北師大九上 13 線段的垂直平分線1性質(zhì)定理與判定定理

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）第一章 證明(二)3.線段的垂直平分線（1）性質(zhì)定理與判定定理陽(yáng)泉市義井中學(xué)陽(yáng)泉市義井中學(xué) 高鐵牛高鐵牛駛向勝利的彼岸線段的垂直平分線w我們?cè)?jīng)利用折紙的方法得到我們?cè)?jīng)利用折紙的方法得到: :w線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等. .w你能證明這一結(jié)論嗎你能證明這一結(jié)論嗎? ?回顧 思考已知已知: :如圖如圖,ac=bc,mnab,p,ac=bc,mnab,p是是mnmn上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn). .求證求證: :pa=pb.pa=pb.acbpmn分析:(1)要證明pa=pb,而apcbpc的條件由已知 故結(jié)論可證.老

2、師期望:你能寫出規(guī)范的證明過(guò)程.ac=bc,mnab,ac=bc,mnab,可推知其能滿足公理（可推知其能滿足公理（sassas）. .就需要證明pa,pb所在的apcbpc，駛向勝利的彼岸幾何的幾何的三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言w定理定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等距離相等. .老師提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等的根據(jù)之一.開啟 智慧acbpmnw如圖如圖, ,wac=bc,mnab,pac=bc,mnab,p是是mnmn上任上任意一點(diǎn)意一點(diǎn)( (已知已知),),wpa=pb(pa=pb(線段垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩

3、個(gè)端點(diǎn)距離的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等相等).).進(jìn)步的標(biāo)志進(jìn)步的標(biāo)志駛向勝利的彼岸思考分析w你能寫出你能寫出“定理定理 線段垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等”的逆命題嗎的逆命題嗎? ?w逆命題逆命題 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,在這條在這條線段的垂直平分線上線段的垂直平分線上. .w它是真命題嗎它是真命題嗎? ?abp如果是如果是. .請(qǐng)你證明它請(qǐng)你證明它. .已知已知: :如圖如圖, ,pa=pb.pa=pb.求證求證: :點(diǎn)點(diǎn)p p在在abab的垂直平分線上的垂直平分線上. .分析分析: :要

4、證明點(diǎn)要證明點(diǎn)p p在線段在線段abab的的垂直垂直平分平分線線上上, ,可以先作出過(guò)點(diǎn)可以先作出過(guò)點(diǎn)p p的的abab的的垂線垂線( (或或abab的的中點(diǎn)中點(diǎn), ,),),然后證明另一個(gè)結(jié)論正確然后證明另一個(gè)結(jié)論正確. .想一想想一想: :若作出若作出pp的角平分線的角平分線, ,結(jié)論是結(jié)論是否也可以得征否也可以得征? ?駛向勝利的彼岸逆定理逆定理 我能行我能行w逆定理逆定理 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,在在這條線段的垂直平分線上這條線段的垂直平分線上. .acbpmnw如圖如圖, ,wpa=pb(pa=pb(已知已知),),w點(diǎn)點(diǎn)p p在在abab的

5、垂直平分線上的垂直平分線上( (到一條到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,在這條在這條線段的垂直平分線上線段的垂直平分線上).).老師提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn))的根據(jù)之一.從這個(gè)結(jié)果出發(fā),你還能聯(lián)想到什么?駛向勝利的彼岸尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 做一做做一做l已知:線段ab,如圖.l求作:線段ab的垂直平分線.l作法:l用尺規(guī)作線段的垂直平分線用尺規(guī)作線段的垂直平分線. .l1.分別以點(diǎn)a和b為圓心,以大于ab/2長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)c和d.abcdl2. 作直線cd.l則直線cd就是線段ab的垂直平分線.請(qǐng)你說(shuō)明cd為什么是ab的垂直平分線

6、,并與同伴進(jìn)行交流.老師提示:因?yàn)橹本€cd與線段ab的交點(diǎn)就是ab的中點(diǎn),所以我們也用這種方法作線段的中點(diǎn).挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)駛向勝利的彼岸l如圖,已知ab是線段cd的垂直平分線,e是ab上的一點(diǎn),如果ec=7cm,那么ed= cm;如果ecd=600,那么edc= 0.老師期望:你能說(shuō)出填空結(jié)果的根據(jù).edabc760夢(mèng)想成真 試一試試一試p271.已知直線和上一點(diǎn)p,利用尺規(guī)作的垂線,使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)p.p l回味無(wú)窮w 定理定理 w 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等兩個(gè)端點(diǎn)距離相等. .w 如圖如圖, ,w ac=bc,mnab,pa

7、c=bc,mnab,p是是mnmn上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)( (已知已知),),w pa=pb(pa=pb(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等).).w 逆定理逆定理 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)相等的點(diǎn), ,在這條線段的垂直平分在這條線段的垂直平分線上線上. .w 如圖如圖, ,w pa=pb(pa=pb(已知已知),),w 點(diǎn)點(diǎn)p p在在abab的垂直平分線上的垂直平分線上( (到一條到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,在這在這條線段的垂直平分線上條線段的垂直平分線上).).小結(jié) 拓展acbpmn知識(shí)的升華獨(dú)立獨(dú)立作業(yè)作業(yè)p9習(xí)題1.5 1,2,3題.祝你成功！習(xí)題1.5 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w1.利用尺規(guī)作出三角形三條邊的垂直平分線. w老師期望:w先分別作出不同形狀的三角形,再按要求去作圖.習(xí)題1.5 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w2. 如圖,a,b表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù),要在a,b一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭,使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等,碼頭應(yīng)建造在什么位置？ 老師期望:養(yǎng)成用數(shù)學(xué)解釋生活的習(xí)慣. ab習(xí)題1.4 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w3.如圖,在abc中,已知ac=27,ab的垂直平分線交ab于點(diǎn)d,交ac于點(diǎn)e,b