排列數(shù)、組合數(shù)公式及二項式定理地應(yīng)用

1、排列數(shù)、組合數(shù)及二項式定理整理慈濟中學(xué)全椒劉1排列數(shù)公式A：=n(n 1)(n m +1) = (n m)! .( n ,2、排列恒等式mm(1) An =( n - 口1)An;(2)AjnAV； nA1*：；A；（5） AAnm+mAT（6）3、組合數(shù)公式1! 2 2! 3 3! | n n! = (n 1)k1Ann(n -1) (n -m 1)mN，且 m 蘭 n).Cn = Am =12m = m !(n 1 m) ( n N*,m m mC n + Cn =Cn 14、組合數(shù)的兩個性質(zhì)m n _m（1） Cn =Cn ；5、排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系A(chǔ) =m Cnm6、二項式定理：(a

2、b)n =C0an C1an，bCam C：bn(n N )【注】：1. 基本概念: 二項式展開式：右邊的多項式叫做（a - b）n的二項展開式。 二項式系數(shù)：展開式中各項的系數(shù) Cnr （r =0,1,2,n）. 項數(shù)：共（r 1）項，是關(guān)于a與b的齊次多項式通項：展開式中的第r 1項c；an_rbr叫做二項式展開式的通項。 用=C；an_rbr表示。2. 注意關(guān)鍵點：項數(shù)：展開式中總共有 （n 1）項。 順序：注意正確選擇 a, b ,其順序不能更改。（a b）n與（b a）n是不同的。 指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項減到0 ,是降幕排列。b的指數(shù)從0逐項減到n,是升幕排列。各項的次數(shù)和等于n .

3、系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是 c0,c：,c2,c：,c：.項的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項式系數(shù))。3 常用的結(jié)論：令 a =1，b =x,(1 +x)n+C：x +C：x2 +|” + C：xr +il|+C：xn(n 乏 N)令 a=1,b = x, (1 _x)n =C0 _cnx+C：x2+C：xr + 川+(_1)nC：xn( n N*)4.性質(zhì):二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即COnkk _1n _ Cn , Cn _ Cn 二項式系數(shù)和：令 a=b=1,則二項式系數(shù)的和為c0+cn+c2 引 j+cm+cn=2n,變形

4、式 cn +c： +ih +cn +川 +c： =2n 1。 奇數(shù)項的二項式系數(shù)和 =偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令 a=1,b = 1，貝y C； _cn +C； C+IH + lTc； =(1_1)n =0 ,從而得到：C0 C2 Cn -Cn -C1 - C； 川-c；r d =丄 22nJ2 奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：(a+x)n =cOanx0 +Cnanx+C：a2x2 出H +C：axn =a。+ a/+ a?x2+H| + anXn(x +a)n =cOaxn +Cnaxn+C2a2x2 刪| +C；anx務(wù)丁 +川 +a?x2 + a/1 +a。令 x =1,

5、則 a0 a1 a2 a3 川 a (a 1)n令 x = _1,則 ao - a1 a 2 _ a(an = (a-1)- -得,a0 a2 aJH，an二一(a -1)(奇數(shù)項的系數(shù)和) 2-得,a1 a3 a1匸(偶數(shù)項的系數(shù)和)2n 二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的幕指數(shù)n是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)Cf取n n帥得最大值。 如果二項式的幕指數(shù) n是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)Cn2 , Cn2同時取得最大值。 系數(shù)的最大項：求 (a bx)n展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別f Ar A 為a, A2,An 1，設(shè)第r 1項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解Ar

6、Ar 42出r來。7、組合數(shù)公式的應(yīng)用mmmmm： ；1厶式 1Cm+Cm 卑+Cm42+Cm4k_Cm4kd!此公式可由下面方法推得從m + n+1個不同元素中取出m個不同元素的組合數(shù)為 :半先將其分為m n 1個元素中不含其中一個元素可的和含元素 色的兩類而這兩類的組合數(shù)分別為C：與C仁即得C爲(wèi)_黑+ d，依此再將組合數(shù)分為兩類可得 c；： _c；：+ cm哉二，不斷將組合數(shù)上標(biāo)為 m +1的項進(jìn)行如此分類即得公式 1。公式2 Cm.c：+cm.ck+cm.c+c；c：叫金寸此公式可由下面方法推得。k從放在一個盒中的 m個不同黑球與n個不同白球中任取出 k的球的方法種數(shù)為 Cm.n , 將

