平穩(wěn)時間序列的ARMA模型

1、第五講（續(xù)）平穩(wěn)時間序列的ARMA模型1平穩(wěn)性有一類描述時間序列的重要隨機模型受到了人們的廣泛 關注，這就是所謂的平穩(wěn)模型。這類模型假設隨機過程在 個不變的均值附近保持平衡。其統(tǒng)計規(guī)律不會隨著時間的推 移發(fā)生變化。平穩(wěn)的定義分為 嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。定義1 （嚴平穩(wěn)）設Xt，t T是一個隨機過程，Xt是在不同的時刻t的隨機變量，在不同的時刻t是不同的隨機變量，任取n個值ti,K ,tn和任意的實數(shù)h，則Xi,K,x.分布函數(shù)滿足關系式Fn （Xi丄，X n；ti丄 tn）F.（捲丄，X 門冶 h,L t. h）則稱Xt，t T為嚴平穩(wěn)過程。在實際中，這幾乎是不可能的。由此考慮到是否可以把 條件放寬

2、，僅僅要求其數(shù)字特征 （數(shù)學期望和協(xié)方差）相等。定義2 （寬平穩(wěn)）階矩）若隨機變量Xt，t T的均值（一階矩）和協(xié)方差（二存在，且滿足:(1 )任取t T,E(xt) c ；(2)任取t T ,T，有E(X(t) a)(X(ta) R()協(xié)方差是時間間隔的函數(shù)。則稱xt,t T 為寬平穩(wěn)過程， 其中R()為協(xié)方差函數(shù)。2各種隨機時間序列的表現(xiàn)形式白噪聲過程（white noise，如圖1）。屬于平穩(wěn)過程。y =ut,ut IID(0,2)3圖1白噪聲序列（2=1）隨機游走過程 （random walk，如圖11）。屬于非平穩(wěn)過程。yt = yt-1 + ut,ut iiD（o,2）圖2隨機游走

3、序列（2=1）圖3日元兌美元差分序列圖4深圳股票綜合指數(shù)圖5隨機趨勢非平穩(wěn)序列（=0.1）圖6隨機趨勢非平穩(wěn)序列（=-0.1）圖7對數(shù)的中國國民收入序列中國人口序列3延遲算子延遲算子類似于一個時間指針，當前序列值乘以一個延 遲算子，就相當于把當前序列值的時間向過去撥了一個時刻，記B為延遲算子，有Xt p bp Xt， p 1。特別(1- B)是差分算子。4. ARMA(P,q)模型及其平穩(wěn)性和可逆性4.1模型類型及其表示在平穩(wěn)時間序列的分析中，應用最廣泛的是有限參數(shù)模型。P階自回歸模型：用自己的過去和現(xiàn)在的隨機干擾表Xt。Xt iXt 1 2Xt2 LpXt p atat是白噪聲。q階移動平均

4、模型：用現(xiàn)在和過去的隨機干擾表Xt。XtatIat 12at 2 L qd qXt。P階自回歸和q階移動平均模型：自己的過去及過去和 現(xiàn)在的隨機干擾表Xt 1Xt 12Xt 2 LpXt patIat 12at 2 Lqat q其中at是白噪聲序列。4.2平穩(wěn)性Xt 1Xt 12Xt 2 LpXt pat是平穩(wěn)時間序列的反映嗎？如果它是平穩(wěn)時間序列的模型，回歸系數(shù)應該滿足何種條件呢?例設Xt是一階自回歸模型，即XtiXt 1at或(B)Xt at，其中(B) 11B則 X*(11a* （利用等比級數(shù)的通項和公式） iB）ijBjat丿at j如果I 11 1,Xt1ja j , a* j的系數(shù)

5、隨著j的增加而j 0趨于無窮大，這顯然違背了遠小近大”的原則，由此可見，平穩(wěn)的充分必要條件是 .11，I 1| 1的充分必要條件方程1 憶0的根在單位圓外。設Xt是一個p階自回歸模型Xt 1Xt 12Xt23Xt 3p X t pat或（B）Xt at其中： （B）1iB2B23B3 L pBP。沿平穩(wěn)的充分必要條件旦112 23 3 L0的根在單位圓外;0的根在單位圓內(nèi)1。PP 1P 2P 3 L123LP4.3可逆性我們可以考慮到一個時間序列Xt是否可以用它的現(xiàn)在值和過去值來表示現(xiàn)在時刻的隨機干擾at呢？即這種表達式稱為 逆轉(zhuǎn)形式”如果一個時間序列具有逆轉(zhuǎn)形式，也就是說逆轉(zhuǎn)形式存在且平穩(wěn)，

