平面圖形的鑲嵌

1、綜合與實踐綜合與實踐 平面圖形的鑲嵌平面圖形的鑲嵌1.1.經(jīng)歷平面圖形鑲嵌的探索過程，進一步發(fā)展探經(jīng)歷平面圖形鑲嵌的探索過程，進一步發(fā)展探究意識、積累探究經(jīng)驗究意識、積累探究經(jīng)驗. .2.2.認識多邊形鑲嵌平面的條件，并能運用其中的認識多邊形鑲嵌平面的條件，并能運用其中的一種或幾種圖形進行平面圖形鑲嵌；了解構(gòu)造基一種或幾種圖形進行平面圖形鑲嵌；了解構(gòu)造基本鑲嵌圖案的一些方法。本鑲嵌圖案的一些方法。3.3.經(jīng)歷小組合作和交流過程，進一步積累合作與經(jīng)歷小組合作和交流過程，進一步積累合作與交流的活動經(jīng)驗，增強合作意識交流的活動經(jīng)驗，增強合作意識. .4.4.通過圖案設(shè)計活動，發(fā)展空間觀念、以及綜合通

2、過圖案設(shè)計活動，發(fā)展空間觀念、以及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。一、認識平面圖形的鑲嵌一、認識平面圖形的鑲嵌我們經(jīng)常能見到各種建筑物的地板，觀察地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案. 觀察在線觀察在線美麗的鑲嵌圖案美麗的鑲嵌圖案欣賞時空欣賞時空美麗的鑲嵌圖案欣賞時空欣賞時空 用用形狀、大小完全相同形狀、大小完全相同的的一種或幾種一種或幾種平面平面圖形進行拼接，彼此之間圖形進行拼接，彼此之間不留空隙不留空隙、不重疊不重疊地地鋪成一片，這就是鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌平面圖形的鑲嵌。平面圖形的鑲嵌平面圖形的鑲嵌觀察小結(jié)觀察小結(jié)二、探索正多邊形的鑲

3、嵌二、探索正多邊形的鑲嵌 探索活動探索活動 在平面內(nèi)，各角相等，各邊也都相等的多邊在平面內(nèi)，各角相等，各邊也都相等的多邊形叫做形叫做正多邊形正多邊形。 邊數(shù)為邊數(shù)為n n的多邊形的內(nèi)角和等于的多邊形的內(nèi)角和等于（n-2)n-2)180180知識介紹：知識介紹：問問 題：題： 用大小相同的用大小相同的正三角形、正六邊形正三角形、正六邊形能否鑲能否鑲嵌平面？簡述你的理由。能否用嵌平面？簡述你的理由。能否用正五邊形正五邊形鑲嵌鑲嵌平面？平面？正三角形的鑲嵌正三角形的鑲嵌正六邊形的鑲嵌正六邊形的鑲嵌思考思考 探究探究 除正三角形、正四邊形、除正三角形、正四邊形、正六邊形能鑲嵌平面外，還能正六邊形能鑲嵌

4、平面外，還能找到其他能鑲嵌平面的正多邊找到其他能鑲嵌平面的正多邊形嗎？形嗎？合作議論歸納合作議論歸納2.2.用大小相同的用大小相同的正三角形、正四邊形、正三角形、正四邊形、正六邊形正六邊形都可以鑲嵌平都可以鑲嵌平面，其他正多邊形都不面，其他正多邊形都不可以鑲嵌平面。可以鑲嵌平面。1.1.同一種正多邊形同一種正多邊形是否可以鑲嵌平面的關(guān)是否可以鑲嵌平面的關(guān)鍵是：鍵是：一種正多邊形的一種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否一個內(nèi)角的倍數(shù)是否360360。 對于正對于正n邊邊形，其內(nèi)角形，其內(nèi)角都都為為 ， 在每個拼結(jié)點處，設(shè)可以將在每個拼結(jié)點處，設(shè)可以將m個內(nèi)角彼個內(nèi)角彼此無重疊、無縫隙地拼結(jié)在一起，則此

