教案151曲邊梯形的面積(教案)

1、1.5.1曲邊梯形的面積 一、目標(biāo)導(dǎo)學(xué)教學(xué)目標(biāo):通過對曲邊梯形面積的探求，掌握好求曲邊梯形的面積的四個步驟分割、以曲代直、逼近、求和；進一步感受有限與無限的聯(lián)系和極限的思想在數(shù)學(xué)和實踐中的應(yīng)用；通過求曲邊梯形的面積，掌握劃歸和極限的數(shù)學(xué)思想方法運用。教學(xué)重點：求曲邊梯形的面積。教學(xué)難點：深入理解“分割、以曲代直、求和、逼近”的思想。教學(xué)過程：二、自主探究1.求下圖中陰影部分的面積： 2.對于哪些圖形的面積，大家會求呢？三、交流點撥（一）問題引入：對于，圍成的圖形（曲邊三角形）的面積如何來求呢？（一問激起千層浪，開門見山，讓學(xué)生明確本節(jié)課的所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，對于學(xué)生未知的東西，學(xué)生往往比較好奇，激

2、發(fā)他們的求知欲）今天我們一起來探究這種曲邊圖形的面積的求法。（二）學(xué)生活動1、讓學(xué)生自己探求，討論（34分鐘）2、讓學(xué)生說出自己的想法希望學(xué)生說出以O(shè)AB的面積近似代替曲邊三角形的面積，但誤差很大，如何減小誤差呢？希望學(xué)生討論得出將曲邊三角形進行分割，形成若干個曲邊梯形。（在討論的過程中滲透分割的思想）問題：如何計算每個曲邊梯形的面積呢？（通過討論希望學(xué)生能出以下三種方案，在討論的過程中，讓學(xué)生想到以直代曲，給學(xué)生創(chuàng)新的機會）方案一 方案二 方案三方案一：用一個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的越多，三角形的面積越小，小矩形的面積就可以近視代替曲邊梯形的面積。方案二：用一個大矩形的面

3、積來近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的越多，三角形的面積越小，大矩形的面積來近似代替曲邊梯形的面積。方案三：以梯形的面積來近似代替曲邊梯形的面積。（對于其中的任意一個曲邊梯形，我們可以用“直邊”來代替“曲邊”（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲），這三種方案是本節(jié)課內(nèi)容的核心，故多花點時間引導(dǎo)學(xué)生探求，討論得出，讓學(xué)生體會“以曲代直”的思想，從近似中認(rèn)識精確，給學(xué)生探求的機會）總結(jié)：這樣，我們就可以計算出任意一個小曲邊梯形的面積的近似值，從而可以計算出整個曲邊三角形面積的近似值，（求和），并且分割越細(xì)，面積的近似值就越精確，當(dāng)分割無限變細(xì)時，這個近似值就無限逼近所求的曲邊三角形的面積。如何求這個曲邊三角

4、形的面積，以方案一為例：分割細(xì)化將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個區(qū)間的長度為（學(xué)生回答），過各個區(qū)間端點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，它們的面積分別記作，。以直代曲對區(qū)間上的小曲邊梯形，以區(qū)間左端點對應(yīng)的函數(shù)值為一邊的長，以為鄰邊的長的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。即（當(dāng)分割很細(xì)時，在上任一點的函數(shù)值作為矩形的一邊長都可以，常取左右端點或中點，這樣為以后定積分的定義埋下了伏筆，為學(xué)生的解題提供了方法）作和因為每個小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以個小矩形面積之和就是所求曲邊三角形面積的近似值：=（復(fù)習(xí)符號的運用） 逼近當(dāng)分割無限變細(xì)時，即無限趨近于（趨向于） 當(dāng)趨向時，無限

5、趨近于，無限趨近于，故上式的結(jié)果無限趨近于，即所求曲邊三角形面積是。（在逼近的過程中，難點是求在此應(yīng)給學(xué)生一些時間探求自然數(shù)的平方和，最好在講數(shù)列知識時補充進去。新教材有很多知識點前后順序編排的有所不妥，有好多知識應(yīng)該先有伏筆，而不是要用到什么就補充什么，在研究解析幾何中直線部分時，這個問題也有所體現(xiàn)）3、分成兩組，分別以方案二、方案三按上述四個步驟重新計算曲邊三角形的面積，并將操作過程和計算結(jié)果與方案一進行比較。（設(shè)計的目的是培養(yǎng)學(xué)生的合作交流的能力，優(yōu)化解題方案） 四、拓展建構(gòu)例1. 求由直線y=2x+1與直線x=0,x=1和y=0所圍成的平面圖形的面積S【解】（1）分割 在區(qū)間 0,1上