7、取出的k個球按所含白球數(shù)分類，分為含白球數(shù)為0個，1個，2個.k個共k+1類，取法種數(shù)分別為cm. ck, w, cm. ck,c；c：即得公式2。下面舉例說明以 上兩個公式在數(shù)列求和方面的應(yīng)用。例 1 sn _1 X 2+2 X 3+3 X 4+.+n x (n +1)求 Sn2222解：1X 2+2 X 3+3X 4+ .+n X (n+1)_ 2( c2+C3+C4+ Cn1)Sn _2 Cn 2 _(n 2)(n 1)n3例 2 求 Sn _ 12+ 22 + 32+n2 2C；閂務(wù) 2 ( C；+&+&+ +C：1) _Sn+(n 加23.(n 1)n 得 (n 2)(n 1)n_.

8、 (n 1)n- 2Cn 2_Sn+ 2得3_Sn+ 整理得sn _n(n 1)(2 n 1)例 3 求 Sn _ 13+23+33+n3解： C； 2 =(n 2)( n 1)n6332- 6 cn 2 =n +3n +2n3333、6( C3+C4 + C5+ Cn 2 )=Sn+3n(n 1)(2 n 1)6+2(n - 1)n. 6C43 = S+3n(n 1)(2n1)+2(n 1)n2解出Sn并整理得Sn =2 2(n 1)2 n2445用類似的方法可求出 an=n , an=n，的和。例4 一盒內(nèi)有大小相同的黑球M個，白球N個，從中任取 m個球(m M m N),求含012m-1

9、mP0 mCNCMC1 cmJLc2 cm_2cmc1UN UMm 0CN CMmCM -4NmOm -4NmCM -NmCM -4NmCM -IN有白球的個數(shù)E的數(shù)學(xué)期望。解：由題意E的所有可能取值為0, 1, 2，.,m=分布列為:1/ 1 m J 2 m _2m_J 1m 0E E = m( cn CM +2 Cn Cm + + ( m-1) cn cm +mCN CM )CM N,N(11 m A22 m _2m-1m A 1mm 0E = m(Cn Cm +Cn Cm +-+Cn Cm+ -CnCm )Cm ：:NNNNNEm m m J x(-N CN=CNJ)N /0 m1 m

10、_2m_21, m J. 0、E E =( CnCm+ CnCm + + Cn jCm + Cn jCm)mCm n ee=NmCM Nm_Cn m=NmCM NNmM N(此為超幾何分布的數(shù)學(xué)期望)8二項式定理的應(yīng)用：題型一：二項式定理的逆用；例:C1 - Cn 6 c3 6 1 Cn 6n -.解:(16)n -C0 - C16 Cn62 -c3 -61- Cn 6n與已知的有一些差距，cn +C； 6+C；62+川+C；6n-*6+C： 6| + 0； 6n)6111(C： cn 6 C： 62 川 C： 6n -1) = (1 6)n-1 = (7n-1)666練:c： 3C2 9C3

11、 jn 3n，cn 二解:設(shè) Sn =cn +3C：+9C3 +111 + 3立：，貝y3Sn =C：3 + C；32 +C；33 +|+謝=C； +Cn3 + C；32+C；33+Hiy 3n1 = (1 + 3)n 1Sn(1 3)n -14n -1題型二：利用通項公式求 xn的系數(shù);例：在二項式（4 1 3X2）n的展開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為45,求含有X3的項的系數(shù)？解：由條件知 Cn= 45，即 C =45，n2-n-90 = 0，解得 n = -9（舍去）或n =10,由1210 丄詔r/ic , cTr 1 二C；0（xN）10（x3）r 二C；0X丁由題意 -一y丄-3,解得

