高等數(shù)學(xué)微分方程試題

1、專業(yè) 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 成績(jī) 時(shí)間 179第十二章微分方程12-1微分方程的基本概念、判斷題1 .y=ce 2x （c的任意常數(shù)）是y =2x的特解。（）2 .y=（ y）3是二階微分方程。（）3 .微分方程的通解包含了所有特解。（）4 .若微分方程的解中含有任意常數(shù)，則這個(gè)解稱為通解。（）5 .微分方程的通解中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)。（）二、填空題微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的階數(shù)是。2 .函數(shù)y=3sinx-4cosx 微分方程的解。3 .積分曲線y=(c 1+c2x)e2x中滿足 y x=o=0, y x=o=1的曲線是。三、選擇題1 .下列方程中是常微分方程2 _

2、2222d arctanx、. a a.22(A)、x+y=a (B)、 y+(e )=0 (C)、2 +2 =0 (D)、y =x +y dx；xZ2 .下列方程中 是二階微分方程(A) ( y *) +x2 y +x2=0(B) ( y *) 2+3x2y=x3 (C) y+3y+y=0(D) y-y2=sinxd y3 .微分萬(wàn)程 一+w2y=0的通解是 其中c.ci.C2均為任懸吊數(shù)dx2(A) y=ccoswx (B)y=c sinwx(C)y=c 1 coswx+C2Sinwx(D)y=c coswx+c sinwx24 . C是任意常數(shù)，則微分方程y = 3y*的一個(gè)特解是 (A

3、) y-=(x+2) 3 (B)y=x 3+1(C) y=(x+c) 3(D)y=c(x+1) 3四、試求以下述函數(shù)為通解的微分方程。_ 2_ 2_ 2x _ 3x. 一1. y=Cx +C (其中C為任意常數(shù))2.y=Ge +C?e (其中C1C2為任意常數(shù))五、質(zhì)量為 m的物體自液面上方高為 h處由靜止開(kāi)始自由落下，已知物體在液體中受的阻 力與運(yùn)動(dòng)的速度成正比。 用微分方程表示物體， 在液體中運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系并寫(xiě)出初始 條件。12-2可分離變量的微分方程一、求下列微分方程的通解1. . sec2.tacydx+sec2ytanxdy=02. (x+xy 2)dx-(x 2y+y)dy=

4、03. (ex+y -ex)dx+(e x+y -ey)dy=04. y =cos(x-y).(提示令.x-y=z)、求下列微分方程滿足所給初始條件的特解1 . cosydx+(1+e-x)sinydy=0. yx=o=，42.secxdy =xdx.y * 37r = -1X=2、設(shè)f(x尸x+ 0x f(u)du,f(x)是可微函數(shù)，求f(x)四、求一曲線的方程，曲線通過(guò)點(diǎn)(0.1),且曲線上任一點(diǎn)處的切線垂直于此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線。五、船從初速 vo=6米/秒而開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，5秒后速度減至一半。已知阻力與速度成正比，試求 船速隨時(shí)間變化的規(guī)律。12-3齊次方程一、求下列齊次方程的通解y八y、y1

5、 xy -xsin =02 (x+ycos ) dx-xcos dy=0xxx求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解1 啜=x2+y2y x=e=2e2 .x2dy+(xy-y 2)dx=0yx=i=1、求方程：(x+y+1 ) dx=(x-y+1)dy 的通解四、設(shè)有連結(jié)點(diǎn) O(0, 0)和A (1, 1) 一段向上凸的曲線孤 OA對(duì)于Oa上任一點(diǎn)P (x, y),曲線孤與OCp直線段0P所圍圖形的面積為 x2,求曲線孤OA的方程。12.4 一階線性微分方程一、求下列微分方程的通解3.y+1y =xsin x1.x y +y=xex2. y +ytanx=sin2x,dy y4. =o-dx

6、x y ey、求下列微分方程滿足初始條件的特解冗1 . y，cosy+siny =x y x_0 =4F2 .(2x+1)ey y 2ey=4y x=0 = 0、已知f(n),曲線積分Jb Sin x - f (x)l-dx + f (x)dy與路徑無(wú)關(guān)，求函數(shù)f(x). x四、質(zhì)量為 M 0克的雨滴在下落過(guò)程中，由于不斷蒸發(fā)，使雨滴的質(zhì)量以每秒 m克的速率 減少，且所受空氣阻力和下落速度成正比， 若開(kāi)始下落時(shí)雨滴速度為零， 試求雨滴下落的速 度與時(shí)間的關(guān)系。五、求下列伯努利方程的通解2. xy +y-y2lnx=0/，12 51. y + - y = x yx12-4全微分方程一、求下列方程

