項目二 - 復合函數(shù)的求導法則

1、第三節(jié) 復合函數(shù)的求導法則準備知識：常用函數(shù)的求導公式；函數(shù)和、差、積、商的求導法則；復合函數(shù)的復合過程.一、復合函數(shù)的導數(shù)下面來研究的導數(shù). 顯然這是因為，函數(shù)是由函數(shù)和函數(shù)復合而成的復合函數(shù)，不能直接套用公式.通過分析已注意到； 故，恰好為的導數(shù)，即復合函數(shù)求導法則 如果在點可導，在相應的點可導，則復合函數(shù)在點亦可導，且有或?qū)懗?此法則可敘述為：復合函數(shù)的導數(shù)等于復合函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)定理還可以推廣到含有多個中間變量的復合函數(shù)的情況.設，都可導，則有或案例1 求的導數(shù).解 這里把看作由,復合而成的，因此 案例2 求的導數(shù).解 設，則 .案例3 求（為任意實數(shù)）的

2、導數(shù).解 因為，則可復合成，于是 .案例4 求的導數(shù).解 .案例5 求的導數(shù)解 .案例6 ，求.解 先將分母有理化，得 .案例7 求（，）的導數(shù).解 是的反函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)、可導，又因為所以 .即 .特別地，有.案例8 據(jù)國外媒體報道，秘魯梅爾霍林格古生物學博物館古生物學家近日聲稱，他們在秘魯北部邊境地區(qū)發(fā)現(xiàn)了琥珀化石，這些琥珀中包裹著多種罕見的遠古昆蟲等動物和向日葵種子（如圖2-7）。古生物學家此次共發(fā)現(xiàn)了數(shù)百片琥珀，其中許多琥珀體積較大，有的長度可達到12厘米，琥珀中甚至包含著數(shù)種不同的昆蟲。此次發(fā)現(xiàn)的琥珀中的昆蟲等動物都保存得極為完好，它們種類很多，包括遠古甲蟲、嚙蟲、蒼蠅和蜘蛛。經(jīng)過放

3、射性元素衰變時間可測算出該化石距今2300萬年。現(xiàn)有質(zhì)量為的某衰變元素，經(jīng)過衰變時間以后，所剩質(zhì)量與時間的關(guān)系為：（為常數(shù)），你能求出這個函數(shù)的變化率嗎？這個變化率有何意義？圖2-7解 變化率即為質(zhì)量對時間的導數(shù)：其意義為：質(zhì)量隨時間變化的快慢。案例9由電學知識可以知道對于恒定電流，單位時間通過導體橫截面的電量叫做電流強度，簡稱電流.可以用公式：來計算，其中為通過的電量，為時間.但在實際問題中，常會遇到非恒定電流，例如，正弦交流電就是非恒定的.設正弦交流電的電流從到這段時間通過導線橫截面的電量是時間的函數(shù)，通過導體的瞬時電流實際上就是這段時間內(nèi)通過導體橫截面電流平均值的極限（，即電荷量對時間的

4、導數(shù) .已知正弦交流電通過某導體，其電荷量與時間的關(guān)系為：，其中都是常數(shù)，求電流強度.解 由復合函數(shù)的求導法則可知,.案例10 在氣象探測中，通常用氣球把無線電探空儀攜帶到高空，以便進行溫度、壓力、濕度的探測，該氣球由天然橡膠或氯丁合成橡膠制成，有圓形、梨形等不同形狀(如圖2-8)。球重3001000克，充入適量的氫或氦氣，可升達離地3040。高空氣象站使用的常規(guī)探測氣球升速一般為68米/秒，約上升到30千米高空后自行爆裂。在上升過程中，壓力不斷減小，體積不斷增加，如果體積的增加率為，氣球直徑達到時，請計算氣球半徑增加多快？解 設氣球體積為，半徑為，則體積，于是圖2-8， 解得 ，將帶入上式得

5、 .二、隱函數(shù)的導數(shù)如果之間的函數(shù)關(guān)系是由某一方程確定的，這樣確定的函數(shù)叫做隱函數(shù).例如，由方程所確定的關(guān)于的函數(shù)就是隱函數(shù).相對于隱函數(shù)來說，我們前面討論的形式為的函數(shù)叫做顯函數(shù).有時，我們可以從方程中解出，使隱函數(shù)變成顯函數(shù).如可以解出，由可以解出等等.但是，許多方程無法或很難表示成的顯函數(shù)形式.例如，等.對于隱函數(shù)，可根據(jù)如下方法求導數(shù)：隱函數(shù)求導法則：將方程兩端同時對求導，把關(guān)于的函數(shù)看作的復合函數(shù)，然后從所得的關(guān)系式中解出.案例11 求隱函數(shù)的導數(shù).解 將方程兩端同時對求導，得解出，得案例12 求的導數(shù).解 把寫成.兩邊對求導，得解出，得，由于，所以，于是，即.類似地，可以求出.案例13 求(為常數(shù)