12、r =6，43則含有X3的項是第7項T6.1二g6）x3 =210x3 ,系數(shù)為210 。1練：求（x2）9展開式中x9的系數(shù)？2x解: Tr1 =C9（x2）9（-）r 二c9x182（E）rx二C9（Trx18r，令 18-39,則r =3931321故x的系數(shù)為Cg（）-一。2 2題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例：求二項式2 1 10 (x +加的展開式中的常數(shù)項?解:r /2、10 丄Tr 1 = C10 (x )5120 tr)r =C；(1)rx 2，令 202得r =8，所以T9 My452561 6練：求二項式（2x）的展開式中的常數(shù)項?2x解: Tr 1 七（2嚴(yán)（刃22冗）

13、，令 6-2二。，得-3，所以T4 =(-1)3C3 -20A練：若（X2 + ）n的二項展開式中第5項為常數(shù)項，則n =.x解: T5 二 CjU1）4 二 C：x2n2，令 2n -12 =0，得 n =6.x題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項；例：求二項式.,x -3 x）9展開式中的有理項？112727 _r解：1 =Cj（x2）9 丄（_x3）r =（1）rC；x 6 ，令Z,（ 0 汀乞9）得 r =3 或 r =9，627 r所以當(dāng) r =3 時，4 , 二（-1）3C；x4 二-84x4，6當(dāng) r =9 時，27，T10 =（一1）9學(xué)3 =-x3。6題型五：奇數(shù)項的二

14、項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；若 C，x2n展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為-256，求 n.解:設(shè)（F話）展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為a0, ai,an ,令x = -1,則有a0 - a、an二0,，令x = 1,則有30-ai-a3_1) a* = 2 ,將-得：2佝 a3a5-2n,. a a3a5二-2n,n _18-2 二-256 = 2 , n = 9。有題意得,的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為1024，求它的中間項。解：7C0- Cn2-Cnc2-C1-Cn Cnr=2心，2心=1024，解得 n =11所以中間兩個項分別為 n =6, n=7，T5廠C；（3 1 ）6（.5 12 f

15、 = 462 x4，_61T6462題型六：最大系數(shù)，最大項；1例：已知（一2x）n，若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展2開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？解：TC： Cn6 =2C；,.-21 n，98=0,解出門=7或門=14,當(dāng)n= 7時，展開式中二1 35項式系數(shù)最大的項是 T4和T5. T4的系數(shù)=C3（）423 = ，2 2T5的系數(shù)=C；（1）324 = 70,當(dāng)n =14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T8,.T8的系數(shù)二 C：4（ ）727 =3432 。2練：在（a b）2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？解：二項式的幕指數(shù)是偶數(shù)2n，則中

16、間一項的二項式系數(shù)最大，即T2n二Tnj，也就是第12n V項。在（2_X）n的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多少?解：只有第5項的二項式最大，則 - 5，即卩n =8,所以展開式中常數(shù)項為第七項等于2C：（1）72例：寫出在（a -b）7的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？解：因為二項式的幕指數(shù) 7是奇數(shù)，所以中間兩項（第4,5項）的二項式系數(shù)相等， 且同時取得最大值，從而有 T4=-C；a4b3的系數(shù)最小，T5二C；a3b4系數(shù)最大。1例：若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求（2x）n的展開式中系數(shù)最大的項？21 1解：由cgy解出-12,假設(shè)臥項最大，；r

17、xr）12（1+4x）12化簡得到9.4 _r _10.4，又;0 r 乞 12，Ar Ar CM 一 CW宀 1 一人 J C；2 4r _C；214r1r =10，展開式中系數(shù)最大的項為T11,有T1（1）12C112410x116896x10例：在（x-y）7的展開式中，系數(shù)絕對值最大項是解：求系數(shù)絕對最大問題都可以將“（a-b）n ”型轉(zhuǎn)化為（a - b）n型來處理,故此答案為第4項c；x3y4，和第5項一 c；x2y5。練：在（1 - 2x）10的展開式中系數(shù)最大的項是多少？解：假設(shè)Tr 1項最大，:Tr 1二C；0 2rxrAr 1 - ArAr 1 Ar 20；2-C；042C；