7、通解1. cos(x+y 2)+3ydx+2ycos(x+y 2)+3xdy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=03.eydx+(xe y-2y)dy=0、利用觀察法求出下列方程的積分因子，并求其通解1 ydx-xdy+y 2xdx=02 y(2xy+e x)dx-exdy=0三、xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0為全微分方程，其中函數(shù) f(x)連續(xù)可微，f(0)=0,試求函 數(shù)f(x),并求該方程的通解。專業(yè) 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 成績(jī) 時(shí)間18112-7可降階的高階微分方程一、求下列各微分方程的通解1. y =xsinx2. y - y=x3.y y

8、 +( y )2= y4. y (1+ex)+y =0二、求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解“-*A1. 2 y =Sin2yy xo =- y x_o =1一 2 一22. x y - y in y + y inx=o y x+ = 2 y x = e、函數(shù)f(x)在x0內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)且f(1)=2 ,以及f(x)- f (x) - f f 9)dt = 0 ,求f(x). x 1 t四、一物體質(zhì)量為 m,以初速度Vo從一斜面上滑下，若斜面的傾角為口，摩擦系數(shù)為u,試求 物體在斜面上滑動(dòng)的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。12-8高階線性的微分方程、選擇題1.下列方程中為線性微分方程(A) ( y

9、 ) +x y =x(B)y y -2y = x22(C) y -y y xxx二e(D) y _ y _ 3xy = cos y2.已知函數(shù)yi=ex，yi=ex2_21、2x , y3=e(x-) 則(A)僅yi與V2線性相關(guān)(C)僅yi與y3線性相關(guān)3,若yi和y2是二階齊次線性方程，yy=ciyi+c2y2(A) 一定是該方程的通解(C)是該方程的解4.下列函數(shù)中哪組是線性無(wú)關(guān)的 (A) lnx, lnx2 (B)i , lnx二、證明：下列函數(shù)是微分方程的通解iy=cix2+c2x2lnx(ci C2是任意常數(shù))是方程(B)僅y2與V3線性相關(guān)(D)它們兩兩線性相關(guān)+p(x) y+4

10、(x)y=0兩個(gè)特解，cic2為任意常數(shù)，則(B)是該方程的特解(D)不一定是方程的解(C)x, ln2x (D)ln x, lnx2x2 y -3x y+4y=0 的通解x2y=cie +C2e +e (cic2是任懸吊數(shù))是方程2 y + y = 2e的通解三、設(shè)yi(x)y2(x)是某個(gè)二階線齊次線性微分方程的三個(gè)解，且yi(x)y2(x).y3(x).線性無(wú)關(guān),證明：微分方程白通解為：y =Gy(x) , c2y2(x) , (i-a-cz)y3(x)i Y y ex四、試求以y= 1 (ci ex+c2e-x)+ e (ci c是任意常數(shù))為通解的二階線性微分方程。x212-9二階常

11、系數(shù)齊次線性微分方程一、選擇題1以yi=cosx,y2=sinx為特解的方程是(A) y_y=0(B)y+y=0(C)y“+y = 0(D) y _ y，= 02 .微分方程2y“ + yy =0的通解是xxx_2x ,、_x2/cx-2-x2x(A)y=Ge -Re (B)y = ce -e2(C)y=c1e -C2e 2 (D)y = Ge +c2e3 .常微分方程y” + 3+九2)y +-i%y =0,(其中九i,%是不等的系數(shù))，在初始條件yix=0= y x=o =0 特解是(A) y=0(B)y= Ge*+c2e2x (C) y = %x2(D) y=(% 十九2)x22x4.

12、y=e是微分方程y +py+6y =0的一個(gè)特解，則此方程的通解是 (A) y =c1e2x+c2e4x(B) y = (c1 +xc2)e2x2x3x2x ,(C) y=Ge +c2e(D) y = e (c1sin3x+c2cos3x)5. y =c1ex +c2e”是微分方程 的通解(A) y + y=0 (B) y*_y=0(C) y + y = 0 (D) y y=0二、求下列微分方程的通解1. y5y = 02. y4y +4y=03. y + 4y，+ y =04. y -5y* + 6y = 0專業(yè) 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 成績(jī) 時(shí)間 1895. y _6y 3y 10y =05.

13、y _2y y =0三、求下列微分方程滿足初始條件的特解1. y 2y 10y =01x=0 =2d 2x dx2.-3x =0 dt dtt=0 = 1四、一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由靜止 小成正比(比例系數(shù)為(t=0,v=0)開(kāi)始滑入液體，下滑時(shí)液體阻力的大小與下沉速度的大 k),求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。12-10二階常數(shù)非齊次線性微分方程一、選擇題一一，一乙一* 一， ，、，1微分方程，y-2y = x的特解y形式為_(kāi)22,(A)ax (B)ax+b (C)ax (D) ax - bx2.微分方程y“-y=ex+1的特解y*形式為(A)aex+b(B) axex+b(C) aex+bxx .(D) a

