概率論(試題、答案)

1、第 1 頁(yè) 共 29 頁(yè) 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 課 程 考 試 試 卷一、填空題（本題共 10 空格，每空格 3 分，共 30 分）1事件, ,A B C都發(fā)生表示為_.2設(shè)( )0.4,( )0.3P AP B，,A B獨(dú)立，則() _P AB.3設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)0,10.4,11( )0.8,131,3xxF xxx ，則1.5_P X ，X的概率分布為_.4扔兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)兩枚骰子恰好相同的概率是_. 5拋一枚硬幣三次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)，寫出其樣本空間_.6設(shè)隨機(jī)變量X服從0,1上的均勻分布，則(21)_,EX (21)_DX .7 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布00

2、.2, 1, 20.5P XP Xa P X，則_a .8已知燈泡壽命服從正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差=50 小時(shí)，抽出 25 個(gè)燈泡檢驗(yàn)，得平均壽命X=500 小時(shí)，試寫出燈泡平均壽命的90%的置信區(qū)間_.二、求解下列概率問(wèn)題（本題共 2 小題，共 20 分）1、 （本題 10 分）一袋中裝有8個(gè)球，其中3個(gè)紅球，5個(gè)黑球，隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀察顏色后放回袋中，并且再加進(jìn)2個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球，然后再?gòu)拇腥〕鲆磺?（1）在已知第一次取出的是黑球的條件下，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）兩次取出的均是黑球的概率；（3）第二次取到的是黑球的概率。2、 （本題 10 分）由于歷史記錄，某地區(qū)

3、年總降雨量2(600,150 )XN（單位：mm） ，求（1）明年年降雨量在450750mmmm之間的概率為多少？（2）明年年降雨量小于何值的概率為 0.2？三、計(jì)算下列各題（本題共 2 小題，共分 25 分）1、 （本題 10 分）設(shè)X的概率分布為：X-101()iP Xx0.30.20.5試求：（1）121YX（2）22YX的概率分布2、 （本題 15 分）設(shè),X Y的聯(lián)合概率分布為： Y X 123第 2 頁(yè) 共 29 頁(yè)01121801143816試求（1）,X Y的邊緣概率分布（2）,(, )EX EY COV X Y（3）,X Y是否獨(dú)立？是否相關(guān)？四、求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題（本題共

4、 3 小題，共 25 分）1、 （本題 10 分）設(shè)總體X具有概率分布X012kp22 (1)2(1)01為未知參數(shù)。已知取得了樣本值123451,2,1,2,0 xxxxx，求的矩估計(jì)。2、 （本題 10 分）設(shè)總體X具有概率密度1,(01)( )0,xxf x其它，0為未知參數(shù)，12( ,)nx xx為其一組樣本值.求的最大似然估計(jì).3、 （本題 5 分）已知某一試驗(yàn)，其溫度服從正態(tài)分布 N（，2） ，現(xiàn)在測(cè)量了9個(gè)溫度，其均值為1259，標(biāo)準(zhǔn)差為12，試檢驗(yàn)下列假設(shè)(0.05)：01:1277:1277HH參考數(shù)據(jù)：0.050.050.0250.025(9)1.833,(8)1.860,

5、(9)2.262,(8)2.306.tttt 000(1)0.8413,(0.84)0.8000,(1.645)0.95一、填空題一、填空題： 1ABC 2.0.28 3. 0.8 4.16 5. 0,1,2,3 6. 12,3 7.0.3 8. 500 16.45二、求解下列概率問(wèn)題二、求解下列概率問(wèn)題 1.(1) 710 (2) 5778 1016 (3)573 51058 108 10168 2.(1)000600(450750)( 11)(1)( 1)2(1) 10.6826150XPXP X-113P0.40.40.2第 3 頁(yè) 共 29 頁(yè) (2)600600600()0.2()0

6、.20.84150150150474XaaP XaPa 三、求解下列各題三、求解下列各題 1.(1) 1Y-3-11 P0.30.20.5(2) 2Y01P0.20.82.(1)X01P5241924 (2) 1924EX 111111233266EY 13119117(, )()123486246144COV X YE XYEX EY (3)不獨(dú)立，相關(guān) 四、求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題四、求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題1.2201 2 (1)2 (1)22EX 12 120655x 從而有EXx,得25ME 2.111( )()ln ( )ln(1)lnnnniiiiLxLnx ln ( )0L 1lnML

7、Eniinx 3.0.0251259 12774.5(8)2.30612/9t 拒絕原假設(shè) 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 課 程 考 試 試 卷一、填空題一、填空題：（每空 3 分，共 30 分）Y123P131216第 4 頁(yè) 共 29 頁(yè)1一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷甲、乙、丙、丁、戊好不容易才弄到一張入場(chǎng)券，大家都想去，只好用抽簽的方法來(lái)解決.則甲抽到入場(chǎng)券的概率_.2設(shè)( )0.7P A ，()0.3P AB ，則() _P AB . 3. 已知離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為：X2101ip61313161則EX _，2EX_.4連續(xù)射擊三次，觀察射中目標(biāo)的次數(shù)，寫出其樣本空間_

