《物理學(xué)教學(xué)》iv

1、Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在剛體上點(diǎn)作用在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)平面內(nèi), 為由點(diǎn)為由點(diǎn)O 到力的到力的作用點(diǎn)作用點(diǎn) P 的徑矢的徑矢 . FrFrM 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFF 一一 力矩力矩 MzOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中

2、其中 對轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故矩為零，故 對轉(zhuǎn)軸的對轉(zhuǎn)軸的力矩力矩zFF3） 剛體內(nèi)作用力和剛體內(nèi)作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM 例例1 有一大型水壩高有一大型水壩高110 m、長、長1000m，水深，水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示水面與大壩表面垂直，如圖所示 . 求作用在大壩上的力，求作用在大壩上的力，以及這個力對通過大壩基點(diǎn)以及這個力對通過大壩基點(diǎn) Q 且與且與 x 軸平行的力矩軸平行的力矩 . 解解 設(shè)水深設(shè)水深h，壩長，壩長L，在壩面上取面積元，在壩面上取面積元 作用在此面積元上的力作用在此面積

3、元上的力yLAdd ypLApFdddyOhyxAdydQyOx)(0yhgpp令大氣壓為令大氣壓為 ，則，則 0pyLyhgpFd)(d0200021d)(gLhLhpyLyhgpFh代入數(shù)據(jù)，得代入數(shù)據(jù)，得N1091. 510FypLApFdddyOhyxAdyd100m hm1000LFyMddyLyhgpyMd)(d03206121LhgLhphyLyhgpyM00d)(代入數(shù)據(jù)，得代入數(shù)據(jù)，得mN1014. 212M 對通過點(diǎn)對通過點(diǎn) Q 的軸的力矩的軸的力矩FdyQOhyydFdyLyhgpFd)(d0100m hm1000LOrmz二二 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律FtFnFsinrFM m

4、rmaFtt2iejjjjrmMM2）剛體剛體質(zhì)量元受質(zhì)量元受外外力力 ，內(nèi)內(nèi)力力jFejFiM 1）單個質(zhì)點(diǎn)單個質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)軸剛性連接軸剛性連接m外外力矩力矩內(nèi)內(nèi)力矩力矩2mrM 2tmrrFMOzjmjrjFejFi 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，與剛體的，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比成反比 .rmMMjjjjjj2ie0jijjiijMMM)rmMjjjj2e( 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律JM 2jjjrmJ定義轉(zhuǎn)動慣量定義轉(zhuǎn)動慣量mrJd2OzjmjrjFejFi在定軸轉(zhuǎn)動中在定軸轉(zhuǎn)動中, ,合力矩等于轉(zhuǎn)動慣量與角加合力矩等于

5、轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積速度的乘積轉(zhuǎn)動定理：轉(zhuǎn)動定理： JM amF 對比：對比： 設(shè)剛體繞固定軸設(shè)剛體繞固定軸Oz以角速度以角速度 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動niiivmE12k2121221niiirmxoirimiv所有質(zhì)量單元繞所有質(zhì)量單元繞Oz軸作圓周軸作圓周運(yùn)動的動能的總和為：運(yùn)動的動能的總和為： 4-4 三、剛體的轉(zhuǎn)動動能三、剛體的轉(zhuǎn)動動能 （P.117 P.125）iirv利用利用轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量的定義：的定義：2iirmJ得到剛體轉(zhuǎn)動動能的一般表達(dá)式得到剛體轉(zhuǎn)動動能的一般表達(dá)式EJk12221221niiikrmE對比平動動能：對比平動動能：2k21vmEmrJrmJjjjd,22三三 轉(zhuǎn)動慣

6、量轉(zhuǎn)動慣量 物理物理意義意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度：轉(zhuǎn)動慣性的量度 . 質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量2222112rmrmrmJjjj轉(zhuǎn)動慣性的計算方法轉(zhuǎn)動慣性的計算方法 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量mrrmJjjjd22：質(zhì)量元：質(zhì)量元md2 對質(zhì)量線分布的剛體：對質(zhì)量線分布的剛體：質(zhì)量線密度：質(zhì)量線密度lmdd2 對質(zhì)量面分布的剛體：對質(zhì)量面分布的剛體：質(zhì)量面密度：質(zhì)量面密度Smdd2 對質(zhì)量體分布的剛體：對質(zhì)量體分布的剛體：質(zhì)量體密度：質(zhì)量體密度Vmdd：質(zhì)量元：質(zhì)量元md 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量mrrmJjjjd2

7、2lO O 解解 設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為為 處的質(zhì)量元處的質(zhì)量元 rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd22 例例2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、長為、長為 的均勻細(xì)長棒，求的均勻細(xì)長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 .mlrd2l2lO O2121ml如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒OROR4032d2RrrJRr dr 例例3 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、半徑為、半徑為 的均勻圓盤，求通的均勻圓盤，求通過盤中心過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量并與盤面垂直的

8、軸的轉(zhuǎn)動慣量 .mR 解解 設(shè)圓盤面密度為設(shè)圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為在盤上取半徑為 ，寬為，寬為 的圓環(huán)的圓環(huán)rrd2 Rm而而rrmd2d圓環(huán)質(zhì)量圓環(huán)質(zhì)量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量2mdJJCO四四 平行軸定理平行軸定理P 轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量質(zhì)量、形形狀及轉(zhuǎn)軸的位置狀及轉(zhuǎn)軸的位置 . 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛體的剛體，如果對如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 ，則則對任一與該軸平行對任一與該軸平行，相距為相距為 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CJmddCOm注意注意2221mRmRJP圓