14、xe + bx. _ .* 一， r、 、*3.微分方程y “ - 2u = xe的特解y形式為2 x2 x2 x(A) x(ax+b)e (B) (ax + b)e (C) xe22x(D) (ax +bx+c)e 1al. * -/ r、 、 r4.微分萬(wàn)程y +4y =cos2x的特解y形式為(A) acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x)(D)acos2x+bsin2x25.微分方程y y=xsin x的特解形式為y*=(A) (ax+b) sin2x(C) (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x(B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)c

15、os 2x(D) (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f6.微分方程y * 4y -5y = e, +sin 5x的特解形式為 (A) ae +bsin5xx(B) ae b cos5x csin5x(D) axe+bcos5x + csin 5x(C) axej +bsin5x二、求下列各方程的通解2. y - 7y 6y = sin x1. y“ + 2y，+ y=xex3. y “-2y，+5y =exsin x4. y y = x cosx三、求微分方程 y + 9y = cosx滿足y| xn = yj xn = 0的特解四、已知二階常系數(shù)微分方程y + oty+B

16、y =(x+2)有特解y* = ex+1 _x2.6x ,求口，P,y的值，并求該方程的通解五、k為常數(shù)。試求y-2ky+k2y =ex的通解。xx六、設(shè) f(x)=sinx+ f f(t)dt-x(f(t)dt ,其中 f(x)為連續(xù)的數(shù)，求 f(x)。0o七、一鏈長(zhǎng)18cm,掛在光滑的圓釘上，一邊垂下8cm,另一邊垂下10cm,問(wèn)整個(gè)鏈子滑過(guò)釘子需要多少時(shí)間？第十二章自測(cè)題一一、 填空題1 .已知曲線y=y(x)過(guò)點(diǎn)(0, 2 )且其上任一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率為 xln(1+x2),則f(x)=222 .以(x +c) + y2 =1為通解的微分方程是 (其中為任意常數(shù))3。微分方程y

17、dx+(c2-4x)dy=0的通解為4 .微分方程y + y + ln x = ax的通解為5 .已知某四階線性齊次方程有四個(gè)線性無(wú)關(guān)的解ex,ex,sinx,cosx,則該微分方程為二、選擇題1 .已知函數(shù)y=f(x)在任意點(diǎn)x處的增量Ay= x2 +o,且當(dāng)Axt o時(shí)，a是比x x更高1 x階的無(wú)窮小量，y(o)= n ,則y(1)等于31J(A) 2n (B) n(C) e4(D) e42 y=y(x)是微分方程 y_y esinx =0 的解，且 f(x0) = 0,則 f(x)在(A)x。的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加(B) x。的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少(C) x處的取極小值(D) x處取極大值

18、3 .一曲線通過(guò)點(diǎn) m(4.3),且該曲線上任意一點(diǎn)p處的切線在y軸上的截距等于原點(diǎn)到p的距離，則此曲線方程為 22(A) x2 +y2 =25(B)y =2 +x(C)(x +9)2 -(y +9)2 =25 (D) y = 410164 .下列方程中可利用p = y, p = y 降為p的一階微分方程的是 (A) (y)2 +xy-x =0(B) y+yy+y2=0(C) y + y2 y，- y2x = 0(D) y + yy+x = 0三、求解下列微分方程21 .求 ydx+(x y-x)dy=0 ,滿足 y x = 1 的特解，12 .求y + y = x的通解1 e四、求y + y

19、 =x+sin x的通解。五、已知y1x xexe2x,y2= xex-ex,y3= xex -e2x- ex是某二階線性非齊次微分方程的三個(gè)解，求此微分方程。六、已知函數(shù)f(x)可微，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y滿足：f(x+y尸ex f (y)+ey f (x)，求此函數(shù)f(x).七、火車(chē)沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)，設(shè)火車(chē)質(zhì)量為m,機(jī)車(chē)牽引力為F,阻力為a+bv,其中a,b為常數(shù)，v為火車(chē)的速度，若已知火車(chē)的初速度與初位移均為零，求火車(chē)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=s(t).第十二章自測(cè)題二一、單項(xiàng)選擇題1 .設(shè) y= f (x)是方程 y 2y +4y = 0 的解，若 f(x0)0,則 f (x)在 乂0點(diǎn)(A)取得極大值； (B)取得極小值；(C)某鄰域內(nèi)單調(diào)遞增；(D)某鄰域內(nèi)單調(diào)遞減； 2x一2 .函數(shù)y = 3e是方程y 4 y = 0的(A)通解；(B)特解；(C)解，但既非通解也非特解( D)以上都不對(duì)3 .微分方程2y+5y=cos2x的特解應(yīng)具有形式(其中，a,b,c為常數(shù))_22(A) x(acos x+bsin x);(B) ax+bcos2x + csin2x(C) a+bcos2x;(D) ax2+bcos2x+csin2x3x4 .微分方程y + 6y+9y = xe特解應(yīng)具有形式 (A) (Ax+Bx) e3x(B)x(Ax+B)e 3x (C) x2(Ax+B)e