8、.5設(shè)12, 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且(1,2,)ii服從參數(shù)為的泊松分布，1lim 0_niinnPn 則.6. 設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量 X 和 Y 的方差分別為 16 和 9，相關(guān)系數(shù),12X Y ，則它們的協(xié)方差為_， 隨機(jī)變量XY的方差是_.7.12,XX是來(lái)自總體2( ,)N 的樣本，當(dāng), a b滿足_時(shí)，12aXbX是的無(wú)偏估計(jì).8設(shè)X為正態(tài)總體，當(dāng)未知時(shí)， （220.025(1)(1)nsn，220.975(1)(1)nsn）是2的置信度為_的置信區(qū)間.二、求解下列概率問(wèn)題二、求解下列概率問(wèn)題（2 小題，共 25 分）1、 （本題 15 分）設(shè)一袋中有 8 個(gè)球，其中 3 只紅的，5

9、 只黑的.現(xiàn)從中取球兩次，不放回.（1）已知第一次取到的為紅球，第二次取到的為黑球的概率;（2）兩次均取到黑球的概率;（3）第二次取到黑球的概率.2、 （本題 10 分）設(shè)隨機(jī)變量(108,9)XN， （1）求(102117)PX,（2）求常數(shù)a，使()0.01P Xaa.三、求解下列各題三、求解下列各題（2 小題，共 25 分）1、 （本題 15 分）設(shè)（,X Y）的分布律為YX -2 -1 01 121 121 123 21 122 121 0第 5 頁(yè) 共 29 頁(yè)3 122 0 122試求（1）,X Y的邊緣分布,（2）ZXY的概率分布.2、 （本題 10 分）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布

10、函數(shù)為：00( )0111xF xAxxx求常數(shù)A及概率密度)(xf.四、求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題四、求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題（2 小題，共 20 分）1、 （本題 15 分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為,0( )0,xexf x其它，0為未知參數(shù)求（1）的矩估計(jì),（2）的最大似然估計(jì).2、 （本題 5 分）正常成年人的脈博 X（單位：次/分）平均為 72，今對(duì)某種疾病患者 10 人測(cè)得x=67.2，S2=6.342，假設(shè)人的脈博次數(shù) X 服從正態(tài)分布，試就顯著水平=0.05，檢驗(yàn)患者脈博是否比正常人脈博慢？參考數(shù)據(jù)：000.01(2)0.9773,(3)0.9987,2.33u0.050.050.025

11、0.025(9)1.833,(10)1.812,(9)2.262,(10)2.228.tttt一、填空題一、填空題： 115 2.0.6 3. 1 7,2 6 4. 0,1,2,3 5. 0.5 6.6,13 7.1ab 8. 95%二、求解下列概率問(wèn)題二、求解下列概率問(wèn)題 1.(1) 57 (2) 5 458 714 (3) 5 43 53558 78 7568 2.(1)0000600(102117)( 23)(3)( 2)150(3)(2) 10.976XPXP 第 6 頁(yè) 共 29 頁(yè)(2) 0()1()1(0)0 10810821081()0.01333210821081()0.01

12、2.3357.49533P XaaP XaaPXaXaPaaa 三、求解下列各題三、求解下列各題 1.(1)X-1123P512312412 Z-3-2-1-1.5-0.50.5123P112112312212112021202122.(1)1A (2)1,01( )0,xf x其它 四、求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題四、求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題1.1EX EXx ,從而1x 11( )ln ( )lnniinxniiLeLnx ln ( )0L 1MLEx 2.01:72:72HH0.0567.2722.39(9)1.8336.34/ 10t 拒絕原假設(shè) 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 課 程 考 試 試

13、 卷一、填空1、設(shè) 0.7,0.8P AP B，A 與 B 相互獨(dú)立，則P AB= 。2、設(shè) 000 xexf xx，則 P XE X 。Y-2-10P512212512第 7 頁(yè) 共 29 頁(yè)3、設(shè)X的分布律為X-101p0.3a0.2則a ， 4、設(shè)X的概率密度 1,010,xf x其它，則 分布函數(shù) F x 。5、一袋中裝有 8 個(gè)球，其中 3 個(gè)白球，5 個(gè)紅球，依次從中取出 2 個(gè)球（不放回） ，則兩次取到的均為白球的概率為 。6、設(shè) 0.4,0.5,0.25P AP BP AB，則P BA= 。7、設(shè) 2XE，則12XE 。8、設(shè)nXX ,1為取自總體X的樣本， 2,XN ，樣本均

14、值為X，則P Xn= 。9、設(shè)X的分布律為X012p0.2050.3則12 XY的分布列為 。10、設(shè)樣本均值和樣本方差為,16,1002sx樣本容量16n，寫出正態(tài)總體均值的置信水平為95. 0的置信區(qū)間 。二、求解下列概率問(wèn)題1設(shè)一批產(chǎn)品中，A、B、C 三工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品各占 50%、30%、20%，次品率分別為0.02、0.04、0.05，現(xiàn)從中任取一件產(chǎn)品，（1）求取得的產(chǎn)品是次品的概率；（2）若已知取得的產(chǎn)品是正品，求該產(chǎn)品是 A 工廠產(chǎn)品的概率。2設(shè)21,2,13 ,14XNPXP X 求三、求解下列各題1、某儀器裝了 3 個(gè)獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件,其壽命(單位:小時(shí))都服從同一指

15、數(shù)分布,密度函數(shù)為100010( )100000 xexf xx試求此儀器在最初使用的 500 小時(shí)內(nèi),至少有一個(gè)電子元件損壞的概率。2、設(shè)X的概率密度 1,010,xf x其它2YX，求Y的密度函數(shù)。第 8 頁(yè) 共 29 頁(yè)3設(shè)YX,的聯(lián)合概率分布為YX01200.20.10.310.10.10.2（1） 、求邊緣分布律；（2） 、判別X與Y是否相互獨(dú)立；（3） 求 YXCOVYEXE,。四、解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題1、設(shè)總體X的密度函數(shù)為101;0 xxf x其它其中0為未知參數(shù)，已知取得了樣本值12,nx xx，求（1） 、的矩估計(jì)， （2） 、的最大似然估計(jì)。2、設(shè)某種元件的壽命,2NX均未

