信號分析基礎課件

1、第二章第二章 信號分析基礎信號分析基礎v信號的分類信號的分類v系統(tǒng)系統(tǒng)v信號的時域分析信號的時域分析v信號的頻域分析信號的頻域分析v卷積與相關定理卷積與相關定理v思考題（作業(yè)）思考題（作業(yè)）2-1 信號的分類信號的分類v確定信號與非確定信號確定信號與非確定信號確定性信號確定性信號：可以用明確數學關系式描述的信號。：可以用明確數學關系式描述的信號。非確定性信號非確定性信號：不能用數學關系式描述的信號。：不能用數學關系式描述的信號。2-1 信號的分類信號的分類周期信號周期信號：經過一定時間可以重復出現(xiàn)的信號：經過一定時間可以重復出現(xiàn)的信號 x ( t ) = x ( t + nT )簡單周期信號簡

2、單周期信號復雜周期信號復雜周期信號2-1 信號的分類信號的分類非周期信號非周期信號：不會重復出現(xiàn)的信號。不會重復出現(xiàn)的信號。v準周期信號準周期信號：由多個周期信號合成，但各信號頻率不成公倍數。：由多個周期信號合成，但各信號頻率不成公倍數。如：如：x(t) = sin(t)+sin(2.t)v瞬態(tài)信號瞬態(tài)信號：持續(xù)時間有限的信號，如：持續(xù)時間有限的信號，如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t)2-1 信號的分類信號的分類非確定性信號非確定性信號：不能用數學式描述，其幅值、相位變：不能用數學式描述，其幅值、相位變化不可預知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。化不可預知，所描述物理現(xiàn)象

3、是一種隨機過程。噪聲信號噪聲信號(平穩(wěn)平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異統(tǒng)計特性變異噪聲信號噪聲信號(非平穩(wěn)非平穩(wěn))2-1 信號的分類信號的分類v能量信號與功率信號能量信號與功率信號能量信號：能量信號：在所分析的區(qū)間（在所分析的區(qū)間（-，），能量為有限值），能量為有限值的信號，滿足條件的信號，滿足條件dttx)(2一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。2-1 信號的分類信號的分類v能量信號與功率信號能量信號與功率信號功率信號：功率信號：在所分析的區(qū)間（在所分析的區(qū)間（-，），能量不是有限），能量不是有限值此時，研究信號的平均功率更為合適。值此時，研究信號的平均功率更為合適

4、。TTTTdttx)(lim221一般持續(xù)時間無限的信號都屬于功率信號。一般持續(xù)時間無限的信號都屬于功率信號。2-1 信號的分類信號的分類v時限與頻限信號時限與頻限信號時域有限信號：時域有限信號：在時間段在時間段 (t1，t2)內有定義，其外恒等內有定義，其外恒等于零。于零。三角脈沖信號三角脈沖信號頻域有限信號：頻域有限信號：在頻率區(qū)間在頻率區(qū)間(f1，f2 )內有定義，其外恒內有定義，其外恒等于零。等于零。正弦波幅值譜正弦波幅值譜2-1 信號的分類信號的分類v連續(xù)時間信號與離散時間信號連續(xù)時間信號與離散時間信號連續(xù)時間信號：連續(xù)時間信號：在所有時間點上有定義。在所有時間點上有定義。離散時間信

5、號：離散時間信號：在若干時間點上有定義。在若干時間點上有定義。采樣信號采樣信號2-1 信號的分類信號的分類0) 1()()()()(knununknnu2-1 信號的分類信號的分類v物理可實現(xiàn)信號物理可實現(xiàn)信號又稱為又稱為單邊信號單邊信號，滿足條件：，滿足條件：t t0 0時，時，x(t)x(t)O O，即在時刻小于零，即在時刻小于零的一側全為零。在實際中出現(xiàn)的信號，大量的是物理可實現(xiàn)信號，的一側全為零。在實際中出現(xiàn)的信號，大量的是物理可實現(xiàn)信號，因為這種信號反映了物理上的因果律。因為這種信號反映了物理上的因果律。實際中所能測得的信號，許多都是由一個激發(fā)脈沖作用于一個物實際中所能測得的信號，許