6、通常稱該過程Xt具有可逆性。例設Xt是一階滑動平均模型，即Xta id 1 或Xt(B)at，其中(B) 1 iB則a 1Xt (利用等比級數(shù)的通項和公式) (1 iB) tijBjXtj 0XtXt于1=ijXt jj 0對于一階滑動平均模型 Xt a 1at 1，無論1取何值，1是一個名副其實的平穩(wěn)序列，但是對于at啟O如果I1| 1，XtijXt jatj 11的 逆轉(zhuǎn)形式”是否存在，則取決于11|是否小遠小Xt j的系數(shù)隨著j的增加而趨于無窮大，這顯然違背了近大”的原則，由此可見，XtatGi的逆轉(zhuǎn)形式存在的充分必要條件為I 1 | 1iI 1的充分必要條件方程11z 0的根在單位圓外

7、。Xtatiat 12at 2要條件為，方程(Z)圓外。q 1 q1 2lZq at22Zq(B)at可逆的充分必LqZq 0的根在單位0的根在單位圓內(nèi)2。2證明參看附錄2。由于自回歸模型Xt iXti 2Xt 2 3Xt 3 LpXt p at 稍微變形，就是用系統(tǒng)的現(xiàn)在和過去值表示隨機干擾項，所以自回歸模 型自然可逆。4.4 ARMA設時間序列（P，q）的平穩(wěn)性和可逆性Xt 是 ARMA （ p,q）模型Xt iXti2Xt 2 LpXt patiat 12at 2 Lqat q則模型記為(B)(B)1 iB1 iB(B)Xt2B2L pBp2B2 LqBq(B)at如果1. p(B)無公

8、共因子;2. (B)和3. (z)0和(z)0的根在單位圓外。則Xt是自回歸移動平均模型，平穩(wěn)且可逆。它有傳遞形式Xt十器，由此可以認為，任何一個自回歸滑動平均模型都可以用一個足夠高階的滑動平均模型逼近。逆轉(zhuǎn)形式at魯Xt，可見任何一個自回歸滑動平均模型都可以用個足夠高階的自回歸模型逼近。5平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計特征5.1總體的自相關函數(shù)和樣本的自相關函數(shù)/（看參考教、AR（p）模型的自相關函數(shù)AR（P）模型，自相關函數(shù)快速收斂于零，但不等于零，拖尾”又因為ARMA （P，q）模型 （B）xt（B） t的可逆性，即t，所以任何一個 ARMA （ P，q）模型都可以表t（Br示為一個足夠高階的 AR

9、（P）模型，所以ARMA （P，q）模型與AR（ P）模型有相同的統(tǒng)計特性。下面從可以從圖18 到圖25觀察時間序列圖與其自相關函數(shù)圖的特點。3圖9白噪聲序列的自相關函數(shù)Dare 03/1S/OJ nl*nuli_ic*ccl dtiGDrvqlian-c: 2QDAulbC0rr«lA14unPQAiuil CcrroMionACPACQ-S141 Prib35 J 111 .Ml2 ECI92q 090丄100-1 1C4 1J3 no口 DsnE.EEB1 031-.IBe.ESBS0.079D.Dtttfe 1387mz0 D4AG. lAfifi 050-D D#e.sss

10、e 015 .37mens 弓 09 DTCinen4- 022-.ezia-Z35-.U13U.U1SlUJbMJ OK0 D6711 036-12-D D3311 126 呂-.211 1Z3L3 05 33511 130 084-D.0S612Je37- 092-.B414 IBS-0 0680.0631A973q nas- 033IS- nsz?-.ai1； 122 27 DIBI7 292心040o.oeizjse- 1子£ .17524S39 013D33?4S79. nciN-n DFHJGEBJ 046- 匚477 25=3u.uuuU-UI7丄Us44s4zu-20