16、知，現(xiàn)從中抽取容量為 16 的一個(gè)樣本，算得12,2xs，試檢驗(yàn)：01:11.5:11.5HH。05. 0參考數(shù)據(jù)： ,1315. 215,7531. 115025. 005. 0tt 9772. 02,8413. 01一、填空題一、填空題：00131:0.86,2:,3:0.5,4:01,5:,6:0.35,7:328111038:0.1587,9:,10: 97.8685102.13150.20.50.3xxxex二、求解下列概率問(wèn)題二、求解下列概率問(wèn)題：1 1 112233111(1)|0.032|2|0.5 0.980.968P BP A P B AP AP B AP AP B AP

17、A P B AP A BP B2 2 第 9 頁(yè) 共 29 頁(yè) 132110.6826142 120.0456PXP X 三、求解下列問(wèn)題三、求解下列問(wèn)題1：0.530.50.550013,1,1011P XeYbepP Ye 2： 0001,0,01101111 2010YXYxF xxxyfyxyyyFyFyyyxfyYY當(dāng)y0, F當(dāng)y0, F其他四、求解下列問(wèn)題四、求解下列問(wèn)題 010121,0.60.40.30.20.5230.4,1.20.5,(, )0.02XYE XE YE XYCov X Y不獨(dú)立五求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題1 11211,2121, lnln0

18、11lnnniixE XxnLxxLxnx 2拒絕區(qū)域00001.7531,11.7531TTTH接受概概 率率 論論 與與 數(shù)數(shù) 理理 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 課課 程程 考考 試試 試試 卷卷一、填空題：一、填空題：（本題共 10 小題,每小題 3 分,滿分 30 分）1、設(shè) 0.7,0.8P AP B，A 與 B 相互獨(dú)立，則P AB= 。2、設(shè) 000 xexf xx，則 P XE X 。3、設(shè)X的分布律為X-101第 10 頁(yè) 共 29 頁(yè)p0.3a0.2則a ， 4、設(shè)X的概率密度 1,010,xf x其它，則 分布函數(shù) F x 。5、一袋中裝有 8 個(gè)球，其中 3 個(gè)白球，5 個(gè)紅球，依次從

19、中取出 2 個(gè)球（不放回） ，則兩次取到的均為白球的概率為 。6、設(shè) 0.4,0.5,0.25P AP BP AB，則P BA= 。7、設(shè) 2XE，則12XE 。8、設(shè)nXX ,1為取自總體X的樣本， 2,XN ，樣本均值為X，則P Xn= 。9、設(shè)X的分布律為X012p0.2050.3則12 XY的分布列為 。10、設(shè)樣本均值和樣本方差為,16,1002sx樣本容量16n，寫出正態(tài)總體均值的置信水平為95. 0的置信區(qū)間 。二、求解下列概率問(wèn)題：二、求解下列概率問(wèn)題：（本題共 2 小題,滿分 20 分）1、 （10 分）設(shè)一批產(chǎn)品中，A、B、C 三工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品各占 50%、30%、20%，

20、次品率分別為 0.02、0.04、0.05，現(xiàn)從中任取一件產(chǎn)品，（2）求取得的產(chǎn)品是次品的概率；(2)若已知取得的產(chǎn)品是正品，求該產(chǎn)品是 A 工廠產(chǎn)品的概率。2、 （10 分）設(shè)21,2,13 ,14XNPXP X 求三、求解下列各題：三、求解下列各題：（本題共 2 小題,滿分 20 分）1、 （10 分）在某公共汽車站有 3 人等車，假設(shè)每人等車時(shí)間（單位：分鐘）都服從0,10上的均勻分布，即密度函數(shù)為0.1010( )0 xf x其它求 3 人等車時(shí)間都不超過(guò) 5 分鐘的概率。2、 （10 分）設(shè)X的概率密度 1,010,xf x其它，21YX，求Y的密度函數(shù) 四、計(jì)算題：四、計(jì)算題：（本

21、題共 1 小題,滿分 12 分）設(shè)YX,的聯(lián)合概率分布為YX01200.20.10.310.10.10.2（1） 、求邊緣分布律；（2） 、判別X與Y是否相互獨(dú)立；（3） 求 YXCOVYEXE,。第 11 頁(yè) 共 29 頁(yè)五、解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題五、解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題（本題共 2 小題,滿分 18 分）1、 （10 分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為101;0 xxf x其它其中0為未知參數(shù)，已知取得了樣本值12,nx xx，求（1） 、的矩估計(jì)， （2） 、的最大似然估計(jì)。2、（8 分）設(shè)某種元件的壽命,2NX均未知，現(xiàn)從中抽取容量為 16 的一個(gè)樣本，算得12,2xs，試檢驗(yàn)：01:11.5:11.

