高一數(shù)學平面向量的數(shù)量積及運算律人教版

1、高一數(shù)學平面向量的數(shù)量積及運算律人教版【同步教育信息】一. 本周教學內容：平面向量的數(shù)量積及運算律【例題講解】例1 已知=(cos, sin ，=(cos, sin (0（1）求證：+與-互相垂直。（2）若k a +與-k b 大小相等（k 0），求-的值。 解：（1）由=(cos, sin ，=(cos, sin ，則有+=(cos, sin +(cos, sin =(cos+cos , sin +sin -=(cos-cos , sin -sin 由(+ (-=(cos+cos (cos-cos +(sin+sin (sin-sin =cos 2-cos 2+sin 2-sin 2=(co

2、s2+sin 2 -(cos2+sin 2 =1-1=0故+-（2）由k +=(k cos +cos , k sin +sin k += = k -= =(k cos +cos 2+(k sin +sin 2k 2+2k cos(- +1 (k cos -cos 2+(k sin -sin 2k 2-2k cos(- +1 由k +=k -，則有2k cos(- =-2k cos(- 即cos(- =0，而00，則-=例2 已知=(3, -1 ，=(21, ，且存在實數(shù)k 和t ，使得=+(t 2-3 ，22k +t 2的最小。 =-k +t ，并且，試求t解： =1(3 2+(-1 2=2，

3、b =( 2+( 2=1221a b =+(-1 =0 則22由=0，故+(t 2-3 -k +t =02即-k +(t -3t +(t -t k +3k =0232用心 愛心 專心而 =0，故-+(t -3t =2=1代入得：k =3=0 13(t -3t 4k +t 21217=(t +4t -3 =(t +2 2- 故t 4447k +t 2所以，t =-2時，有最小值為-4t例3 =5，向量、的夾角是+= + 3=50+255-= =1=53 2=50-2551=5 2例4 給定三點A （1，7），B （0，0），C （8，3）設D 為線段BC 上一點，試求三向量BA 、CA 、DA

4、的和與向量BC 垂直時點D 的坐標。解：=(8, 3 ，而D 在BC 上，則D 點坐標為（8t ，3t ），其中0t 1 于是，=(1, 7 ，=-=(1, 7 -(8, 3 =(-7, 4 =-=(1-8t , 7-3t 令=+=(1, 7 +(-7, 4 +(1-8t , 7-3t =(-5-8t , 18-3t 由=0(-5-8t , 18-3t (8, 3 =0 8(-5-8t +3(18-3t =0-73t +14=0t =1411242D （，） 737373例5 在平面四邊形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，CD =c ，DA =d ，且a b =b c=c d =d a

5、 ，問該四邊形ABCD 是什么圖形，請加以證明。解：由a +b +c +d =0a +b =-(c +d (a +b 2=(c +d 2 a +2a b +b =c +2c d +d ，又由a b =c d 得 + =+ = 22222222=+ = = = =故四邊形ABCD 為平行四邊形，則a =-c由a b =b c ，即b (a -c =0也即b (2a =0a b =0a b故為矩形【模擬試題】一. 選擇題：用心 愛心 專心1. 設a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題中正確的有（ ） ( -( = - (3+2 (3-2 =- ( -( 不與垂直A. B.

6、 C. D. 2. 給出四個命題，其中正確命題的個數(shù)是（ ） =或=- 如果a 與b 共線，則存在惟一實數(shù)，使a =b 如果(a -b 2+(b -c 2=0，則a =b =c 如果a b =0，則a b =0A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個3. 已知=（1，2），=（-3，2），當k ?。?）時，k +與-3垂直 A. 17 B. 18 C. 19 D. 204. 已知=（2，3），=（-4，7），則在上的射影的值是（ ） A. B.2265 C. D. 65 555. 以O （0，0），A （a ，b ），B （b +a ，b -a ）為頂點的三角形是（ ）6. =3=4，且

