動量矩守恒定律

1、三、動量矩守恒定律 上一次課我們從牛頓第二定律出發(fā)導(dǎo)出了兩條重要推論，一條是動量定理及其守恒定律，另一條就是動量矩定理及其守恒定律。根據(jù)動量矩守恒定律我們還可以證明這樣一個特征：力矩為零的質(zhì)點(diǎn)只能作平面運(yùn)動。我們課本上的P.59頁的例1，其實(shí)就是證明這個結(jié)論的例子。這個例題讓我們證明：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受的力，如果恒通過某一個定點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)必定在一平面上運(yùn)動。下面我們就利用動量矩守恒定律來對它加以證明。證明：質(zhì)點(diǎn)所受的力，如果恒通過某一個定點(diǎn)，那么這個定點(diǎn)就叫力心。例如地球繞太陽運(yùn)行而受到太陽的引力作用，這些引力的作用線總是通過太陽中心的，這種有力心的力就叫做有心力。如果我們?nèi)×π臑樽鴺?biāo)原點(diǎn)，那么由于運(yùn)動

2、質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑與質(zhì)點(diǎn)所受的力是在同一直線上的。顯然，質(zhì)點(diǎn)所受的力對坐標(biāo)系的原點(diǎn)即力心的力矩 是等于零的，即： 。所以，此情況下的質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中角動量是守恒的。即 。將它寫成直角坐標(biāo)的分量形式的話，則有：m (y)= -(1)m (z)= -(2)m (x)= -（3）我們將（1） 即： xm (y)=x ym (z)=y+ zm (x)=z所得到的這個方程，是什么方程？根據(jù)空間解析幾何知識可知它是一個平面方程。這就證明了質(zhì)點(diǎn)只能在這個平面方程所決定的平面上運(yùn)動。因此，通過對這個例子的證明，其實(shí)也同時包含證明了：力矩為零的質(zhì)點(diǎn)只能作平面運(yùn)動的這一特征。前面，我們根據(jù)牛頓第二定律已經(jīng)得到了兩個推

3、論，接下去就講他的第三個推論。§6動能定理與機(jī)械能守恒定律在此先介紹有關(guān)功與能的幾個基本概念和基本物理量。一、 功：功是我們大家很熟悉的（概念）物理量。我們都知道功是由兩個因素決定的，由哪兩個因素決定的呢？就是由力和位移這兩個因素決定的，也就是說功必須具備力和位移這兩個因素。當(dāng)一個質(zhì)點(diǎn)受到力的作用并沿著力的方向通過一定的位移。我們就說這個力對質(zhì)點(diǎn)作了功，所以說力和位移是功必須具備的兩個因素，是缺一不可的。在理論力學(xué)中對功有精確的定義：、定義：功就等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力與質(zhì)點(diǎn)的位移的標(biāo)積 這就是作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在通過這段位移時所作的功。要注意這里的是表示質(zhì)點(diǎn)的位移。如果物體不能看作質(zhì)點(diǎn)，

4、這個位移應(yīng)該是力的作用點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)的位移。（以前常說力的作用點(diǎn)的位移。這樣講是不夠嚴(yán)密的，因?yàn)楦鶕?jù)力的作用點(diǎn)的位移就不能根據(jù)牛頓第二定律推出質(zhì)點(diǎn)動能定理）平時,我們一般都簡略地說成力的作用點(diǎn)的位移。另外，我們還得明確，功不是物體本身所具有的，而是力對質(zhì)點(diǎn)作的功，也就是另一物體對這個物體作的功。2、功w是路線的函數(shù)： 由功的定義還可以發(fā)現(xiàn)功w是路線的函數(shù)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在力的作用下沿著空間有限路徑 運(yùn)動時，那么力在全部有限路程上對質(zhì)點(diǎn)所作的總功：就等于力沿著這段有限路徑從A到B的線積分。在計(jì)算力的功時，通?？紤]的力往往都只是位置的函數(shù)：.這是有一定的歷史原因。在歷史上物理學(xué)家在研究宏觀物體間的相互作用時，