22、5HH。05. 0參考數(shù)據(jù)： ,1315. 215,7531. 115025. 005. 0tt 9772. 02,8413. 01。一、填空題一、填空題：00131:0.86,2:,3:0.5,4:01,5:,6:0.35,7:328111038:0.1587,9:,10: 97.8685102.13150.20.50.3xxxex二、求解下列概率問(wèn)題二、求解下列概率問(wèn)題： 1122331111:(1)|0.032|2|0.5 0.980.968P BP A P B AP AP B AP AP B AP A P B AP A BP B 2:132110.6826142 120.0456PXP

23、 X 三、求解下列問(wèn)題三、求解下列問(wèn)題311:52113,322P XYbpY第 12 頁(yè) 共 29 頁(yè) 002:01,1101111322131 2030XYxF xxxxyyyyFyyyfyYF其他四、求解下列問(wèn)題四、求解下列問(wèn)題 010121,0.60.40.30.20.5230.4,1.20.5,(, )0.02XYE XE YE XYCov X Y不獨(dú)立五求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題 11211: 1,2121, lnln011lnnniixE XxnLxxLxnx 2：區(qū)域00001.7531,11.7531TTTH接受概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì)課 程 考 試 試

24、卷一、選擇題（本大題共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分）1對(duì)于任意兩個(gè)事件A與B,則必有()P AB【 】.（A A）( )()P AP AB（B B）( )( )()P AP BP AB（C C）( )( )P AP B （D D）( )( )P AP B2某人每次射擊中靶的概率為(01)pp,則在5次射擊中失敗3次的概率為【 】.（A A）3210(1)pp （B B）2310(1)pp （C C）23(1)pp （D D）32(1)pp3設(shè)( )F x和( )f x分別為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)和概率密度函數(shù),則一定有【 】.（A A）( )f x單調(diào)不減 （B B）( )1F x

25、 dx （C C）()0F （D D）( )( )F xf x dx4設(shè)二維隨機(jī)變量(, )X Y的分布律為XY101第 13 頁(yè) 共 29 頁(yè)11 61 91 1821 3若X與Y相互獨(dú)立,則有【 】.（A A）5 18,118（B B）1 9,2 9 （C C）1 6,1 6（D D）2 9,1 95設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望()E X存在,則 ()E E E X【 】.（A A）0 （B B）2()E X （C C）2 ()E X （D D）)(XE6已知()25D X ,( )4D Y ,Cov(, )4X Y ,則相關(guān)系數(shù)XY【 】.（A A）0.004 （B B）0.04 （C C）0

26、.4 （D D）47設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且()4D X ,( )9D Y ,則) 12(YXD【 】.（A A）41 （B B）40 （C C）13 （D D）148設(shè)128,XXX是來(lái)自總體(0,1)XN的樣本,則統(tǒng)計(jì)量222128XXX【 】.（A A）2(8) （B B）(8)t （C C）(1,8)F （D D）(0,8)N9設(shè)總體未知參數(shù)的估計(jì)量滿足( )E,則一定是的【 】.（A A）無(wú)偏估計(jì)量 （B B）有效估計(jì)量 （C C）矩估計(jì)量 （D D）最大似然估計(jì)量10設(shè)總體2( ,)XN , 均未知,12,nXXX為來(lái)自總體X的樣本,X為樣本均值,2S為樣本方差,欲檢驗(yàn)假設(shè)22

27、220010:,:HH,則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為【 】.（A A）0XZn （B B）2220(1)nS （C C）222(1)nS（D D）0XtSn二、填空題（本大題共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分）1設(shè),A B為隨機(jī)事件,則,A B同時(shí)發(fā)生可表示為 .2設(shè)( )0.5P A ,( )0.4P B ,()0.6P AB,則()P AB .3從0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)中任意取三個(gè)數(shù),則這三個(gè)數(shù)中不含0的概率是 .4甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次,其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被命中,則它是甲射中的概率是 .5一批產(chǎn)品,由甲廠生產(chǎn)占50%,次品率為0.01,由乙廠生產(chǎn)占25%,

28、次品率為0.02,由丙廠生產(chǎn)占25%,次品率為0.04,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)取一件,恰好取到次品的概率為 .6設(shè)隨機(jī)變量(, )X Y的概率密度為1,01,01( , )0,xyf x y其其,則P XY .7設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為15P Xk(0,1,2,3,4)k ,則()D X .第 14 頁(yè) 共 29 頁(yè)8設(shè)隨機(jī)變量X在(0,3)上服從均勻分布,則2(21)EX .9設(shè)來(lái)自總體2( ,4 )XN容量為16的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的樣本均值5x ,則未知參數(shù)的置信度為95. 0的置信區(qū)間長(zhǎng)度為 .10設(shè)總體( ,0.09)XN,未知,1225,x xx為來(lái)自總體X的樣本,x為樣本均值,假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題為

29、01:0,:0HH,則在顯著性水平0.05 下,此時(shí)檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?.（附：0.050.025(1.645)0.95,(1.96)0.975,1.645,1.96zz）三、計(jì)算下列概率問(wèn)題（本大題共 3 小題,每小題 8 分,共 24 分）1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X1012kp0.4a0.20.1求常數(shù)a;設(shè)2YX,求Y的分布律和分布函數(shù).2設(shè)隨機(jī)變量X在0,5服從均勻分布.求關(guān)于z的二次方程24420zXzX有實(shí)根的概率.3設(shè)隨機(jī)變量),(YX的概率密度為4,01,01( , )0,xyxyf x y其其,求邊緣概率密度( )Xfx和( )Yfy;問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立?求協(xié)方差Cov(