6、多都是由一個激發(fā)脈沖作用于一個物理系統(tǒng)之后所輸出的信號。例如，切削過程，可以把機床、刀具、理系統(tǒng)之后所輸出的信號。例如，切削過程，可以把機床、刀具、工件構成的工藝系統(tǒng)作為一個物理系統(tǒng)，把工件上的硬質點或切工件構成的工藝系統(tǒng)作為一個物理系統(tǒng)，把工件上的硬質點或切削刀具上積屑瘤的突變等，作為振源脈沖，僅僅在該脈沖作用于削刀具上積屑瘤的突變等，作為振源脈沖，僅僅在該脈沖作用于系統(tǒng)之后，振動傳感器才有描述刀具振動的輸出。系統(tǒng)之后，振動傳感器才有描述刀具振動的輸出。物理系統(tǒng)物理系統(tǒng)：當激發(fā)脈沖作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是不會有響應的，即：當激發(fā)脈沖作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是不會有響應的，即在零時刻之前，沒有輸入脈沖，

7、則輸出為零，這種性質反映了物在零時刻之前，沒有輸入脈沖，則輸出為零，這種性質反映了物理上的因果關系。因此，一個信號要通過一個物理系統(tǒng)來實現(xiàn)，理上的因果關系。因此，一個信號要通過一個物理系統(tǒng)來實現(xiàn)，就必須滿足：就必須滿足：x(t)x(t)0(t0(t0)0)，這就是把滿足這一條件的信號稱之，這就是把滿足這一條件的信號稱之為物理可實現(xiàn)信號的原因。同理，對于離散信號而言，滿足為物理可實現(xiàn)信號的原因。同理，對于離散信號而言，滿足x(n)x(n)0(n0(n0)0)條件的序列，即稱為因果序列。條件的序列，即稱為因果序列。2-1 信號的分類信號的分類v信號分析中常用的函數信號分析中常用的函數函數函數v函數

8、的含義函數的含義：在：在 時間內激發(fā)一個矩形脈沖時間內激發(fā)一個矩形脈沖Sg(t)(Sg(t)(或三角形或三角形脈沖、雙邊指數脈沖、鐘形脈沖等脈沖、雙邊指數脈沖、鐘形脈沖等) )，其面積為，其面積為1 1。當。當00時，時，Sg(t)Sg(t)的極限就稱為的極限就稱為函數，記作函數，記作(t)(t)。函數也稱為單位脈函數也稱為單位脈沖函數。沖函數。2-1 信號的分類信號的分類從函數極限角度看從函數極限角度看 000ttt從面積的角度看從面積的角度看 1lim0dttsdttg2-1 信號的分類信號的分類v函數的性質函數的性質采樣特性采樣特性：如果：如果函數與某一連續(xù)函數函數與某一連續(xù)函數f(t)

9、f(t)相乘，顯然其相乘，顯然其乘積僅在乘積僅在t=0t=0處為處為f(0)(t)f(0)(t)，其余各點，其余各點(t0)(t0)之乘積均為之乘積均為零。其中零。其中f(0)(t)f(0)(t)是一個強度為是一個強度為f(0)f(0)的的函數。函數。 tfttf0 000tttftttf篩選篩選( (積分積分) )特性特性：若：若函數與某一連續(xù)函數函數與某一連續(xù)函數f(t)f(t)相乘，則相乘，則其乘積僅在其乘積僅在t=0t=0處為處為f(0)(t)f(0)(t)，其余各點，其余各點(t0)(t0)之乘積均之乘積均為零。其中為零。其中f(0)(t)f(0)(t)是一個強度為是一個強度為f(0

10、)f(0)的的函數。函數。 0fdtttf 00tfdttttf2-1 信號的分類信號的分類v函數的性質函數的性質卷積特性卷積特性：任何函數和：任何函數和函數卷積是一種最簡單的卷積積分。函數卷積是一種最簡單的卷積積分?？梢姾瘮悼梢姾瘮祒(t)x(t)和和函數的卷積的結果，就是在發(fā)生函數的卷積的結果，就是在發(fā)生函數的坐函數的坐標位置上標位置上( (以此作為坐標原點以此作為坐標原點) )簡單地將簡單地將x(t)x(t)重新構圖。重新構圖。 txdttxdttxttx*2-1 信號的分類信號的分類v函數的頻譜函數的頻譜將將 (t) (t)進行付立葉變換：進行付立葉變換：可見時域的可見時域的函數具有無