11、r4e243727Bb nT-5?3J5H&7p&WG&633 J i cianQcin audaaoaQ aajoac 口 a1 ? 3圖10白噪聲序列的自相關函數(shù)圖圖 11人工模擬序列 Xt=0.65Xt-i+0.36Xt-2+at 圖Kit If* It-cm| q*al*!k Ob七*4軌 itfthA# HAIG1蘭* 3 kJ 口沖 *旦七_n a-4 Hi丄丄IT s F 弩畳| Sdwp蘭| 無嚴 |壬員蘭電主| Jt丄七上壬牡匹土| 土 i 0 土L P * I 一 -i II 一 LQOOOOOOQOQOnooocQUQOnooocQUQOnoooc

12、QU cuODCDO匸匚cuODODOC Lc UODODDULJC UODODDULJ QOOOOOOQOQOOOOOOQUQOOOOOOQUQOOOOOOQU odoaoooooocioaoooooocioaoooooocioaooooo7e3e62&34 15e299&e&333&oeeD34&3?s44 4 K37el0Q-fl293419oo*o937Te900!fll906o 曰 EON卻 4 日臼330*舊 4q4 川 七日方 4011l1l1lm1l3s3Jes56&&&s&e&&6&

13、;&e 011111111111111111111111111111111111G e lezfla 31 z 04 e3e2e134 gel 20477 1 F-B16SG>-6lcJ1&lci-3170lsoi-l113-1F-J3l eloooooQUQ 0000010 UQ0O011OQUQ0O0O0OQU B774e7USE405e9ez72a216&5s1s73e0246 10D»»0D0DI1l11nMDMWM0D0T1w»D- - > - k r - - B-kr- 12346s7s3D123fl5e7s3 01

14、2346e7s3o123 JS&111111111122222222223333333h-圖12人工模擬序列Xt=0.65Xt-i+0.36Xt-2+at 的自相關函數(shù)圖ZatXt 1Xt圖13模擬隨機游走序列Tf.lLR Itl*lp<k1-> J(Olu 3/IS/DN T初門Q. nm.3 13*ei?Il n 300Il I r - ri I II K n 4 r-i-b I-Ujv1 I n higEP-*h匚 OSlcl P -ubAiCg臣矍"盤獸胡箋孟琵箋亞器醫(yī)盤匹 C!DCO 口n_l-u口 0口門口 畑口 OQQQ-0_ 二口口0 心 uaon

15、 M-nn-DQDUn口ouddEcicI dndmdo口一1 mw. I 4 30,53 5e<5.M Z2B.EZir>F.4nz-Q3yflayQ 3asaQ 3lrl4 3sss1l.izee丄I&缶271&PSO7 jaBSZ 啟日曰號 aO7Q 3152 3231 =pOD 33&4 3dG7口 口 gsla 曰 Jfi talE Jexoa13Be- UQ5Hfl3ld13ua5H1&au&436DDS- QI 口 口 UOOUDQOnauQ 口口 口 口 OOIQOQ 口o一 H- U on n n- H 口口 unDU_uu

16、onn-nnn-nn-UDU-齊話琵胃雷韶盂；！奮劈器君茁兗蜃 y y Em ynH0az/7z/ faeeEEe EeececsGL uonnnouoounDUOUDUDOn onOOOQOD-圖14模擬隨機游走序列XtXt 1 at的自相關關函數(shù)圖趨勢圖，圖2-8是Xtat 0.8at 1自相關函數(shù)圖二、MA (q)的自相關函數(shù) 結論：MA(q)模型的自相關函數(shù) q階截尾，即在q+1及以后為零。圖2-7是模擬一階移動平均模型 X a 0.8at 110 Ilb-4X-2 -20406080100 120 140 160 180 200圖15Xtat0.8at 1趨勢圖lUt |C*.I L

17、-RIIHT J T-LlfJ> 1l_b F.i 1« £H.i + Qhj K 上 .w froqIb O 口*ion.n-ri>w耳 41mViIl f r 00 » 19 山 S * =； i F礦心罔主 I H= J Pr»* = W ).呂II. O-Mir L 曰匕 主 ll g % *電I 工T5.t. 1乂Data. 口 3Za3A：-fl n i-na IZTS: 口 *1Autoo-ra-lat Johi!= Ahlbd! Cizit-ra 1 atJ0*-iACRAOQ-Sl at匕2 200(ndl ijdn-d 口