30、, )X Y.四、計(jì)算下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題（本大題共 2 小題,每小題 8 分,共 16 分）1設(shè)總體X具有分布律X112kp21 3其中0未知,今有樣本2,1, 1,2.求未知參數(shù)的矩估計(jì)值.2設(shè)總體X的概率密度為,0( ; )0,0 xexf xx,其中0為未知參數(shù),nXXX,21是來(lái)自總體X的樣本,求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量.一、選擇題（本大題共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分）1A 2B 3C 4D 5D6C 7B 8A 9A 10B二、填空題（本大題共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分）第 15 頁(yè) 共 29 頁(yè)1AB 20.3 30.4 40.75 50.0260.5 7

31、2 87 93.92 10| 0.1176x 三、計(jì)算下列概率問(wèn)題（本大題共 3 小題,每小題 8 分,共 24 分）1解：由0.40.20.11a,得0.3a . Y可能取值0,1,4000.3P YP X,1110.6P YP XP X ,420.1P YP X. Y的分布律為Y014kp0.30.60.1Y的分布函數(shù)000.301( )0.91414yyF yP Yyyy. 2解：由于0,5X,因此X概率密度為1 5,05( )0,xf x其其. 而關(guān)于z的二次方程24420zXzX有實(shí)根,所以判別式2(4)4 4 (2)0XX 即220XX,得1X 或2X , 所求概率1212pP X

32、XP XP X 其152213( )( )055f x dxf x dxdx. 3解：102 , 014, 01( )( , )0,0,Xxxxydyxfxf x y dy其其其其; 102 , 014, 01( )( , )0,0,Yyyxydxyfyf x y dx其其其其. 因?yàn)? , )( )( )XYf x yfxfy,故X與Y相互獨(dú)立. 由于X與Y相互獨(dú)立,故()() ( )E XYE X E Y,第 16 頁(yè) 共 29 頁(yè)因而Cov(, )()() ( )0X YE XYE X E Y. 四、計(jì)算下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題（本大題共 2 小題,每小題 8 分,共 16 分）1解：()11 22

33、 (1 3 )25E X , 得25, 以4112 1 ( 1)2144iixx 代替,得的矩估計(jì)值為15. 2解：似然函數(shù)是12()121( )( ,; )innxxxxnniLL x xxee, 1ln ( )lnniiLnx,令1ln ( )0niidLnxd, 解得最大似然估計(jì)值11niinxx,故的最大似然估計(jì)量為11niinXX. 概 率 論 與 數(shù)理 統(tǒng) 計(jì) 課 程 考 試 試 卷一、選擇題（本大題共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分）1設(shè),A B為隨機(jī)事件,則必有()P AB【 】.（A A）( )( )P AP B （B B）( )()P AP AB （C C）( )

34、()P BP AB （D D）( )( )()P AP BP AB2某人每次射擊中靶的概率為(01)pp,則在3次射擊中成功2次的概率為【 】.（A A）2(1)pp （B B）23 (1)pp （C C）2(1)pp （D D）23(1)pp3設(shè)( )f x為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù),則一定有【 】.（A A）()0f （B B）()1f （C C）( )1f x dx （D D）( )f x單調(diào)不減4設(shè)二維隨機(jī)變量(, )X Y的分布律為XY10111 61 91 1821 3若X與Y相互獨(dú)立,則有【 】.（A A）5 18,118（B B）1 9,2 9（C C）2 9,1 9（D D）

35、1 6,1 65設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望()E X存在，則 ()E E X【 】.第 17 頁(yè) 共 29 頁(yè)（A A）0 （B B）)(XE （C C）2()E X （D D）2 ()E X6已知()25D X ,( )4D Y ,Cov(, )4X Y ,則相關(guān)系數(shù)XY【 】.（A A）4 （B B）0.4 （C C）0.04 （D D）0.0047設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且()4D X ,( )5D Y ,則(2 )D XY【 】.（A A）24 （B B）20 （C C）14 （D D）108設(shè)128,XXX是來(lái)自總體(0,1)XN的樣本,則統(tǒng)計(jì)量222128XXX【 】.（A A）2(

36、8) （B B）(8)t （C C）(1,8)F （D D）(0,8)N9設(shè)總體未知參數(shù)的估計(jì)量滿足( )E,則一定是的【 】.（A A）無(wú)偏估計(jì)量 （B B）有效估計(jì)量 （C C）矩估計(jì)量 （D D）最大似然估計(jì)量10設(shè)總體2( ,)XN , 均未知,12,nXXX為來(lái)自總體X的樣本,X為樣本均值,2S為樣本方差,欲檢驗(yàn)假設(shè)22220010:,:HH,則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為【 】.（A A）0XZn （B B）2220(1)nS （C C）222(1)nS （D D）0XtSn二、填空題（本大題共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分）1設(shè),A B為隨機(jī)事件,則,A B同時(shí)發(fā)生可表示為 .2設(shè)事

37、件,A B相互獨(dú)立,( )0.5P A ,( )0.4P B ,則()P AB .3從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任意取兩個(gè)數(shù),則這兩個(gè)數(shù)中不含0的概率是 .4甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次,其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被命中,則它是甲射中的概率是 .5一批產(chǎn)品,由甲廠生產(chǎn)占40%,次品率為0.03,由乙廠生產(chǎn)占60%,次品率為0.02,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)取一件,恰好取到次品的概率為 .6設(shè)隨機(jī)變量(, )X Y的概率密度為1,01,01( , )0,xyf x y其其,則P XY .7設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為15P Xk(0,1,2,3,4)k ,則()D X .8設(shè)隨機(jī)變量X在(0