18、02r -C；012r -Ar 1解得2(11 - r) r r 1 2(10 - r)，化簡得到6.3乞k乞7.3，又；Or乞10 , . r =7，展開式中系數(shù)最大的項為T8 二 G7027x7 = 15360x7.題型七：含有三項變兩項；例：求當(dāng)(x23x 2)5的展開式中x的一次項的系數(shù)？解法：(x2 3x 2)5 =(x2 2) 3x5，Tr C5(x2 2)5_c(3x)r，當(dāng)且僅當(dāng) r =1 時,Tr斗的展開式中才有x的一次項，此時T =T2 =C5(x2 +2)43x，所以x得一次 項為 C；C：243x它的系數(shù)為C5C：243 = 24O。解法：(x2 +3x 十2)5 =(

19、x+1)5(x 十2)5 =(C?x5 +C；x4 +C5)(C5X5 +C；x42十十 C；25) 故展開式中含x的項為C；xC?25 C；x24 =240x，故展開式中x的系數(shù)為240.練：求式子(x-2)3的常數(shù)項?解:(xr 1項為常數(shù)項，則rr 6 r 1 r6 r 62rc ccTj=C6(1)|x(口)=(1) C6 x ，得 6 2r=0,r=3,|x|T31 =(-1)3C； 20.題型八：兩個二項式相乘；例：求(1 2x)3(1-X)4展開式中x2的系數(shù).解：(1 2x)3的展開式的通項是C (2x)m=C 2m xm,(1-x)4的展開式的通項是 C4 Cx)C4 -1n

20、 xn,其中m=0,1,2,3,n =0,1,2,3,4,令m n =2,則m =0且n = 2,m =1且n =1,m 二 2且n = 0,因此(1 2x)3(1x)4的展開式中 x2的系數(shù)等于 C0 20 C(-1)2 +c3 Q c4 (-1)1 +C； 22 C41)。=-6練:求(1 3 X)6(i1)104x)展開式中的常數(shù)項mn4m_3 n解:(1 3 x)6(1 41 )10展開式的通項為 CjxCoX萬二Qin0 yFJx其中 m =0,1,2, ,6 ,n= 0,1,2, ,10,當(dāng)且僅當(dāng) 4m = 3n,即m = 或! 3,或n = 0,in = 4,n = 8,時得展開

21、式中的常數(shù)項為C60 G0。- c3 G： - c6 C；0 =4246.練：已知(1+x+x2)(x+y)n的展開式中沒有常數(shù)項，n N*且2蘭門乞8,則門=.x解：(x y)n展開式的通項為cn -xn xcn -xnr,通項分別與前面的三項相乘可得xcn対曲心 対八心 乂*2,：展開式中不含常數(shù)項，2 5乞8.n=4r且n - 4r -1且n - 4r 2,即卩 n - 4,8且n - 3,7且n - 2,6, n =5.題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和；例：在(x-T2)2006的二項展開式中，含x勺奇次幕的項之和為S,當(dāng)X = 時,s =解： 設(shè)(x _ 、. 2) 2006

22、=a0 - a/1 a2X2 - asX3 川.82006x2006 (-x - 2) 2006=a -x1 82x83x11 a2006X2006 -得 2(a1x 盼3 a5x5 出a2005x2005) = (x - 2) 2006 -(x2)2006 (x-、2 ) 2006展開式的奇次幕項之和為S(x)=丄&-、一2)2006 -(x2 ) 200623 2006當(dāng)x、2時，SC，2) J( .2i 2 ) 2006 2 , 2 ) 2006=-Z230082 2題型十：賦值法；例：設(shè)二項式(33X - !)n的展開式的各項系數(shù)的和為p，所有二項式系數(shù)的和為s,若xp s = 272 ,則n等于多少?解:若(33 x - 2)n = a0 - a1x - a2x2 宀宀 anxn，有 P = a0an，xS=C；弋：=2n，令 x =1 得 p =4n，又 p s=272,即 4n 2n =272二(2n 17)(216