18、b wwrvwiRonc- 1 S3o oieQ.Q2Ceieo5 1.31-1 51.335 eP.&4& 52.DOG 54 .&59 er.sre 60. sms4-Nwm 弓呂，nFin ea.i IS CC.2CI& es-SQi e&.734 ee.7e3 e&-曰8 RE. RIR ez-iaa ee.aeG Ti ."m7 K377 7£i.24S SS.3ZZ RE.aes e5.3Z3 ee./i2&uG.t斗 7 as.2ei S3-O4S圖16Xtat0.8at 1自相關函數(shù)圖由此，我們已經(jīng)有了

19、識別 MA（q）模型的工具，自相關 函數(shù)q階截尾。但是對于 AR （P）和 ARMA （ p, q）模型， 則無法區(qū)別了。2.4.2偏自相關函數(shù)kk由AR（ P）模型本身看，只涉及到n步相關性，但序列的自相關函數(shù)k確是拖尾的。AR（ P）模型的偏自相關函數(shù)P階截尾。kk 0,k p。注：偏自相關函數(shù)的概率意義是在給定Xt 1,L , Xt k 的條件F, Xt和Xt k的相關系數(shù)。ARMA(p,q)模型自相關和偏自相關均拖尾，但是快速收斂到零。模型AR( p)MA （ q）ARMA （ P，q）自相關函數(shù)拖尾截尾拖尾偏自相關函數(shù)截尾拖尾拖尾自相關和偏自相關特征表表1對一個實際時間序列，我們能掌

20、握的是一段樣本數(shù)據(jù)， 所 以首先要利用樣本數(shù)據(jù)估計模型的自相關函數(shù)和偏自相關函 數(shù)?！纠坷?997年1月一2002年12月到北京海外旅游人數(shù)資料繪制自相關和偏自相關圖，在這里去掉了 2003年的 數(shù)據(jù)是由于非典的流行使 2003年到北京旅游的人數(shù)銳減，出現(xiàn)奇異值，不具有一般性。如圖17所示。OOSRAMO euraF 65432丁 66Case Number圖171997年1月一2002年12月到北京海外旅游人數(shù)曲線圖Autocorrelatio ns: SARS10Auto- Sta nd.LagCorr.Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1 Box-

21、Lju ngP rob.587 .115* *25.892 .000.358 .115* *35.657 .000.166 .114*37.775 .000.074 .113*38.205 .000.068 .112*38.573 .000.183 .111*41.281 .000.034 .110*41.377 .000.011 .110*41.387 .000.095 .109*42.154 .000.253 .108* *47.641 .00012345678911.427.107* *63.578 .00012.660.106* *102.277 .00013.386.105* *11

22、5.737 .00014.179.104*118.679 .00015.038.103118.814 .00016 -.022.103118.860 .000自相關函數(shù)均顯著為零，直到滯后期為周期的長度12時，自Autocorrelatio ns: SARSPlot Symbols:Autocorrelati ons * Two Sta ndard Error Limits .圖18 97年1月到02年12月到北京海外旅游人數(shù)自相關圖圖18顯示滯后一期和滯后兩期的自相關函數(shù)分別為0.5874和0.35818，超過了兩倍標準差，顯著不為零，以后的相關函數(shù)出現(xiàn)了峰值， 為0.66015,這是季節(jié)性

23、時間序列的分典型的特征，該序列從自相關函數(shù)看長期趨勢并不十分顯著。而且可能建立 MA模型會產(chǎn)生過多的參數(shù)，于是可能適應的AR模型。根據(jù)偏相關系數(shù)，如圖19所示Partial Autocorrelatio ns: SARSPr -Aut- Sta nd.* *Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 11 .587 .1182 .020 .1184 .003 .118*5 .064 .1186 .197 .1187 -.255 .118*8 .036 .1189 .223 .118*10 .248 .118*11 .239 .118*12 .391