38、,3)上服從均勻分布,則2(2)EX .9設(shè)來(lái)自總體2( ,4 )XN容量為16的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的樣本均值5x ,則未知參數(shù)的置信度為95. 0的置信區(qū)間長(zhǎng)度為 .第 18 頁(yè) 共 29 頁(yè)10設(shè)總體( ,0.09)XN,未知,1225,x xx為來(lái)自總體X的樣本,x為樣本均值,假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題為01:0,:0HH,則在顯著性水平0.05 下,此時(shí)檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?.（附：0.050.025(1.645)0.95,(1.96)0.975,1.645,1.96zz）三、計(jì)算下列概率問(wèn)題（本大題共 3 小題,每小題 8 分,共 24 分）1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X1012kp0.4a0.20.1求常

39、數(shù)a;設(shè)2YX,求Y的分布律和分布函數(shù).2設(shè)隨機(jī)變量Y在0,5服從均勻分布.求關(guān)于x的二次方程24420 xYxY有實(shí)根的概率.3設(shè)隨機(jī)變量),(YX的分布律為XY10110.1250.1250.12500.12500.12510.1250.1250.125求關(guān)于X和Y的邊緣分布律;問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立?求協(xié)方差Cov(, )X Y.四、計(jì)算下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題（本大題共 2 小題,每小題 8 分,共 16 分）1設(shè)總體X具有分布律X123kp1 2其中0未知,今有樣本3,2,1,2.求未知參數(shù)的矩估計(jì)值.2設(shè)總體X的概率密度為(1), 01( ; )0,xxf x其其,其中1 未知,nXXX,21是

40、來(lái)自總體X的樣本,求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量.一、選擇題（本大題共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分）1D 2D 3C 4C 5B6B 7A 8A 9A 10B二、填空題（本大題共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分）1AB 20.2 30.5 40.75 50.02460.5 72 86 93.92 10| 0.1176x 三、計(jì)算下列概率問(wèn)題（本大題共 3 小題,每小題 8 分,共 24 分）第 19 頁(yè) 共 29 頁(yè)1解：（1）由0.40.20.11a,得0.3a Y可能取值0,1,4000.3P YP X,1110.6P YP XP X ,420.1P YP X. Y的分

41、布律為Y014kp0.30.60.1Y的分布函數(shù)000.301( )0.91414yyF yP Yyyy. 2解：由于0,5Y,因此Y概率密度為1 5,05( )0,yf y其其. 而關(guān)于x的二次方程24420 xYxY有實(shí)根,所以判別式2(4 )4 4 (2)0YY 即220YY,得1Y 或2Y . 所求概率1212pP YYP YP Y 152213( )( )055f y dyf y dydy. 3解：關(guān)于X和Y的聯(lián)合分布及邊緣分布律如下表所示：XY101P Yj10.1250.1250.1250.37500.12500.1250.25010.1250.1250.1250.375P Xi

42、0.3750.2500.3751即有X和Y的邊緣分布律X101Y101kp0.3750.2500.375kp0.3750.2500.375 因?yàn)?,111P XYP XP Y ,故X與Y不是相互獨(dú)立. 由于()0E X ,( )0E Y ,()0E XY 因而Cov(, )()() ( )0X YE XYE X E Y 四、計(jì)算下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題（本大題共 2 小題,每小題 8 分,共 16 分）1解：()123 (12 )33E X , 得33, 以41132 12244iixx 代替,得的矩估計(jì)值為13. 2解：似然函數(shù)是12121( )( ,; )(1)(1) ()nnniniLL x xxx

43、x xx, 第 20 頁(yè) 共 29 頁(yè)1ln ( )ln(1)lnniiLnx,令1ln ( )ln01niidLnxd, 解得的最大似然估計(jì)值11lnniinx ,故的最大似然估計(jì)量11lnniinX . 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 課 程 考 試 試 卷可能用到數(shù)據(jù): (1.5)0.9332,(1.96)0.975,(2.5)0.9938,0.025(35)2.0301t.一、填空題：一、填空題：（本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.）1試驗(yàn)E為拋兩枚硬幣,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的情況,則E的樣本空間S .2設(shè)事件A與B獨(dú)立,且( )0.2P A ,( )0.5P B ,

44、則()P AB .3設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)0泊松分布,且12P XP X,則 .4設(shè)二維隨機(jī)變量X與Y的方差分別為()2D X ,( )8D Y ,X與Y的相關(guān)系數(shù)為0.25XY,則()D XY 5設(shè)由來(lái)自總體( ,9)XN容量為16的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的樣本均值5x ,則未知參數(shù)的置信水平為95. 0的置信區(qū)間是 二、選擇題：二、選擇題：（本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.）1設(shè),A B為隨機(jī)事件,則,A B中至少有一個(gè)發(fā)生可表示為【 】.（A）AB （B）AB （C）AB （D）AB2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為, 0( )0,xxAf x其它,則常數(shù)A 【 】.（A）1 （B）

45、2 （C）2 （D）43設(shè)連續(xù)型隨機(jī)隨機(jī)變量( ,1)XN u,參數(shù)未知,若關(guān)于t的二次方程2240tXt沒(méi)有實(shí)根的概率為2(2) 1,則【 】.（A）1 （B）1 （C）0 （D）24設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且(0,1)XN,(1,1)YN,則下四式中成立的是【 】.（A）00.5P XY （B）10.5P XY （C）00.5P XY （D）10.5P XY5設(shè)12,nXXX是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本,且總體X的()E X,2()0D X,若估計(jì)量21()niiCX是2的無(wú)偏估計(jì)量,則常數(shù)C 【 】.（A）11n （B）12n （C）11n （D）1n三、求解下列概率問(wèn)題：三、求解下列概率問(wèn)