11、限寬廣的頻譜，而且在所有的頻段上函數具有無限寬廣的頻譜，而且在所有的頻段上都是等強度的，這種頻譜常稱為都是等強度的，這種頻譜常稱為“均勻譜均勻譜”。 102edtetfftj2-1 信號的分類信號的分類sinc sinc 函數函數)( ,sin,sin)(sintttortttc2-1 信號的分類信號的分類復指數函數復指數函數tjtsteeejsttetettsincos根據根據s s取值不同，復指數取值不同，復指數函可以概括信號分析中函可以概括信號分析中所遇到的多種波形。虛所遇到的多種波形。虛軸代表振蕩頻率，實軸軸代表振蕩頻率，實軸代表振幅變化。時域中代表振幅變化。時域中遇到的任何時間函數，

12、遇到的任何時間函數，總可以表示成復指數函總可以表示成復指數函數的離散和與連續(xù)和。數的離散和與連續(xù)和。2-1 信號的分類信號的分類當當s=js=j時，時，e ejj稱之為復頻率函數，它作為正交函數出現(xiàn)于傅稱之為復頻率函數，它作為正交函數出現(xiàn)于傅里葉級數與傅里葉變換之中。里葉級數與傅里葉變換之中。tjtetjsincos它包含了實部和虛部，在復它包含了實部和虛部，在復平面上呈共軛，可視為一對相向平面上呈共軛，可視為一對相向旋轉的矢量，其角速度為旋轉的矢量，其角速度為，周，周期為期為T=2/T=2/，任一時刻的相角，任一時刻的相角為為tt。當當t=0t=0，T/4T/4，2T/42T/4，3T/43

13、T/4，T T時，矢量時，矢量e ejtjt=1=1，j j，-1-1，-j-j，1 1，呈周期性變化。，呈周期性變化。2-2 系統(tǒng)系統(tǒng)v一、系統(tǒng)的定義一、系統(tǒng)的定義由若干個相互作用、相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的由若干個相互作用、相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。如計算機系統(tǒng)、測試系統(tǒng)、通信系統(tǒng)等。構成測試系統(tǒng)的整體。如計算機系統(tǒng)、測試系統(tǒng)、通信系統(tǒng)等。構成測試系統(tǒng)的每一個單元，也可以看成是一個基本系統(tǒng)（或元系統(tǒng)）。每一個單元，也可以看成是一個基本系統(tǒng)（或元系統(tǒng)）。v二、系統(tǒng)的分類二、系統(tǒng)的分類連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)(按系統(tǒng)的輸入輸出分按系統(tǒng)的

14、輸入輸出分)v連續(xù)時間連續(xù)時間系統(tǒng)的數學模型用微分方程表示系統(tǒng)的數學模型用微分方程表示v離散時間離散時間系統(tǒng)的數學模型用差分方程表示系統(tǒng)的數學模型用差分方程表示即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)v即時系統(tǒng)，也稱為無記憶系統(tǒng)即時系統(tǒng)，也稱為無記憶系統(tǒng)：其輸出信號只決定于同時刻的：其輸出信號只決定于同時刻的激勵信號，與它過去的工作狀態(tài)無關?？捎么鷶捣匠堂枋?。激勵信號，與它過去的工作狀態(tài)無關?？捎么鷶捣匠堂枋觥動態(tài)系統(tǒng)，也稱有記憶系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)，也稱有記憶系統(tǒng)：其輸出與它過去的工作狀態(tài)有關。：其輸出與它過去的工作狀態(tài)有關?？捎梦⒎只虿罘址匠堂枋??？捎梦⒎只虿罘址匠堂枋?。2-2 系統(tǒng)系統(tǒng)集總參數系統(tǒng)

15、與分布參數系統(tǒng)集總參數系統(tǒng)與分布參數系統(tǒng)v集總參數系統(tǒng)集總參數系統(tǒng)：只由集總參數元件組成的系統(tǒng)，其數學模型為：只由集總參數元件組成的系統(tǒng)，其數學模型為常微分方程。常微分方程。v分布參數系統(tǒng)分布參數系統(tǒng)：含有分布參數元件的系統(tǒng)。其數學模型為偏微：含有分布參數元件的系統(tǒng)。其數學模型為偏微分方程。描述系統(tǒng)的獨立變量不僅是時間，而且與空間位置有分方程。描述系統(tǒng)的獨立變量不僅是時間，而且與空間位置有關。關。線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng)時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng)(按系統(tǒng)參數是否隨時間變化來區(qū)分按系統(tǒng)參數是否隨時間變化來區(qū)分)因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)v因果系統(tǒng)因果系

