《第七節(jié)正弦定理和余弦定理》學(xué)案

1、正弦定理和余弦定理適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)高三適用區(qū)域新課標(biāo)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)60分鐘知識(shí)點(diǎn)使用正弦定理要注意的問(wèn)題 解的個(gè)數(shù)問(wèn)題已知兩邊和其中一邊的對(duì)角問(wèn)題 已知兩角一邊問(wèn)題三角形的面積公式使用余弦定理要注意的問(wèn)題 已知兩邊與夾角問(wèn)題已知三邊問(wèn)題 正、余弦定理的綜合運(yùn)用學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)1、正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用；2、在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；3、三角形各種類型的判定方法學(xué)習(xí)難點(diǎn)正、余弦定理的靈活應(yīng)用21 / 20學(xué)習(xí)過(guò)程復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)回憶在三角函數(shù)中學(xué)過(guò)的公式A.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式:B.三角函

2、數(shù)的兩角和或差公式:C.三角函數(shù)的二倍角公式:D.三角函數(shù)的輔助角公式:知識(shí)講解考點(diǎn)1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容abc=2R sin A sin B sin C2 . 2 2_, . . 2 2 2 a = b + c 2bccos A ;b = a + c 2accos B ;c2 = a2+ b2 2abcos C變形形式 a = 2Rsin A, b = 2Rsin_B, c = 2Rsin_Cabc sin A = 2R, sin B = 2R, sin C = 2R（其中 R是ABC外接圓半徑） a : b : c = sin_A : sin_B : sin_C as

3、in B = bsin A, bsin C = csin B, asin C = csin Ab2 + c2 a2cos A= 2bca2 + c2 b2cos B = 2aca2 + b2 c2cos C 二 2ab解決三角形的問(wèn)題 已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊. 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他 兩角. 已知三邊，求各角； 已知兩邊和它們的夾角，求第三邊 和其他兩個(gè)角考點(diǎn)2 在 ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形41/scc仝 A-* W關(guān)系式a= bs in Absin Av av ba為a> ba<b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解

4、例題精析【例題1】cos 2cos 2cacos B【題干】 在ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知二:石.文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索求黠的值;1若cos B = 4， ABC的周長(zhǎng)為5,求b的長(zhǎng).a b c【解析】由正弦定理，設(shè)snC=k,文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索ksin B則晉二2ksinkCiBsin2sinCBsin A,文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索bksin Bsin Bcos A2cos C 2sin C sin Acos B所以二7；=,文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索sin B即(cos A2cos C)s in B = (2s in C sin A)cos B,化簡(jiǎn)可得 sin(A+ B)

5、 = 2sin(B+ C).又因?yàn)锳+B+ C = n所以sin C = 2sin A.因此2.文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索sin A由snA2得c= 2a.由余弦定理及cos B =寸得文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索b2= a2+ c2-2accos Ba2 + 4a2 4a2X4 = 4/所以b = 2a.又a+b+ c= 5,從而a= 1.因此b= 2.【例題2】【題干】 在 ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊，且2asin A= (2b c)sin B+ (2c b)sin C.文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索求角A的大??；若sin B + sin C = Q3,試判斷 ABC的形狀.【解析】 2a

6、si n A= (2b c)s in B+ (2c b)si n C,得 2a2 = (2b ©b+ (2c b)c,即卩 bc= b2+ c2 a2,.2,2 2 ,b + c a 1。cos A=-,A A= 60 .文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索2bc 2 A+B+ C= 180° B+ C= 180° 60°= 120°.由sin B+sin C = 3,得sin B+ sin(120 B) = d3,文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索sin B + sin 120 Cos B cos 120 Sin B = V3.二|sin B +當(dāng)cos B =心，即卩sin

7、(B+ 30°) = 1.文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索又 0°vBv 120°, 30°vB + 30°v 150°, B+ 30°= 90°,即 B= 60°. A= B= C = 60°, ABC 為正三角形.【例題3】【題干】 已知a, b, c分別為 ABC三個(gè)內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，acos C + 73asin C b c= 0.文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索求A;若a = 2, ABC的面積為/3,求b, c.【解析】（1 ）由acos C+ f3asin C b c= 0及正弦定理得sin Acos

8、 C+ Q3si n Asin C sin B sin C = 0.因?yàn)閚 A C,所以西sin Asin C cos Asin C sin C = 0.由于sin Cm0,所以si門卜一2*文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索n又 0< Av n 故 A= 3.1 ABC的面積S= 2bcsin，故bc= 4.文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索而 a2= b2+ C 2bccos A,故 b2 + c2= 8.解得b = c= 2.【例題4】【題干】（2012江西高考）（本小題滿分12分）在ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c已知A=寸,bsi門（+ Cjn 1csin（4+ B尸a.文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索

9、n(1)求證：B- C = 2；若a=y（2，求 ABC的面積.【解析】（1）證明：由 bsin（4+ CJ-csin£+ B= a，應(yīng)用正弦定理，得 sin Bsin£+ Cj sin Csinf b= sin A，sinB （爲(wèi) C + ¥cos CJ-sin Csin B + cos B = ¥，?（3 分）文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索整理得 sin Bcos C cos Bsin C= 1,即 sin（B C）= 1, ?（5 分）3n由于 0<B, C<4 n 從而 B c = 2.?（6 分）3 n5 n n 八（2）B + C= n A=

10、才，因此B= g，C = 8.?（8分）文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索由a =邁，A= n，得b=asnBM2sin 彊 文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索asin C . n八c= sin A = 2sin 8，?（10 刀）所以 ABC的面積S= 2bcsin A=U2sini舟.？ 分）文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索課堂運(yùn)用基礎(chǔ)】1. （2012上海高考）在ABC中，若sin2A+ sin2Bv sin2C，則 ABC的形狀是（）文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索A .鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D 不能確定B. 2D.4 文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索2. 在 ABC中，AC =曲，BC = 2, B = 60°貝U BC邊上的高等

11、于（）A豎c. 23. 在 ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c,已知8b= 5c, C = 2B,則cos C =()文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索a.2524d.25B- 25C ±25【鞏固】文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索4. （2012福建高考）已知 ABC的三邊長(zhǎng)成公比為V2的等比數(shù)列，貝U其最大角的余弦值為文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索5. 在 ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，AB= 2, AC= 1, / BAD= 30°貝U AD的長(zhǎng)度為【拔高】a、6. 已知A、B、C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為 a、b、c,且+ cos A= 0.文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索求角A的值;若a = 23, b+ c= 4,求ABC的面積.7. （2012 江 蘇高考）在 ABC