圓和圓的位置關(guān)系 首師大版 教案

1、圓和圓的位置關(guān)系一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 圓和圓的位置關(guān)系 掌握與兩圓位置關(guān)系有關(guān)的解題方法。由于兩圓的位置關(guān)系所涉及的知識(shí)中，直接可利用的知識(shí)太少，因此也就形成了獨(dú)特的解題方法，即把兩個(gè)圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圓的方法。這就要求我們能夠依據(jù)不同的位置關(guān)系，形成不同的轉(zhuǎn)化方法。知識(shí)要點(diǎn) 1. 圓與圓的位置關(guān)系及相關(guān)的數(shù)量關(guān)系 （1）外離：圓心距大于兩圓半徑之和，即dRr，內(nèi)公切線(xiàn)2條，外公切線(xiàn)2條。 （2）外切：dRr，內(nèi)公切線(xiàn)1條，外公切線(xiàn)2條。 （3）相交：RrdRr（Rr），內(nèi)公切線(xiàn)0條，外公切線(xiàn)2條。 （4）內(nèi)切：dRr（Rr），內(nèi)公切線(xiàn)0條，外公切線(xiàn)1條。 （5）內(nèi)含：dRr（Rr），內(nèi)公切線(xiàn)

2、0條，外公切線(xiàn)0條。 2. 連心線(xiàn)是指通過(guò)兩圓圓心的一條直線(xiàn)，圓心距是指連心線(xiàn)上兩圓心之間線(xiàn)段的長(zhǎng)度。 3. 若兩圓相切（內(nèi)、外切），則切點(diǎn)一定在連心線(xiàn)上。 4. 相交兩圓的連心線(xiàn)，垂直平分公共弦。 5. 兩圓若有兩條外公切線(xiàn)，或內(nèi)公切線(xiàn)，則這兩條外公切線(xiàn)或內(nèi)公切線(xiàn)的長(zhǎng)相等，且兩條公切線(xiàn)的交點(diǎn)在連心線(xiàn)上。 6. 若兩圓相外切，則它們的連心線(xiàn)與內(nèi)公切線(xiàn)互相垂直。 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)是兩圓的位置關(guān)系與圓心距及兩圓的半徑的數(shù)量關(guān)系，還有兩圓的公切線(xiàn)。 2. 難點(diǎn)是上述知識(shí)的靈活運(yùn)用。 注意：這部分知識(shí)中解題需做輔助線(xiàn)時(shí)，一般有如下規(guī)律：一是遇到兩圓相交時(shí)做公共弦，二是遇到兩圓相切時(shí)做公切

3、線(xiàn)?！镜湫屠}】 例1. 如圖1所示，半徑為R的O與半徑為r的O1外切于點(diǎn)P（Pr），直線(xiàn)AB為兩圓的外公切線(xiàn)，切點(diǎn)為A、B。 求證：AB是兩圓直徑的比例中項(xiàng) 證明：如圖，連結(jié)OO1、OA、O1B，作O1COA于C AB為O與O1的公切線(xiàn) OAAB，O1BAB 又O1COA，四邊形ABO1C為矩形 2R為O直徑，2r為O1直徑，且O1CAB AB為兩圓直徑的比例中項(xiàng) 例2. 已知O1與O2相交于B、C兩點(diǎn)，A是O1上一點(diǎn)，AF切O1于點(diǎn)A，延長(zhǎng)AB、AC交O2于D、E兩點(diǎn)。 求證：AF/DE 分析：兩圓相交一般先作出公共弦，通過(guò)公共弦就能把兩個(gè)圓聯(lián)系起來(lái)，要證AF/DE，就要找相等的角，即FA

4、DADE，通過(guò)弦切角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，借助于A(yíng)CB為過(guò)渡的角就能推出FADADE。 證明：連結(jié)BC，AF為O1的切線(xiàn)，F(xiàn)ADACB 四邊形BCED為O2的內(nèi)接四邊形，ACBD FADD AFDE 例3. 如圖3，O與O'外離，AB、CD是內(nèi)公切線(xiàn)，OO'是圓心距，若O半徑為4，O'半徑為6，OO'20，求兩條內(nèi)公切線(xiàn)所夾銳角及內(nèi)公切線(xiàn)的長(zhǎng)。 解：連結(jié)OA、O'B，且過(guò)O點(diǎn)作OEO'B交延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn) AB是內(nèi)公切線(xiàn)，OAAB，O'BAB 四邊形AOEB是矩形 小結(jié)：此題涉及到矩形、勾股定理等知識(shí)，還有內(nèi)公切線(xiàn)長(zhǎng)相等的概念。 例4. 如圖

5、4，O與O'內(nèi)切于P，O的弦AB切O'于C。 求證：PC平分APB 證明：過(guò)P點(diǎn)作兩圓的公切線(xiàn)MN 例5. 如圖5，O與O'交于A(yíng)、B點(diǎn)，AC是O的直徑，連結(jié)CB并延長(zhǎng)交O'于E。若AC12，BE30，BCAD。求DE的長(zhǎng)及C的度數(shù)。 分析：此題涉及到相交兩圓的概念、相似三角形、勾股定理等知識(shí)；因?yàn)榍蠼馐菙?shù)量問(wèn)題，需借助相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為方程，提供轉(zhuǎn)化的工具是相似比和勾股定理。 解：連結(jié)AB A、B、E、D四點(diǎn)共圓，ABCD 知識(shí)小結(jié) 當(dāng)我們研究的命題涉及到兩個(gè)相交圓的角的關(guān)系時(shí)，為了溝通關(guān)系往往需要添加公共弦。 當(dāng)兩圓相切時(shí)，研究的問(wèn)題與角相關(guān)，往往需要構(gòu)造弦切角，添加過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)。 如果求解的是數(shù)量問(wèn)題，需要借助相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為方程，提供轉(zhuǎn)化工具的可以是相似比及勾股定理、射影定理等。開(kāi)闊思路 在模擬測(cè)試二中，解答題的第4小題還有兩種證明方法： 證法一：連結(jié)OF交C于N，連結(jié)O