16、統(tǒng)：只有在激勵加入之后才有響應輸出。所有的物理系：只有在激勵加入之后才有響應輸出。所有的物理系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。2-2 系統(tǒng)系統(tǒng)v三、系統(tǒng)分析方法三、系統(tǒng)分析方法時域分析法時域分析法v直接分析時間變量的函數，研究系統(tǒng)的時間響應特性。如時域直接分析時間變量的函數，研究系統(tǒng)的時間響應特性。如時域統(tǒng)計分析、相關分析等。統(tǒng)計分析、相關分析等。變換域分析法變換域分析法v將時域函數變換成相應變換域的某種變量函數。如傅里葉變換將時域函數變換成相應變換域的某種變量函數。如傅里葉變換以頻率為獨立變量，研究其頻域特性；而拉氏變換與以頻率為獨立變量，研究其頻域特性；而拉氏變換與Z變換是變換是利用利用s

17、域或域或z域特性，解釋或說明系統(tǒng)的傳輸特性。域特性，解釋或說明系統(tǒng)的傳輸特性。vz變換能把離散時間系統(tǒng)的差分方程轉化為簡單的代數方程。變換能把離散時間系統(tǒng)的差分方程轉化為簡單的代數方程。2-2 系統(tǒng)系統(tǒng)v四、線性系統(tǒng)分析的基本理論四、線性系統(tǒng)分析的基本理論1 1、線性系統(tǒng)、線性系統(tǒng)v一個線性系統(tǒng)對輸入信號一個線性系統(tǒng)對輸入信號x(t)的作用可用這樣的一般關系式表的作用可用這樣的一般關系式表示：示：y(t)=Lx(t)v這里的這里的L代表系統(tǒng)對信號代表系統(tǒng)對信號x(t)進行的各種運算，如加法、乘法、進行的各種運算，如加法、乘法、微分、積分等。微分、積分等。v由線性系統(tǒng)的疊加性原理可得出下列等式：

18、由線性系統(tǒng)的疊加性原理可得出下列等式：)()()()(000tyatxLatxaLtyknknkkkkknkk2-2 系統(tǒng)系統(tǒng)2 2、線性系統(tǒng)的脈沖響應、線性系統(tǒng)的脈沖響應2-2 系統(tǒng)系統(tǒng)3 3、線性系統(tǒng)頻響函數、線性系統(tǒng)頻響函數v系統(tǒng)的響應特性在時域可用脈沖響應函數描述：系統(tǒng)的響應特性在時域可用脈沖響應函數描述：)()(tLthv系統(tǒng)對任一輸入系統(tǒng)對任一輸入x(t)的響應與脈沖響應函數的關系：的響應與脈沖響應函數的關系：dthxty)()()(v上式兩邊同時進行傅里葉變換：上式兩邊同時進行傅里葉變換：)()()()()(HXdtedthxYtj dtethHtj)()(頻率響應函數頻率響應函

19、數2-2 系統(tǒng)系統(tǒng)4 4、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與物理可實現(xiàn)性、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與物理可實現(xiàn)性v 為滿足物理可實現(xiàn)性，系統(tǒng)的脈沖響應函數應滿足：為滿足物理可實現(xiàn)性，系統(tǒng)的脈沖響應函數應滿足：)0(0)(tth 這樣，對物理可實現(xiàn)性系統(tǒng)有：這樣，對物理可實現(xiàn)性系統(tǒng)有：0)()()(dthxty若一個時不變線性系統(tǒng)，對任意有界輸入其響應也有界，則稱若一個時不變線性系統(tǒng)，對任意有界輸入其響應也有界，則稱這樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。此時有：這樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。此時有：dtth| )(|如果如果h(t)h(t)不可積，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。不可積，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2-3 信號的時域分析信號的時域分析 v一、時域統(tǒng)計分析一、時域

20、統(tǒng)計分析信號的均值信號的均值它是信號的常值分量它是信號的常值分量 dttxTTx0001信號的有效值信號的有效值即信號的均方根值即信號的均方根值 00201TrmsdttxTx信號的均方值信號的均方值即信號的平均功率即信號的平均功率 002021TxdttxT信號的方差信號的方差 dttxTxTTx2021lim222xxx表示信號的強度表示信號的強度2-3 信號的時域分析信號的時域分析概率密度函數概率密度函數表示信號幅值落在指定區(qū)間內的概率表示信號幅值落在指定區(qū)間內的概率如圖，如圖，x(t)值落在值落在(x,x+x)區(qū)間內的時間區(qū)間內的時間Tx為：為：niinxttttT121當樣本函數的記