5、總是喜歡研究力怎樣隨著位置而改變。用直角坐標(biāo)來表示的話：。因?yàn)?，功等于力和位移矢量的乘積。我們根據(jù)兩個矢量的標(biāo)積的直角坐標(biāo)表示法（由矢量代數(shù)知識）還可以將功表示成為，即： . 力的分量 Fx 、Fy和Fz 都是位置坐標(biāo)x.、y 、z的函數(shù)，在積分的時候必須要注意到：只有將它們化成統(tǒng)一的變量關(guān)系才能積分，比如對dx積分時，必須要將y、z轉(zhuǎn)換成x的函數(shù)，即y=y(x)、z=z(x)才能進(jìn)行積分，或者將x、y、z都化成是某一個參變量的函數(shù)。這樣才能進(jìn)行積分。這一點(diǎn)在計(jì)算功時必須要注意到。3、功率： 我們都知道一臺機(jī)器工作性能好壞的主要標(biāo)志之一是功率。功率是表示做功快慢程度的物理量。單位時間內(nèi)所作的功

6、就定義為功率，即 。有了功的概念，接下來就講能量的概念，在自然界中能量的形式是多種多樣的。由于在力學(xué)中，研究的運(yùn)動是機(jī)械運(yùn)動。因此，在力學(xué)中研究的能量也只是機(jī)械能了。動能和勢能統(tǒng)稱為機(jī)械能。 二、 勢能（位能） 勢能總是與某種特殊的力場相聯(lián)系的。那么，什么叫力場呢？.。1、力場：如果空間每一點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)都有一定的力作用著，而且此力的大小和方向只與該點(diǎn)的位置有關(guān)，這個空間就稱為力場。場還分有穩(wěn)定與不穩(wěn)定兩種，要隨時間t而變化的場是非穩(wěn)定場，不隨時間t而變化的場是穩(wěn)定場。在理論力學(xué)中只研究與時間t無關(guān)的穩(wěn)定場。我們前面講過勢能總是與特定的力場相聯(lián)系的，所以現(xiàn)在有了力場的概念，那么也就可引入2、 勢能：

7、如果立場中的任一點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)的作用力可以表示成為等于某一個標(biāo)量函數(shù)V(x、y、z)的梯度的負(fù)值：那么，我們就稱這個標(biāo)量函數(shù)V=V(x、y、z)為質(zhì)點(diǎn)在該力場中的勢能。這就是勢能的定義。由定義可知勢能是位置坐標(biāo)（x 、y、z）的函數(shù)，既然勢能是位置坐標(biāo)的函數(shù)，那么，我說勢能是位置而產(chǎn)生的能量，這句話對不對？對的，但是不夠嚴(yán)格，由定義容易看出勢能加上或減去一個常數(shù)都是允許的，也就是說勢能的量值只能準(zhǔn)確到常數(shù)項(xiàng)。勢能是無絕對值可言的，說這個物體的勢能是多少是沒有意義的。勢能只具有相對意義，當(dāng)指定了空間某一點(diǎn)的勢能為某個值時，才可計(jì)算其他點(diǎn)的勢能。一般為了計(jì)算方便起見，都得取零勢能的參考點(diǎn)零勢能參考點(diǎn)的習(xí)

8、慣取法在普物中講過，在課堂上不必再講。3、 力場存在勢能的充要條件：一個力場存在不存在勢能是怎么知道的呢？是可以判斷的，是根據(jù)力場存在勢能的條件來判斷的。力場存在勢能的充分必要條件是它的旋度等于零。即。對給定的這個結(jié)論當(dāng)然是要加以證明的，通過證明才可能知道它是否正確?，F(xiàn)在就先證明這個條件的必要性。（1） 必要性：如果力場存在勢能，則力場的強(qiáng)度就等于0：。證明：的確，如果給定的力場存在單值、有限的可微函數(shù)V=V(z、y、z)，它滿足這樣的關(guān)系時，力所作的元功dw= 。滿足這樣的條件，在數(shù)學(xué)上就稱它恰當(dāng)微分，也就是全微分。這就是說如果力場滿足這樣的關(guān)系：。則力所作的元功dw為一標(biāo)量函數(shù)V的恰當(dāng)微分

9、的負(fù)值。比較上面這個等式，便可得到： , , 。由旋度的定義可知： 又考慮到二級偏微商是可交換自變量次序的。所以： 同樣道理可以得到： 這就證明了力場存在勢能條件的必要性。我們還可證明條件的充分性。（2）充分性：如果力場的旋度等于0，即 則力場中必定存在勢能V，并滿足： 這樣的關(guān)系。對條件的充分性的證明就留給大家課外去做。由上述的討論可知：從判斷力場是否存在勢能的角度來說 與 是等價的。講到這里順便提一下，質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的勢和勢能是有所不同的，在力學(xué)中一般不提勢這個概念，只引進(jìn)勢能這個概念。實(shí)際上勢和勢能的實(shí)質(zhì)是一樣的，只是它們以不同的著重點(diǎn)來定義而已。由 定義的函數(shù)U叫做勢，而不叫做勢能，可見

