，構(gòu)建新數(shù)列，使，則 ，又 ， ，從而 因此，新數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。考慮到當(dāng)時，有 。所以，注：對型如 ，都可采用三角代換。3 證明是整數(shù)這類題把遞

14、推數(shù)列與數(shù)論知識結(jié)合在一起，我們可以根據(jù)題目中的信息，構(gòu)建新數(shù)列，找到新的遞推關(guān)系式直接解決，或者再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合數(shù)論知識解決。28.設(shè)數(shù)列滿足， 求證： 。（中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2001年第8期第53頁，高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題）分析 直接令，轉(zhuǎn)化為證明 證明：構(gòu)建新數(shù)列，令則 ，代入 整理得 從而 于是 由已知，由上式可知，依次類推， ，即。29.設(shè)r為正整數(shù)，定義數(shù)列如下： ， 求證：。（1992年中國臺北數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 把條件變形為比較與 前的系數(shù)及與 的足碼，考慮到另一項(xiàng)為，等式兩邊同乘以，容易想到構(gòu)新數(shù)列，使。證明：由已知得構(gòu)建新數(shù)列，則， 又 | | ，從而 。， 4 解決整除問題一般通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，再結(jié)合數(shù)論知識解決，也可用數(shù)學(xué)歸納法直接證明。30.設(shè)數(shù)列滿足，對一切，有，求所有被11整除的的一切n值。（1990年巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 變形遞推關(guān)系式為，就容易想到怎樣構(gòu)建新數(shù)列了。解：由已知構(gòu)建新數(shù)列 則， 從而，當(dāng)時，由于被11整除，因而也被11整除。所以，所求n值為，8，及的一切自然數(shù)。5 證明是完全平方數(shù)這類題初看似乎難以入手，但如能通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，問題也就迎刃而解了。31.設(shè)數(shù)列和滿足，且 求證：是完全平方數(shù)。（2