21、錄時間當樣本函數的記錄時間T趨于無窮大時，趨于無窮大時，Tx/T的比值就是幅值落的比值就是幅值落在在(x，x+x)區(qū)間的概率：區(qū)間的概率： TTxxtxxPxTxlim2-3 信號的時域分析信號的時域分析 TTxxtxxPxTxlim定義幅值概率密度函數為：定義幅值概率密度函數為： xxxtxxPxpxx0lim概率密度函數提供了隨機信號幅值分布的信息，是隨機信號概率密度函數提供了隨機信號幅值分布的信息，是隨機信號的主要特征參數之一。不同的隨機信號有不同的概率密度函數圖的主要特征參數之一。不同的隨機信號有不同的概率密度函數圖形，可以借此來識別信號的性質。形，可以借此來識別信號的性質。當不知道所

22、處理的隨機數據服從何種分布時，可以用統(tǒng)計概當不知道所處理的隨機數據服從何種分布時，可以用統(tǒng)計概率分布圖和直方圖法來估計概率密度函數。率分布圖和直方圖法來估計概率密度函數。概率分布函數概率分布函數表示表示x(t)x(t)的瞬時值小于或等于的瞬時值小于或等于R R的概率的概率 dxxpxFR2-3 信號的時域分析信號的時域分析初始相角為隨機量的正弦信號初始相角為隨機量的正弦信號正弦信號正弦信號+隨機噪聲隨機噪聲窄帶隨機噪聲窄帶隨機噪聲寬帶隨機噪聲寬帶隨機噪聲2-3 信號的時域分析信號的時域分析2-3 信號的時域分析信號的時域分析聯(lián)合概率函數聯(lián)合概率函數描述兩個或幾個隨機信號的不同數據的共同描述兩個

23、或幾個隨機信號的不同數據的共同特性或聯(lián)合特性特性或聯(lián)合特性TTyxyxpxyTyxlim1lim,00式中式中T Txyxy/T/T表示表示x(t)x(t)落在落在(x+x)(x+x)范圍內，而范圍內，而y(t)y(t)同同時落在時落在(y+y)(y+y)范圍內的聯(lián)范圍內的聯(lián)合概率。合概率。2-3 信號的時域分析信號的時域分析v二、時域分解二、時域分解為了從時域了解信號的性質，或便于分析處理，可從為了從時域了解信號的性質，或便于分析處理，可從不同角度將信號分解為簡單的信號分量之和。不同角度將信號分解為簡單的信號分量之和。1 1、直流與交流分量、直流與交流分量)()()(txtxtxAD有時也可

24、把信號分解為一個穩(wěn)態(tài)分量與交流分量之和。穩(wěn)態(tài)有時也可把信號分解為一個穩(wěn)態(tài)分量與交流分量之和。穩(wěn)態(tài)分量往往是一種有規(guī)律的變化量，稱之為趨勢項；而交流分量可能分量往往是一種有規(guī)律的變化量，稱之為趨勢項；而交流分量可能包含了所研究物理過程的頻率、相位信息，也可能是隨機噪聲。包含了所研究物理過程的頻率、相位信息，也可能是隨機噪聲。2-3 信號的時域分析信號的時域分析2 2、偶分量與奇分量、偶分量與奇分量)()()(txtxtxoe偶分量對稱于縱軸，奇分量對原點對稱。偶分量對稱于縱軸，奇分量對原點對稱。3 3、脈沖分量之和、脈沖分量之和x(t)可分解為許多脈沖可分解為許多脈沖分量之和，如矩形脈沖之和、分

25、量之和，如矩形脈沖之和、階躍函數的疊加等。階躍函數的疊加等。當矩形脈沖寬度無窮小當矩形脈沖寬度無窮小時，即為脈沖分量之和。討時，即為脈沖分量之和。討論系統(tǒng)對任意輸入的響應時論系統(tǒng)對任意輸入的響應時就用到了這一概念。就用到了這一概念。2-3 信號的時域分析信號的時域分析4 4、實部分量與虛部分量、實部分量與虛部分量)()()(*tjxtxtxIR實際物理信號多為實信號，但在信號分析中常借助復信號來實際物理信號多為實信號，但在信號分析中常借助復信號來研究某些實信號的問題，用它可以建立某些有益的概念或簡化運研究某些實信號的問題，用它可以建立某些有益的概念或簡化運算算( (如回轉軸徑向誤差的分析如回轉