10、它與勢能的定義差一個負(fù)號。上面我們根據(jù)勢能的定義，給出并且證明了在力場中存在勢能的充要條件。下面再從勢能的定義出發(fā)得出質(zhì)點(diǎn)在有勢能的力場中，力所作元功的兩個特征。4、 質(zhì)點(diǎn)在有勢能的力場中力所作功只與始、終點(diǎn)有關(guān)，而與經(jīng)過的路徑無關(guān)。證明：，由此推出所作的元功 是一個全微分，在這種情況下，也就是說在由勢能的力場中，質(zhì)點(diǎn)從 A點(diǎn)(x0、y0、z0)開始沿著某一條軌道移動到B點(diǎn)（x、y、z），力對質(zhì)點(diǎn)所作的總功： 它就等于初始位置的勢能減去終點(diǎn)的勢能VB，即勢能的減少量，它與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路徑無關(guān)。因此，這就證明了質(zhì)點(diǎn)在有勢能的力場中力所作的功只與始、終位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。既然力所作的功只取決與

11、兩端點(diǎn)的位置，而與中間所經(jīng)過的路徑無關(guān)，那么當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿任一閉合路徑運(yùn)行一周時，力所作的功必定等于零。這就是說：5、 質(zhì)點(diǎn)在有勢能的力場中走任一閉合路線，其功為零。在有勢能的力場中，力所作功的這兩個特征是等價的，根據(jù)力作功的這兩個特征我們可以將力分為保守力和非保守力。所謂的保守力就是指符合上述作功特征的力。也就是說：力對質(zhì)點(diǎn)作功與路徑無關(guān)，只與始、末位置有關(guān)，或者沿任何閉合路徑運(yùn)行一周時，力所作的功等于零，那么這種力就叫作保守力，否則就是非保守力。因?yàn)榉潜Ｊ亓Φ男鹊扔?。即 所以，非保守力又叫做渦旋力。力作功與路線有關(guān)的力就叫做渦旋力。如果力作功與路線有關(guān)，但這個力始終作負(fù)功而消耗能量，這樣的力

12、雖然也屬于非保守力，但人們通常喜歡稱它為耗散力。三、動能定理動能定理可以直接由牛頓第二定律m推出，此式可以寫成為： 這種形式，將等式兩邊點(diǎn)乘速度 得： ，兩邊都有一個dt，可以將它去掉，則有： -(1) 可見等式的右邊是力所作的元功，那么等式的左邊是什么呢？ 于是等式（1）可改寫成為：d( 等式左邊的括號里的量就定義它為質(zhì)點(diǎn)的動能，用符號T表示，這個等式（指上式）就叫做動能定理的微分形式，對它積分就可得到動能定理的積分形式，即：。等式的右邊是表示作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力的功，左邊表示動能的增加量。由于動能定理可以直接由牛頓第二定律導(dǎo)出，那么動能定理是不是與 等價呢？不是的，它和我們前面得到的動量定理

13、和動量矩定理一樣，雖然可以從牛頓第二定律導(dǎo)出，但是，他們都是自然現(xiàn)象反映出來的客觀規(guī)律的總結(jié)，不受人們的意志轉(zhuǎn)移而轉(zhuǎn)移的，它們從不同的方面描述了質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械運(yùn)動規(guī)律。所以我們不能以為質(zhì)點(diǎn)的動能定理、動量定理、動量矩定理與 是等價的。應(yīng)用動能定理解決質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題的最大優(yōu)點(diǎn)是：（1）它是一個標(biāo)量方程，標(biāo)量方程比矢量方程容易求解。（2）要解v的話，只要得出 就可以。像前面二個守恒定律一樣，由動能定理可推出第三個守恒定律，就是：三、 機(jī)械能守恒定律： 如果作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為保守力的話，那么根據(jù)前面的討論就能知道，力是有勢能的，此時力 所作的元功： 就等于勢能函數(shù)V的全微分的負(fù)值，則由動能定理的微分形式