24、 .118* *13 -.305 .118* *14 -.165 .118*15 -.044 .118 16 -.029 .118Plot Symbols:Autocorrelati ons * Two Sta ndard Error Limits .圖19 97年1月到02年12月到北京海外旅游人數(shù)偏自相關圖偏自相關函數(shù)圖19顯示滯后期為1, 7, 12和13的偏自 相關函數(shù)分別為 0.5874、-0.2555、0.39145 和-0.30474，顯著 不為零，該時間序列的偏自相關函數(shù)顯示該時間序列可能適應的模型(11B)(112B12)Xtat 和(11B7B712B1213B13)Xta

25、t oat O我們模擬模型為(11B)(112B12)Xt模型(11B)(112B12)Xtat的參數(shù)估計表12參數(shù)估計標準差t值P值0.4959420.09480105.2314030.00000.7672140.076675610.0059730.000022.7398662.186436110.4004260.0000參數(shù)Log likelihood -189.48646384.97291 SBC391.80291Stan dard error3.1740588AIC表2顯示，該模型為Xt 22.739866at(1 0.495942B)(1 0.767214B12)進一步對模型的適應性

26、進行檢驗，回歸系數(shù)均顯著外，殘差的自相關函數(shù)均落在兩倍標準差內(nèi)，可以認為殘差序列是白噪聲序列，如圖 20所示。Auto- Sta nd.Lag Corr.Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1Box-Lju ng Prob.1-.048.115*.175.6762.039.115*.292.8643.040.114*.416.9374.056.113*.664.9565-.007.112*.668 .9856.112.111*1.681.9477.028.110*1.747.9728-.045.110*1.917.9839.117.109*3.083.9611

27、0 .031 .108*3.167 .97711 -.037 .107*3.286 .98612 -.047 .106*3.485 .99113 .130 .105*5.011 .97514 .025 .104*5.070 .98515 .017 .103*5.096 .99116 .067 .103*5.517 .993圖20 最終模型殘差的自相關函數(shù)圖最終模型殘差的白噪聲檢驗結果表明殘差序列可以視為白噪聲序列，模型是適應的。當模型通過了檢驗，我們可以用該模型進行結構分析和預測分析了。3時間序列建模的方法為了對時間序列建模有一個較全面的了解，下面從樣本 觀測數(shù)據(jù)出發(fā)，介紹建立時間序列模型的基

28、本步驟。Box-Jenkins方法是以序列的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)的統(tǒng)計特性為依據(jù)，找出序列可能適應的模型，然后對模型進行估計。通常可以考慮的模型ARMA、ARIMA 和乘積型 季節(jié)模型。（一）模型的識別對于一組長度為N的樣本觀測數(shù)據(jù)Xi,X2, ,Xn，首先要對數(shù)據(jù)進行預處理，預處理的目的是實現(xiàn)平穩(wěn)化，處理的手段 包括差分和季節(jié)差分等。經(jīng)過預處理的新序列能較好滿足平 穩(wěn)性條件。模型的識別包括差分階數(shù) d、季節(jié)差分階數(shù)D、模型階數(shù)、 q、k和m的識別。識別的工具是自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)。如果樣本的自相關函數(shù) ？(s)當s q時顯著為零，則序列適應 的模型是 MA q。如果樣本的偏自相關函數(shù)

29、？s當s P時顯著為零，則序列適應的模型是 AR P。若樣本的自相關函數(shù) 和偏自相關函數(shù)均拖尾，并且按負指數(shù)衰減，則序列是ARMA序列，這時應該從高階到低階擬合模型，從中選擇最 佳的。當自相關函數(shù)緩慢下降， 或是具有季節(jié)變化，那么觀測的 序列是具有趨勢變動或季節(jié)變動的非平穩(wěn)序列，則需要做差 分或季節(jié)差分，如果差分后的序列的樣本的自相關函數(shù)和偏 自相關函數(shù)既不截尾又不拖尾， 而在周期s的整倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，則序列遵從乘積型季節(jié)模型，否則遵從ARIMA模型。（二）模型的估計當模型的階數(shù)確定之后，利用有效的擬合方法。如最小乘估計，極大似然估計等方法，估計模型各部分的參數(shù)。（三）診斷性檢驗模型選擇檢驗所