7、(+k (-k ，那么k =（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等邊三角形 D. 等腰直角三角形A. 3434 B. C. D. 5435二. 填空題：7. 設s ，t 為非零實數(shù)，若s +=t -，則與的夾角= 和均為單位向量， 。8. 若將向量=（2，1）圍繞原點按逆時針方向旋轉，得向量，則向量的坐標是 4。9. 已知ABC 的三個頂點為A （2，1）B （3，2）C （-1，4），則ABC 的形狀是 。10. 已知b =（3，-1），c =（4，3），向量a 滿足a (b c =（-9，18），則a = 。11. 設e 1與e 2是兩個單位向量，其夾角為60，則向量=2e 1

8、+e 2，=-3e 1+2e 2的夾角等于 。12. =3=2，與夾角為60，=3+5，=m -3，則當m = 時，c 與d 垂直；當m = 時，c 與d 共線。三. 解答題：13. 已知，是兩個非零向量，當+t （t R ）的模取最小值時用心 愛心 專心（1）求t 的值 （2）若a 與b 共線同向，求證b a +t b 14. 試用向量的方法證明三角形三條高線交于一點。15. 已知向量=5+12，=-8+6，其中、分別為x 、y 軸上的單位長度，求以及與的夾角。16. 若向量+37-5，并且-47-2，試求向量與的夾角。用心 愛心 專心試題答案一. 選擇題： 1. D提示：與錯；與正確 2.

9、 B 3. C提示：k +=(k -3, 2k +2 ，-3=(10, -4(k a +b (a -3b =0+(1-3k a b -=0k 5+(1-3k (-3+4 -313=0 k =194. C提示： =-8+21=13，=cos ， =65cos =5. D1365=65 5提示：OA =(a , b ，AB =OB -OA =(b , -a ，則OA AB = 6. A -k 二.7. 90提示：s +t +2st =t +s -2st 4st =0=0 8. （22222222=09-k 216=0k 2=93k = 164232，） 22提示：設b = (x , y = 又=c

10、os22+12=5，x 2+y 2=5225252即2x +y = =4222232322解方程組得x =，y =，（x =，y =）（舍1）2222=59. 直角三角形提示：=（1，1），=（-3，3），=（-4，2） 故=1(-3 +13=0AB AC又、AC 互不相等，故ABC 為Rt 10. （-1，2）提示：設=(x , y ，由=12-3=9，則(9x , 9y =(-9, 18 x =-1, y =2 11. 120提示：=-6+2+e 1e 2=-4+17=- 22用心 愛心 專心a =b= 7 12. cos = a b ab = 1 = 120 2 29 9 ； 14 5

11、1 = 3， 2 2 2 提示： 提示： a b = 3 2 c d = (3a + 5b (ma 3b = 3m a 15 b (9 5ma b = 42m 87 87 29 = 由 c d 存在 R 42 14 使 c = d 3a + 5b = m a 3 b 由 a 不平行于 b 9 則 3 = m ， 5 = 3 m = 5 由c d cd = 0 m = 13. 解： （1）令 m = a + t b ，則 m = a + t b 2 2 = a + t 2 b + 2 a b cos t 2 2 2 2 = b (t 2 + 2 a b 2 a b cos t + a = b (

12、t + a b cos 2 + a sin 2 2 當t = cos 時， a + t b 有最小值為 a sin a b （2）由 a 與 b 同向共線，則 cos = 1 ，故 t = 則 b ( a + t b = a b + ( a b b = a b a b = 0 2 14. 證明： 證明：設 ABC 的邊 BC 與 CA 上的高交于一點 P，如圖 由 PA BC ， PB CA ，則 PA BC = PB CA = 0 又由 PC BA = ( PA CA ( BC + CA = PA BC + PA CA CA BC CA 2 = ( PA + AC + CB CA = PB CA = 0 故 PC BA ，所以點 P 在 ABC 的第三條邊 AB 的高線上 故 ABC 的三條高線交于一點。 用心 愛心 專心 15. 解：由已知 a = （5，12）， b = （ 8 ，6）則 a b = 5 ( 8 + 12 6 = 32 又由 a b = a b cos 且a = 5 2 + 12 2 = 13 b = (8 2 + 6 2 = 10 所以 cos = 16. 故 a b = 130 cos 則 = arccos a b ab = 32 16 = 130 65 16 130 7 a 2 + 16a b 15b 2 =