14、得： 將-dv移到等式的左邊可以寫成為： 對此式積分就可得到。等式左邊的動能和勢能之和就是質(zhì)點(diǎn)的總機(jī)械能，所得到的這個等式表明，質(zhì)點(diǎn)在有勢能的力場也就保守力場中運(yùn)動時，它的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)換，但它們總機(jī)械能總是不變的常量E，所以這就是質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。從上面的推導(dǎo)過程可以看出機(jī)械能守恒定律：（1）它是運(yùn)動方程經(jīng)過一次積分得到的第一積分。因?yàn)椋俣萔是一階微分，只需要一次積分，所以機(jī)械能守恒定律它是一次積分，一次積分比二次積分要容易求解的多，所以我們總是喜歡用機(jī)械能守恒定律來做某些力學(xué)題目。在什么地方喜歡用他來做呢？在求速度的大小V和位置的地方利用它來做比較方便。（2）在應(yīng)用

15、它時，要注意它的適用條件，其適用條件就是機(jī)械能守恒的條件。質(zhì)點(diǎn)所受的力 可以分為兩部分 和， 即等于 和之和： 。是有勢能的力。是沒有勢能的力，如果質(zhì)點(diǎn)所受的力只有第一部分即保守力，機(jī)械能當(dāng)然是守恒的。如果質(zhì)點(diǎn)所受的力除了外還有，但只要對質(zhì)點(diǎn)所作的元功等于零：，機(jī)械能守恒定律也仍然適用，接下來再簡單地介紹一下勢能曲線。四、 勢能曲線：我們只限于討論一維的情況：在力學(xué)中所接觸到的勢能例如重力勢能、彈性勢能、引力勢能等都是一維位置坐標(biāo)x 的函數(shù)，即：V=V(x)。當(dāng)勢能作為坐標(biāo)x的函數(shù)時，所畫得的函數(shù)曲線就叫做勢能曲線，如左圖所示的曲線就是一條勢能曲線。畫出勢能曲線有什么用？利用勢能曲線不僅可以求

16、得相應(yīng)的保守力和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，還能夠幫助我們直觀清楚地了解具有一定能量E的質(zhì)點(diǎn)在什么情況下運(yùn)動是可能的，在什么情況下運(yùn)動是不可能發(fā)生的。除此之外，當(dāng)然還會有其他的用處，比如，由勢能曲線可以求得相應(yīng)保守力的大小，以及質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動特征等。對于這些問題在普通物理中應(yīng)該是講過的。不管是講過沒有在這里我就不準(zhǔn)備講了。如果沒有講過的話大家自己去看一下你們前個學(xué)期學(xué)過的力學(xué)基礎(chǔ)教科書中，關(guān)于質(zhì)點(diǎn)平衡的穩(wěn)定性這一節(jié)內(nèi)容?，F(xiàn)在我只講利用勢能曲線來討論質(zhì)點(diǎn)的可能運(yùn)動。假設(shè)在保守力場中一個具有總機(jī)械能 的質(zhì)點(diǎn)，因?yàn)楸Ｊ叵到y(tǒng)中總機(jī)械能為一恒量E，所以在圖中可以用一條水平線表示。勢能曲線上的凸的部分叫作勢壘。凹下去像井一樣

17、的那部分就叫做勢阱。質(zhì)點(diǎn)在某一位置x的動能T就等于總能量E減去勢能曲線上在X處的勢能。由于在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的動能不可能為負(fù)值。只有符合T>=0的運(yùn)動才可能發(fā)生。這樣就可以根據(jù)勢能曲線的形狀來討論質(zhì)點(diǎn)的可能運(yùn)動。我們就以圖中的情況來討論，質(zhì)點(diǎn)能不能在AB這個區(qū)間中運(yùn)動？雖然是不可能的。因?yàn)閯菽躒大于質(zhì)點(diǎn)的總能量，而動能是不可能小于零的。所以質(zhì)點(diǎn)不可能在這個區(qū)間內(nèi)運(yùn)動，也就是說對于總能量為E的質(zhì)點(diǎn)，它是不可能有這種運(yùn)動情況發(fā)生的。在B到C的這段區(qū)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的總能量E>=勢能，所以它在這個區(qū)間內(nèi)運(yùn)動是可能的。在B、C兩點(diǎn)由于總能量E等于勢能，則勢能為E，速度當(dāng)然為0。這兩點(diǎn)也叫做運(yùn)動的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)碰到勢壘時，就要受到勢場的作用而被反射回來，就好像小球在兩垛墻之間運(yùn)動一樣。所以，質(zhì)點(diǎn)只能在BC之間作來回振動。在經(jīng)典力學(xué)中，認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)是不可能穿過勢壘的，經(jīng)典力學(xué)的這種觀點(diǎn)他符合客觀現(xiàn)象，很容易被人們所接受。但是在量子力學(xué)的微觀領(lǐng)域中，這種觀點(diǎn)就不正確了，由于微觀粒子具有波粒二象性，微觀