5、無重疊、無縫隙地拼結(jié)在一起，則 m =360 ,m(n-2) =2n, mn-2m+4-2n=4 m(n 2)-2(n-2)=4 , (m-2)(n-2)=4, m ，n是正整數(shù)是正整數(shù) ，因此，因此m-2， n-2都是的因子，都是的因子， m，n的取值僅有三種可能：的取值僅有三種可能： m=6，n=3； m=4，n=4 ； m=3，n=6。(n-2)180n(n-2)180n合作議論歸納合作議論歸納2.2.用大小相同的用大小相同的正三角形、正四邊形、正六邊形正三角形、正四邊形、正六邊形都可以鑲嵌都可以鑲嵌平面，其他正多邊形都不可以鑲嵌平面。平面，其他正多邊形都不可以鑲嵌平面。1.1.同一種正

6、多邊形同一種正多邊形是否可以鑲嵌平面的關(guān)鍵是：是否可以鑲嵌平面的關(guān)鍵是：一種正多邊形一種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否360360。 (n-2)180n三、探索用兩種正多邊形鑲嵌平三、探索用兩種正多邊形鑲嵌平面的條件面的條件.正方形的每個內(nèi)角是正方形的每個內(nèi)角是9090，正三角形的每個內(nèi)，正三角形的每個內(nèi)角是角是6060，對于某個拼結(jié)點處，設(shè)有，對于某個拼結(jié)點處，設(shè)有x x個個6060角，角，有有y y個個9090角，則：角，則：6060 x x+90+90y y=360=360即：即：2 2x x+3+3y y=12=12又又x x、y y是正整數(shù)是正整數(shù)解得：解得：x x

7、=3,=3,y y=2=2即：每個頂點處用正三角形的三個內(nèi)角，正方即：每個頂點處用正三角形的三個內(nèi)角，正方形的兩個內(nèi)角進行拼接形的兩個內(nèi)角進行拼接.(.(如上圖如上圖) )(1)正三角形與正方形正三角形與正方形正三角形的每個內(nèi)角是正三角形的每個內(nèi)角是6060，正六邊形的，正六邊形的每個內(nèi)角是每個內(nèi)角是120120，對于某個拼結(jié)點處，設(shè)，對于某個拼結(jié)點處，設(shè)有有x x個個6060角，有角，有y y個個120120角，即：角，即：60 x+120y=36060 x+120y=360即即x+2y=6x+2y=6x x、y y是正整數(shù)是正整數(shù)解得：解得：2214yxyx或即：每個頂點處用四個正三角形和

8、一個正六邊形，即：每個頂點處用四個正三角形和一個正六邊形，或者用二個正三角形和兩個正六邊形，如上圖或者用二個正三角形和兩個正六邊形，如上圖. .(2)正三角形與正六邊形正三角形與正六邊形結(jié)論：結(jié)論：由由n n種正多邊形組合起來鑲嵌成一個平面的條件：種正多邊形組合起來鑲嵌成一個平面的條件：(1)n(1)n個正多邊形中一個內(nèi)角的和的倍數(shù)是個正多邊形中一個內(nèi)角的和的倍數(shù)是360360(2)n(2)n個正多邊形的邊長相等，或其中一個或個正多邊形的邊長相等，或其中一個或n n個個正多邊形的邊長是另一個或正多邊形的邊長是另一個或n n個正多邊形的邊長的個正多邊形的邊長的整數(shù)倍整數(shù)倍. .(3)正三角形和正

9、十二邊形正三角形和正十二邊形與前一樣討論，得每個頂點處用與前一樣討論，得每個頂點處用一個正三角形和一個正三角形和兩個正十二邊形兩個正十二邊形由以上討論可找到鑲嵌平面的條件由以上討論可找到鑲嵌平面的條件.四、探索任意三角形、四邊形的鑲嵌四、探索任意三角形、四邊形的鑲嵌 用用形狀、大小完全相同的三角形形狀、大小完全相同的三角形能否鑲嵌平面？能否鑲嵌平面？如果能，觀察每個拼接點處有幾個角，它們與這如果能，觀察每個拼接點處有幾個角，它們與這種三角形的三個內(nèi)角有什么關(guān)系。如果不能，說明種三角形的三個內(nèi)角有什么關(guān)系。如果不能，說明為什么。為什么。 用同一種四邊形能否鑲嵌平面呢？用同一種四邊形能否鑲嵌平面呢