6、等間隔地插入n-1個點，將它等分成n個小區(qū)間： 分別過上述n-1個分點作垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形。它們的面積記作（2）近似代替 記f(x)=2x+1,當(dāng)n很大時，第i個小曲邊梯形的面積 可以用小矩形（以為底，為高）的面積近似代替，則有： （3）求和（4）取極限 當(dāng)n趨向于無窮大時，趨向于S,從而有： S=五、梯度訓(xùn)練1.函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間【（i-1）/n,i/n】上（ ）A. f(x)的值變化很小 Bf(x)的值變化很大Cf(x)的值不變化 D當(dāng)n很大時，f(x)的值變化很小2.由y=x,x=0,x=1,y=0圍成圖形的面積為 3. 求直線x=0,y=0與曲線 所圍成的曲邊梯形

7、的面積。六、跟進反思：1.5.2汽車行駛的路程主備人：趙秀娟 審核人：王甜甜 時間：一、目標(biāo)導(dǎo)學(xué)教學(xué)目標(biāo)：1體會求汽車行駛的路程有關(guān)問題的過程； 2感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼近）。3了解求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程的共同點；教學(xué)重點：掌握過程步驟：分割、以不變代變、求和、逼近（取極限）教學(xué)難點：過程的理解教學(xué)過程：二、自主探究 1連續(xù)函數(shù)的概念；2求曲邊梯形面積的基本思想和步驟；利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運動路程與時間的關(guān)系，求物體運動速度”的問題反之，如果已知物體的速度與時間的關(guān)系，如何求其在一定時間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？三、交流點撥

8、問題引入：汽車以速度組勻速直線運動時，經(jīng)過時間所行駛的路程為如果汽車作變速直線運動，在時刻的速度為（單位：km/h），那么它在01(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？ 分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題把區(qū)間分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值（思想：用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運動的路程）1分

9、割在時間區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間： ， 記第個區(qū)間為，其長度為把汽車在時間段，上行駛的路程分別記作： ，顯然， 2. 近似代替當(dāng)很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時間段上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時刻處的速度作勻速直線運動，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 3. 求和由，=從而得到的近似值 4. 取極限當(dāng)趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有 思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程

10、與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？結(jié)合上述求解過程可知，汽車行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在ab內(nèi)所作的位移四、拓展建構(gòu)例1彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長所作的功 分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解解： 將物體用常力沿力的方向移動距離，則所作的功為（1）分割在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間： ， 記第個區(qū)

11、間為，其長度為把在分段，上所作的功分別記作： ，（2）近似代替有條件知： （3）求和=從而得到的近似值 （4）取極限所以得到彈簧從平衡位置拉長所作的功為：五、梯度訓(xùn)練1、作勻速（v）直線運動的物體在【0,6】這段時間內(nèi)，物體所運動的路程S= 2、已知自由下落物體的速度為v=gt，則物體從t=0到t=t0走過的路程 六、跟進反思：1.5.3定積分的概念主備人：趙秀娟 審核人：王甜甜 時間：一、目標(biāo)導(dǎo)學(xué)教學(xué)目標(biāo)：通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程，了解定積分的背景；借助于幾何直觀定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分法求簡單的定積分3理解掌握定積分的幾何意義；教學(xué)重點：定積分的概念、

12、定積分法求簡單的定積分、定積分的幾何意義教學(xué)難點：定積分的概念、定積分的幾何意義教學(xué)過程：二、自主探究 復(fù)習(xí)： 1 回憶前面曲邊圖形面積，變速運動的路程，變力做功等問題的解決方法，解決步驟：分割以直代曲求和取極限（逼近 2對這四個步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點三、交流點撥1定積分的概念 一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上取一點，作和式：如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為： 其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。說明：（1）定積分是一個常數(shù)，即無限趨近

13、的常數(shù)（時）稱為，而不是 （2）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運動路程；變力做功 2定積分的幾何意義 說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負(fù)號（可以先不給學(xué)生講）分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值。考察和式不妨設(shè)于是和式即為陰影的面積陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）2定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1 性質(zhì)2 （其中k是不為0的常數(shù)） （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3 （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4 （定積分對積分區(qū)間的可加性）說明：推廣： 推廣: 性質(zhì)解釋：性質(zhì)4性質(zhì)112yxo四、拓展建構(gòu)例1計算定積分分析：所求定積分即為如圖陰影部分面積，面積為。即：變式練習(xí)：1 解：2 解：例2計算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到。ABCDO解：，所以兩曲線的交點為（0，0）、（1，1），面積S=，所以=【點評】在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個步驟：1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的