26、軸徑向誤差的分析) )。2-3 信號的時域分析信號的時域分析5 5、正交函數分量、正交函數分量x(t)x(t)可用正交函數集來表示：可用正交函數集來表示：)()()()(2211txctxctxctxnn各分量的正交條件為：各分量的正交條件為：2121)(0)()(2ttittjikdttxdttxtx各分量的系數在滿足最小方差條件下由下式求得：各分量的系數在滿足最小方差條件下由下式求得：2121)()()(2ttittjiidttxdttxtxc滿足正交條件的函數有三滿足正交條件的函數有三角 函 數 、 復 指 數 函 數 、角 函 數 、 復 指 數 函 數 、WalshWalsh函數等。

27、函數等。2-3 信號的時域分析信號的時域分析v三、直方圖分析三、直方圖分析是對時域波形進行統(tǒng)計的一種方法是對時域波形進行統(tǒng)計的一種方法2-3 信號的時域分析信號的時域分析2-3 信號的時域分析信號的時域分析v四、時域相關分析四、時域相關分析、相關函數的物理含義、相關函數的物理含義相關函數描述了兩個信號之間的關系或相似程度，也可以描相關函數描述了兩個信號之間的關系或相似程度，也可以描述同一信號的現(xiàn)在值與過去值的關系，或者根據過去值、現(xiàn)在值述同一信號的現(xiàn)在值與過去值的關系，或者根據過去值、現(xiàn)在值來估計未來值。來估計未來值。2-3 信號的時域分析信號的時域分析2 2、自相關函數、自相關函數dttxt

28、xRx)()()(2/2/)()(1lim)(TTTxdttxtxTR能量信號能量信號功率信號功率信號3 3、互相關函數、互相關函數dttytxRxy)()()(2/2/)()(1lim)(TTTxydttytxTR能量信號能量信號功率信號功率信號相關函數的性質：相關函數的性質：P282-3 信號的時域分析信號的時域分析4 4 、典典型型信信號號的的自自相相關關函函數數及及功功率率譜譜2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析v一、周期信號的幅值譜、相位譜、功率譜一、周期信號的幅值譜、相位譜、功率譜將信號的時域描述通過數學處理變換為頻域分析的方法稱為將信號的時域描述通過數學處理變換為頻域分析的方法稱

29、為頻譜頻譜分析分析。對周期信號，時域到頻域的變換工具是三角傅里葉級數或復數傅對周期信號，時域到頻域的變換工具是三角傅里葉級數或復數傅里葉級數。前者得到的是單邊譜，后者得到的是雙邊譜。里葉級數。前者得到的是單邊譜，后者得到的是雙邊譜。關系稱為幅值譜或|nnCA關系稱為功率譜或22|nnCA關系稱為相位譜n三角三角FourierFourier級數展開式：級數展開式：100)cos(2)(nnntnAatx由式可知它是由一系列單向旋轉的矢量組成的，由式可知它是由一系列單向旋轉的矢量組成的，n表示了矢量表示了矢量An相對于參考軸（橫軸）在相對于參考軸（橫軸）在t=0t=0時刻的初始位置。時刻的初始位置

30、。2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析復數復數FourierFourier級數展開式：級數展開式：ntjnneCtx0)(Cn是復平面內的一對共軛旋轉矢量，其是復平面內的一對共軛旋轉矢量，其模為模為A An n/2/2，初相位為，初相位為n ，n表示矢量表示矢量C Cn n相相對于參考軸（實軸）在對于參考軸（實軸）在t=0t=0時刻的位置，時刻的位置，并且在相位譜圖上呈奇對稱分布。（如并且在相位譜圖上呈奇對稱分布。（如余弦信號的復數形式譜）余弦信號的復數形式譜）jtjjtjeeeet002121)cos(02-4 信號的頻域分析信號的頻域分析周周期期矩矩形形脈脈沖沖信信號號的的復復數數形形式式