30、選擇的模型是否能較好地擬合數(shù)據(jù)。它包括模型過 擬合和欠擬合檢驗。通過檢驗的結果，修改模型。時間序列 建模應該基于簡約的原則，即用盡可能少的模型參數(shù)，對模型做出盡可能精確估計。所以在選擇模型時應該反復試探， 這是一個識別，建模，再識別，再建模的過程。附錄1AR模型平穩(wěn)的充分必要條件。由于（B）Xt at有 Xt -at t（Br設（B）0有丄,丄丄，丄p個根，則 （B）可表示為12P(B) c(1 iB)(12B)L (1 pB) , c 為常數(shù)，不妨假設、， 1 1Xt at =a(B)(11B)(12B)L (1 pB)用待定系數(shù)法，有Xtat = P一a (其中Ak是有限實數(shù)) (B) t

31、 k1(1 kBr再用等比級數(shù)通項和公式，有atX,丄(B)J kpA k是把Xt表示為白噪聲的加權和的系數(shù)， 根據(jù)前面k 1的結論，如果Xta平穩(wěn)，其充分必要條件為權系數(shù)絕(B)k的模小于對收斂，權系數(shù)絕對收斂的充分必要條件為所有1，即在單位圓夕、。1 1 11，所以其根一,丄，一的模大于12P1 1 1-,L，的模大于1,貝y 1, 2丄，卩的模小于1。12P可見自回歸模型的自回歸多項式如果有在單位圓上的根，則可以稱為時間序列是非平穩(wěn)的，或存在趨勢。附錄2MA模型可逆的充分必要條件設時間序列Xt是m階滑動平均模型，有Xtatiat 12at其中-/、(B)1 iB2 L2B2qat q(B

32、)atLqBqXt可逆的充分必要條件是:特征方程（Z）1iZ2Z2LqZ0的根在單位圓外。證：假設 （Z）12iZ 2ZqZq 0有m個根111,L，-，則1B2B2 LqBq(1VqB)12(1 V1B)(1 V2B)L故at1(B) 1XtX(B) '(1 V1B)(1 V2B)L (1 VqB)用待定系數(shù)法，有上式為：1q ca -xtCxt (用等比級數(shù)通項和公式)(B)i1(1 ViB)mCivijBjXti 1 j 0q(CiVij)Xt jj 0 i 1q(Civij是加權和的權數(shù))i 1可見，Xt at 1at 1 2at 2 Lq充分必要條件為 (Civij)絕對收斂

33、，j 0 i 1qat q(B)at可逆的q(Civij)絕對收斂j 0 i 11 ,故特征方程的充分必要條件為諸|vj小于（Z）11Z2Z2 L qZq0的根在單位圓外附錄三 ARIMA模型在SPSS中的實現(xiàn)1、定義時間第1步ti 時t*l Si*ss DtP EdlttiLlhllLcE«5匪:p iirsITfcptiFETrsbt lf<rLn31«甲1t Sj 1v*f1噴1giJ.dxix4 f.kr.a2伯 4* t« tz031&: eft 匸乩0413 Trgfw.0百20Lt2Wv0GIBFiles»ar20 鬧*20e

34、"5pl: ElitagJ hIv E.I. uha .0IQ112，*SthL C«MUitr =, ,02IBS1DmF 411 a139 罰9.60'13 QO0Fn11 7011.70'MQO0i?活如血OCTl.Qa0哺19901990ie aa0171919317 DOa1017 0D17ffiIB DODig17M17.00'19 QO0JU2 J JU2130ju.oaU11214021.4'2100a22丄MSOZZQQ0732Q1D藥 101aI JiG*h51«£L4114 bBt4f EJbL .-

35、I M nri2、定義時間第2步一 SPSS Dal a Edlitar*食I麗二LJ丄也魚I魚I fllll UMjJ專Q. 4a衛(wèi)io4?衛(wèi)i?5日炸 JI 克詞11 3316 3319旳7(1 31WSJ20 9021.7019.43iHbJ9肋II 7316 33iqqH麗rslDefine DatcjdullYeas qufftai.molhj -Da0WftBka.止¥5We趙 w(J(kd;(5lWeeks-, wmk daypSl Holfs：Doyu” homiD旳s. mnik hg問 WsBkT d. TOUTSWc work day:” hour *Curre

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