46、題：（本題共 4 小題,滿分 45 分.）1.（本小題滿分 10 分）第一只盒子裝有5只紅球,6只白球;第二只盒子裝有6只紅球,第 21 頁(yè) 共 29 頁(yè)5只白球.先從第一盒子中任取2只放入第二盒子中去,然后從第二盒子中任取1只球.求取到白球的概率.2.（本小題滿分 10 分）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為( )arctan ()XFxABxx ,求常數(shù),A B; 11PX ;概率密度函數(shù)( )Xfx.3.（本小題滿分 10 分）某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明:在索賠戶中被盜索賠戶占20%,以X表示在隨機(jī)抽查的100個(gè)索賠戶中,因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù).寫出X的概率分布;利用棣莫佛-拉普拉斯定

47、理,求被盜索賠的戶不少于14戶,且不多于30戶的概率的近似值.4.（本小題滿分 15 分）設(shè)隨機(jī)變量),(YX的概率密度為2,01( , )0yxf x y其其,求邊緣密度( )Xfx和( )Yfy;問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立?(),()E XD X.四、求解下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題：四、求解下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題：（本題共 2 小題,滿分 25 分.）1.（本小題滿分 15 分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為:1, 01( ; )0,xxf x其它,其中0為未知參數(shù),nXXX,21是來(lái)自總體X的樣本,求未知參數(shù)的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.2.（本小題滿分 10 分）設(shè)某次考試的學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取36位考生,

48、算得平均成績(jī)?yōu)?6.5,標(biāo)準(zhǔn)差為15,問(wèn)在顯著水平0.05下,是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分.并給出檢驗(yàn)過(guò)程.一、填空題一、填空題：（本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.）1,HH HT TH TT 20.6 32 4125(3.53,6.47)二、選擇題二、選擇題：（本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.）1A 2B 3C 4D 5D 三、求解下列概率問(wèn)題：三、求解下列概率問(wèn)題：（本題共 4 小題,滿分 45 分.）1 （本小題滿分 10 分）解：A：表示從第二盒子中取到白球的事件,1B：表示從第一盒子中2只紅球;2B：表示從第一盒子中1只紅球和1只

49、白球;3B：表示從第一盒子中2只白球; 則123123()AA BBBABABAB,123ABABAB 123( )()()()P AP ABP ABP AB 112233(|) ()(|) ()(|) ()P A B P BP A B P BP A B P B 2112556622211111156767131313143CC CCCCC 2 （本小題滿分 10 分）第 22 頁(yè) 共 29 頁(yè)解：（1）由lim( )0lim( )1XxXxFxFx2201ABAB得121AB （2）由112( )arctanXFxx得 11(1)( 1)XXPXFF 11111222(arctan1)(ar

50、ctan( 1) （3）11221( )( )(arctan )(1)XXfxFxxxx 3 （本小題滿分 10 分）解：（1） (100,0.2)Xb分布律為1001000.2 0.8kkkP XkC0,1,100k ; （2）()100 0.220E X ()100 0.2 0.816D X 由棣莫佛-拉普拉斯定理得 14202030201430(2.5)( 1.5)0.927161616XPXP 4 （本小題滿分 15 分）解：（1）02 , 012, 01( )( , )0,0,xXxxdyxfxf x y dy其它其它 12, 012(1), 01( )( , )0,0,yYdxyy

51、yfyf x y dx其它其它 （2）( , )( )( )f x yf xf y,故X與Y不相互獨(dú)立. （3）1202()( )23E Xxf x dxx dx. 122301()( )22E Xx f x dxx dx 221()() ()18D XE XE X 四、求解下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題：四、求解下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題：（本題共 2 小題,滿分 25 分.）1 （本小題滿分 15 分）解： 矩估計(jì)法10()1E Xx dx解得1 令X代替,得的矩估計(jì)量為1XX. 最大似然函數(shù)法似然函數(shù)是11()01( )0nniiixxL其它 1lnln(1)lnniiLnx,令1lnln0niidLnxd, 解得最大

52、似然估計(jì)值1lnniinx ,故最大似然估計(jì)量1lnniinX . 第 23 頁(yè) 共 29 頁(yè)2 （本小題滿分 10 分）解：要檢驗(yàn)0010:70,:HH, 總體2( ,)XN ,2未知,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量0/XtSn, 當(dāng)0H為真時(shí), (1)tt n, 拒絕域形式為| | tk由| |Ptk得2(1)ktn,故拒絕域?yàn)?0| |(1)/Xttnsn, 20.02536,0.05,(1)(35)2.0301,66.5,15,ntntxs得66.570| |1.42.030115/36t, t的值未落在拒絕域內(nèi),所以接受0H,可以認(rèn)為70. 概 率 論 與 數(shù)理 統(tǒng) 計(jì) 課 程 考 試 試 卷一、填空題

53、：一、填空題：（本題共 10 小題,每小題 3 分,滿分 30 分.）1試驗(yàn)E為拋一枚硬幣,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的情況,則E的樣本空間S .2設(shè)事件A與B獨(dú)立,且( )0.4P A ,( )0.5P B ,則()P AB .3設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)0泊松分布,且12P XP X,則 .4設(shè)連續(xù)型隨機(jī)隨機(jī)變量( ,1)XN u,則P X .5設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為2 , 0( )0,xxAf x其它,則常數(shù)A .6設(shè)隨機(jī)變量X服從(1,3)上的均勻分布,則(2)EX .7設(shè)二維隨機(jī)變量X與Y的方差分別為()2D X ,( )2D Y ,X與Y的相關(guān)系數(shù)為0.5XY,則()D XY 8設(shè)隨