31、譜譜2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象 Gibbs現(xiàn)象是由于展開式在間斷點鄰近域不能均勻現(xiàn)象是由于展開式在間斷點鄰近域不能均勻收斂所引起的。即使在收斂所引起的。即使在N時，這一現(xiàn)象也依然存時，這一現(xiàn)象也依然存在。當在。當N增加時，其合成波形越接近于原波形。增加時，其合成波形越接近于原波形。 這一現(xiàn)象表明，信號中的低頻分量影響了脈沖頂這一現(xiàn)象表明，信號中的低頻分量影響了脈沖頂部，而高頻分量影響間斷點處的波形。據此，當從時部，而高頻分量影響間斷點處的波形。據此，當從時域觀察一個信號時，從波形變化的緩急程度就可以看域觀察一個信號時，從波形變化的緩急程度就可以看出所包含的頻率成分

32、，即變化平緩的信號其頻帶窄，出所包含的頻率成分，即變化平緩的信號其頻帶窄，變化越快則頻帶越寬。變化越快則頻帶越寬。 此外，此外， Gibbs現(xiàn)象也是研究濾波器及窗函數的數現(xiàn)象也是研究濾波器及窗函數的數學基礎。學基礎。2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析v二、非周期信號的幅值譜密度、能量譜密度二、非周期信號的幅值譜密度、能量譜密度1 1、傅里葉變換及其譜圖分析、傅里葉變換及其譜圖分析對時域有限信號，其能量為有限值，滿足收斂可積條件。其頻對時域有限信號，其能量為有限值，滿足收斂可積條件。其頻域分析的數學手段是傅里葉變換。域分析的數學手段是傅里葉變換。傅里葉逆變換傅里葉變換deXtxdtetxXtj

33、tj)(21)()()(傅里葉逆變換傅里葉變換dfefXtxdtetxfXftjftj22)()()()(或：或：2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析傅里葉逆變換deXtxtj)(21)(復數傅里葉級數展開式ntjnneCtx0)(比較上面兩式可知，非周期信號也可以分解成許多不同頻率成比較上面兩式可知，非周期信號也可以分解成許多不同頻率成分的正、余弦分量。不同的是，由于非周期信號的周期分的正、余弦分量。不同的是，由于非周期信號的周期T，基，基頻頻0d，它包含了從，它包含了從0到到的所有頻率分量，各頻率分量的幅值的所有頻率分量，各頻率分量的幅值X()d/2趨于無窮小，所以頻譜不能再用幅值表示，而

34、必須用密趨于無窮小，所以頻譜不能再用幅值表示，而必須用密度函數表示。度函數表示。X()具有單位頻率的幅值的量綱，且是一復函數。具有單位頻率的幅值的量綱，且是一復函數。)(Re)(Imarctan)(| )(|)()(XXeXXj關系稱為相位譜密度關系稱為幅值譜密度)(| )(| X2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析 例：矩形脈沖信號的頻譜例：矩形脈沖信號的頻譜2/|, 02/|,)(ttAtx2sin)()(cAdtetxXtj|2sin| )(|cAX, 3 , 2 , 1) 1(4|) 12(2,) 12(2|4, 0)(nnnnn2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析2 2、逆傅里葉變換

35、中的、逆傅里葉變換中的GibbsGibbs現(xiàn)象現(xiàn)象對周期信號，當用有限諧波分量合成原信號時，在時域間斷點對周期信號，當用有限諧波分量合成原信號時，在時域間斷點處存在處存在GibbsGibbs現(xiàn)象。同樣，在逆現(xiàn)象。同樣，在逆FourierFourier變換中，信號在間斷點處也變換中，信號在間斷點處也存在這一現(xiàn)象。存在這一現(xiàn)象。2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析 總結以上分析，無論總結以上分析，無論Fourier級數還是級數還是Fourier變換，變換，Gibbs現(xiàn)象現(xiàn)象是在一個域內截斷，而在另一個域內的波形振蕩現(xiàn)象（或稱波動現(xiàn)是在一個域內截斷，而在另一個域內的波形振蕩現(xiàn)象（或稱波動現(xiàn)象）。這個

36、振蕩是指象）。這個振蕩是指sinc(t)型函數。型函數。變換變換方式方式時域信號時域信號截斷截斷方式方式譜圖譜圖區(qū)間區(qū)間FSIFSFTIFT周期矩形脈沖周期矩形脈沖間斷點處振蕩間斷點處振蕩矩形脈沖矩形脈沖間斷點處振蕩間斷點處振蕩時域時域頻域頻域時域時域頻域頻域Sinc(t)型函數加權的離散譜型函數加權的離散譜Sinc(t)型函數加權的離散譜型函數加權的離散譜Sinc(t)型函數加權的連續(xù)譜型函數加權的連續(xù)譜Sinc(t)型函數加權的連續(xù)譜型函數加權的連續(xù)譜- -B- -B- -B- -B2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析3 3、功率信號的、功率信號的FourierFourier變換變換對功率