10、？ ？ ？問題問題實踐之窗實踐之窗實踐之窗實踐之窗任意三角形的鑲嵌任意三角形的鑲嵌任意四邊形的鑲嵌任意四邊形的鑲嵌實踐小結(jié)實踐小結(jié)用同一種三角形可以鑲嵌平面用同一種三角形可以鑲嵌平面用同一種四邊形可以鑲嵌平面用同一種四邊形可以鑲嵌平面平面圖形能鑲嵌平面的條件是，每個拼接點處平面圖形能鑲嵌平面的條件是，每個拼接點處的多邊形各的多邊形各內(nèi)角之和能組合成內(nèi)角之和能組合成 180 180或或360360五、利用可以鑲嵌的基本圖形來設(shè)計新的五、利用可以鑲嵌的基本圖形來設(shè)計新的鑲嵌圖形鑲嵌圖形怎樣利用怎樣利用可以密鋪的基本圖形可以密鋪的基本圖形來來設(shè)計設(shè)計新的可以密鋪的新的可以密鋪的圖形？圖形？思考時空思

11、考時空在原圖上截在原圖上截下一部分把下一部分把它平移到相它平移到相對位置，組對位置，組成一個新的成一個新的圖形，則新圖形，則新的圖形可以的圖形可以進行密鋪進行密鋪畫一個正方畫一個正方形；形；取正方形一邊取正方形一邊的中點，的中點， 畫出部分畫出部分1 1， 并將其剪下并將其剪下 補補在在2 2的位置上；的位置上；同樣，畫出部同樣，畫出部分分3 3， 并將并將其剪下補在其剪下補在 2 2 的位置上；的位置上；經(jīng)過上述步驟經(jīng)過上述步驟后，得到一個后，得到一個新的圖案。新的圖案。1.1.全等的圖形之間無縫隙、不重疊全等的圖形之間無縫隙、不重疊4.4.圖案設(shè)計要有自己的圖案設(shè)計要有自己的創(chuàng)意創(chuàng)意設(shè)計密

12、鋪圖案的方法與要求設(shè)計密鋪圖案的方法與要求:2.2.選取一個選取一個可以密鋪的圖案可以密鋪的圖案( (三角形三角形, ,四邊四邊形形, ,六邊形等六邊形等).).在原圖上在原圖上截下截下一部分把它一部分把它平平移移到相對位置，組成到相對位置，組成一個新的圖形一個新的圖形，以新，以新的圖形為的圖形為基本圖案基本圖案可以進行密鋪可以進行密鋪3.3.應(yīng)該是應(yīng)該是”鋪鋪”出來的而不是出來的而不是”畫畫”出來的出來的欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空 如何以下圖中的（如何以下圖中

13、的（1 1）、（）、（2 2）為拼圖的）為拼圖的“基本單基本單位位”，拼出圖（，拼出圖（3 3）、（）、（4 4）、（）、（5 5）、（）、（6 6）？如果允）？如果允許圖形作軸對稱變換，那么還可以拼出怎樣的圖案？許圖形作軸對稱變換，那么還可以拼出怎樣的圖案？交流交流樂園樂園（1）（3）（2）（5）（4）（6）（10 ）（8）（9）（7）收獲與評價收獲與評價 本節(jié)課你有什么收獲和感受？本節(jié)課你有什么收獲和感受？ 本節(jié)課你有什么疑惑和問題？本節(jié)課你有什么疑惑和問題？ 你能給自己和同伴在本節(jié)課的學(xué)習(xí)你能給自己和同伴在本節(jié)課的學(xué)習(xí) 作個評價嗎？作個評價嗎？ 課堂小結(jié)課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標學(xué)習(xí)目標鑲嵌的含義鑲嵌的含義鑲嵌的條件鑲嵌的條件鑲嵌的應(yīng)用鑲嵌的應(yīng)用(觀察觀察 感悟感