9、盤對圓盤對P 軸軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量RmO幾種常見形狀的剛體的轉(zhuǎn)動慣量幾種常見形狀的剛體的轉(zhuǎn)動慣量 例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體的物體 A 靜止在光滑水平面上，靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質(zhì)、質(zhì)量為量為 的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪 C，并系在另一質(zhì)量為，并系在另一質(zhì)量為 的物的物體體 B 上上. 滑輪與繩索間沒有滑動，滑輪與繩索間沒有滑動， 滑輪與軸承間的摩擦滑輪與軸承間的摩擦力略去不計力略去不計. 問問: 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？BmCmAmABCAmBmCmABCA

10、mBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 隔離隔離A、B 及滑輪及滑輪作受力分析，運(yùn)用牛頓第作受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律二定律 、轉(zhuǎn)動定律：、轉(zhuǎn)動定律： T2FT1FCPCF221RmJC2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmFABCAmBmCmT1FT2F 例例3 一長為一長為 質(zhì)量為質(zhì)量為 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動相接，并可繞其轉(zhuǎn)動 . 由于此由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受

11、到微小豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈擾動時，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動 .試計算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成試計算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成 角時的角加速度角時的角加速度和角速度和角速度 .lm 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力鉸鏈對細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動定律得作用，由轉(zhuǎn)動定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定義由角加速度的定義dsin23dlg代入初始條件積分代入初始條件積分 得得)cos1 (3lgJmglsin21一一 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理和角動量

12、守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動量定理和角動量守恒定律 4-3 角動量角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律 v1 質(zhì)點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)的角動量vmrprLvrLLrxyzom 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)以速度的質(zhì)點(diǎn)以速度 在空間運(yùn)動，某時刻相對原點(diǎn)在空間運(yùn)動，某時刻相對原點(diǎn) O 的位矢為的位矢為 ，質(zhì)點(diǎn)相對于原，質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)的角動量點(diǎn)的角動量mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法則的方向符合右手法則.LvmrprLLrpmo 質(zhì)點(diǎn)以角速度質(zhì)點(diǎn)以角速度 作半徑作半徑為為 的圓運(yùn)動，相對圓心的的圓運(yùn)動，相對圓心的角動量角動量rJmrL2ptrtprprttLdddd)(ddddFrtprtLdddd0 ddp

13、trvv2 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理質(zhì)點(diǎn)的角動量定理prLtLMdd 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對參考點(diǎn)參考點(diǎn) O 的力矩的力矩 ，等，等于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn) O 的的角動量角動量隨時間的隨時間的變化率變化率.FrtprtLdddd 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理質(zhì)點(diǎn)的角動量定理質(zhì)點(diǎn)所合力矩為零時，質(zhì)點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)所合力矩為零時，質(zhì)點(diǎn)的角動量為一恒矢量為一恒矢量. LM,0 恒矢量恒矢量 3 質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律tLMdd沖量矩沖量矩tMttd21質(zhì)點(diǎn)的角動量定理質(zhì)點(diǎn)的角動量定理：質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動量的增量角動量的增量.12d21LLtMtttLM

14、dd二二 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律量定理和角動量守恒定律1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量iiiiiiirmrmL)(2vJL Oirimivz2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理tJtLMd)(ddd3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律0M常量JL，則，則若若 剛體組繞同一轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動時剛體組繞同一轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動時 , 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量保持恒定，有兩種情形：角動量保持恒定，有兩種情形：一是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量和角速度的大小均保持不變；一是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量和角速度的大小均保持不變；另一種是轉(zhuǎn)動慣量改變另

15、一種是轉(zhuǎn)動慣量改變, ,角速度的大小也同時改變但角速度的大小也同時改變但兩者的乘積保持不變。兩者的乘積保持不變。轉(zhuǎn)動慣量改變轉(zhuǎn)動慣量改變, ,角速度的大小也同時改變，角速度的大小也同時改變，但兩者的乘積保持不變。但兩者的乘積保持不變。考察質(zhì)點(diǎn)平動考察質(zhì)點(diǎn)平動考察剛體轉(zhuǎn)動考察剛體轉(zhuǎn)動質(zhì)量質(zhì)量 速度速度加速度加速度vma角速度角速度角加速度角加速度轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 動量動量 合外力合外力牛頓二定律牛頓二定律FvmpamF動能動能 221mvE 角動量角動量 合外力矩合外力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律FrM動能動能 tdpdF 合外力為零，合外力為零，動量守恒。動量守恒。tdLdM 合外力矩為零，合外力矩為零

16、，角動量守恒。角動量守恒。JM 221JE JvmrLJL 或ddddttrFsFrFWddMW 21dMW力矩的功力矩的功一一 力矩作功力矩作功 4-4 力矩作功力矩作功orvFxvFoxrtFrddMtMtWPdddd二二 力矩的功率力矩的功率ddMW 三三 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能（前面已討論過）221iiikmEv22221)(21Jrmiii21222121d21JJMW四四 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理21dMW合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量體轉(zhuǎn)動動能的增量 .2111ddddJtJ JM 例例2 一長為一長為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為 的竿可繞支點(diǎn)的竿可繞支點(diǎn)O自由自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 . 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、速率為、速率為 的子彈射入竿內(nèi)距支的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為點(diǎn)為 處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為處