54、機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且(0,1)XN,(1,1)YN,則XY .9設(shè)129,XXX是總體X(2,9)N的樣本,則隨機(jī)變量11niiXXn服從 分布.10設(shè)12,XX為樣本,若1213CXX是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量,則常數(shù)C .二、求解下列概率問(wèn)題：二、求解下列概率問(wèn)題：（本題共 4 小題,滿分 45 分.）1.（本小題滿分 10 分）第一只盒子裝有5只紅球,4只白球;第二只盒子裝有4只紅球,5只白球.先從第一盒子中任取2只放入第二盒子中去,然后從第二盒子中任取1只球.求取到白球的概率.第 24 頁(yè) 共 29 頁(yè)2.（本小題滿分 10 分）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0,1( )ln ,11,

55、XxFxxxexe.分別求（1）2P X ,25 2PX;（2）概率密度( )Xfx.3.（本小題滿分 15 分）設(shè)離散型隨機(jī)變量X分布律為X1012kp0.20.3a0.4求常數(shù)a;設(shè)2YX,求Y的分布律;求()D X.4.（本小題滿分 10 分）設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在(0,1)上服務(wù)均勻分布,Y的概率密度為212,0( )0,yYeyfy其其.求X和Y的聯(lián)合概率密度;設(shè)含有a的二次方程為220aXaY,試求a有實(shí)根的概率.（(1)0.8413,22.5066）三三 、求解下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題：、求解下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題：（本題共 2 小題,滿分 25 分.）1.（本小題滿分 15 分）設(shè)總

56、體 (1, )Xbp，其中p為未知參數(shù),nXXX,21是來(lái)自總體X的樣本,求未知參數(shù)p的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.2.（本小題滿分 10 分）某批礦砂的5個(gè)樣本中的鎳含量,經(jīng)測(cè)定樣本均值3.252x ,樣本標(biāo)準(zhǔn)差313.4 10s.設(shè)測(cè)定值總體服從正態(tài)分布,但參數(shù)均未知.問(wèn)在顯著性水平01. 0下能否接受假設(shè):這批礦砂的鎳含量的均值為25. 3.寫出主要步驟.（6041. 4)4(005. 0t）一、填空題一、填空題：（本題共 10 小題,每小題 3 分,滿分 30 分.）1, H T 20.7 32 40.5 5164 76 8(1,2)N 9(2,1)N 102 3二、求解下列概率問(wèn)題：二

57、、求解下列概率問(wèn)題：（本題共 4 小題,滿分 45 分.）1 （本小題滿分 10 分）解：A：表示從第二盒子中取到白球的事件,1B：表示從第一盒子中2只紅球;2B：表示從第一盒子中1只紅球和1只白球;3B：表示從第一盒子中2只白球; 則123123()AA BBBABABAB,123ABABAB 故123( )()()()P AP ABP ABP AB 112233(|) ()(|) ()(|) ()P A B P BP A B P BP A B P B 211255472229995675311111199CC CCCCC 2 （本小題滿分 10 分）解：（1）2121(2)1 ln2XP

58、XP XF 25 2(5 2)(2)ln5 2ln2ln5 4XXPXFF 第 25 頁(yè) 共 29 頁(yè)（2）1,1( )( )0,XXxxefxFx其其 3 （本小題滿分 15 分）解：（1）由0.20.30.41a得0.1a （2）Y可能取值0,1,4 000.3P YP X 1110.3P YP XP X 420.4P YP X Y的分布律為Y014kp0.30.30.4（3）()1 0.20 0.3 1 0.12 0.40.7E X 22222()( 1)0.200.3 10.120.41.9E X 22()() ()1.41D XE XE X 4 （本小題滿分 10 分）解：（1）1,

59、01( )0,xf x其它,因X與Y相互獨(dú)立,故212, 01,0( , )( )( )( )0,yYexyf x yf xf y fy其它 （2）方程為220aXaY有實(shí)根的充要條件是2440XY即24XY從而方程為有實(shí)根的概率221212004 12 (1)(0)0.1445yxPeXYxdyd 三、求解下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題：三、求解下列統(tǒng)計(jì)問(wèn)題：（本題共 2 小題,滿分 25 分.）1 （本小題滿分 15 分）解： 矩估計(jì)法()0 (1) 1E Xppp 解得p 令X代替,得p的矩估計(jì)量為 pX. 最大似然函數(shù)法 (100,0.2)Xb分布律為111(1)(1)kkkkkP XkC pppp0,

60、1k 似然函數(shù)是1112( )( ,; )(1)nniiiixnxnL pL x xxppp 11ln()ln(ln)ln(1)nniiiiLxpnxp,令11lnln01nniiiixnxdLdppp, 解得p最大似然估計(jì)值11niipxxn,故p最大似然估計(jì)量11niipXXn. 3 （本小題滿分 10 分）解：要檢驗(yàn)0010:3.25,:HH, 總體2( ,)XN ,2未知,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量0/XtSn, 當(dāng)0H為真時(shí), (1)tt n, 拒絕域形式為| | tk由| |Ptk得2(1)ktn,第 26 頁(yè) 共 29 頁(yè)故拒絕域?yàn)?0| |(1)/Xttnsn, 20.0055,0.05,(1