37、信號，由于其不滿足收斂可積的條件，故不能直接進行對功率信號，由于其不滿足收斂可積的條件，故不能直接進行Fourier變換。但對于某些功率信號，如脈沖、階躍、斜坡、符號、變換。但對于某些功率信號，如脈沖、階躍、斜坡、符號、復頻率函數、直流、正弦以及脈沖序列等，可借助于廣義函數理論復頻率函數、直流、正弦以及脈沖序列等，可借助于廣義函數理論求其頻譜：把功率信號作為某個適當函數的極限形式，允許交換積求其頻譜：把功率信號作為某個適當函數的極限形式，允許交換積分運算與求極限運算的次序，并允許變換中包含脈沖函數。分運算與求極限運算的次序，并允許變換中包含脈沖函數。 例：求符號函數的頻譜。例：求符號函數的頻譜

38、。010001)sgn(tttt令：令：)sgn(lim)sgn(| |0tettaa則：則：jjajadtetetFatjtaa2)11(lim)sgn(lim)sgn(0| |02-4 信號的頻域分析信號的頻域分析v三、隨機信號的功率譜密度三、隨機信號的功率譜密度1 1、自功率譜與互譜、自功率譜與互譜隨機信號是時域無限信號，不滿足收斂可積分的條件，故不能直隨機信號是時域無限信號，不滿足收斂可積分的條件，故不能直接進行接進行Fourier變換。又因為隨機信號的頻率、幅值、相位都是隨機的變換。又因為隨機信號的頻率、幅值、相位都是隨機的，因此，從理論上講，一般不作幅值譜和相位譜分析，而是用具有統(tǒng)

39、，因此，從理論上講，一般不作幅值譜和相位譜分析，而是用具有統(tǒng)計特性的功率譜密度來作譜分析。計特性的功率譜密度來作譜分析。deSRdeRSjxxjxx)(21)()()(因為自相關函數是偶函數，所以因為自相關函數是偶函數，所以Sx()是非負實偶函數，其譜密度是非負實偶函數，其譜密度函數定義在所有頻率域上，一般稱作雙邊譜。實際應用中，頻率一般函數定義在所有頻率域上，一般稱作雙邊譜。實際應用中，頻率一般取非負數，這種譜稱為單邊功率譜密度函數，用取非負數，這種譜稱為單邊功率譜密度函數，用Gx()表示。表示。)0()(2)(2)(deRSGjxxx2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析deSRdeRSjx

40、yxyjxyxy)(21)()()(同理可得同理可得x(t)x(t)和和y(t)y(t)之間的互譜密度函數：之間的互譜密度函數：)0()(2)(2)(deRSGjxyxyxy因為互相關函數為非偶函數，所是互譜函數是一個復數，即：因為互相關函數為非偶函數，所是互譜函數是一個復數，即：dRQdRCjQCGxyxyxyxyxyxyxysin)(2)(cos)(2)()()()(實部稱為共譜（協(xié)譜、余譜）密度函數；實部稱為共譜（協(xié)譜、余譜）密度函數；虛部稱為正交譜（重譜、方譜）密度函數。虛部稱為正交譜（重譜、方譜）密度函數。2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析實際應用中常用譜密度的幅值和相位來表示：實

41、際應用中常用譜密度的幅值和相位來表示：)()(arctan)()()(| )(| )(|)(22)(xyxyxyxyxyxyjxyxyCQQCGeGGxy互譜表示出了幅值及兩個互譜表示出了幅值及兩個信號之間的相位關系。信號之間的相位關系。必須指出的是互譜不像自必須指出的是互譜不像自譜那樣具有功率的物理涵譜那樣具有功率的物理涵義。引入互譜的概念是為義。引入互譜的概念是為了能在頻率域描述兩個平了能在頻率域描述兩個平穩(wěn)隨機過程的相關性。穩(wěn)隨機過程的相關性。實際中也用它來測定線性實際中也用它來測定線性系統(tǒng)的動態(tài)特性系統(tǒng)的動態(tài)特性2-4 信號的頻域分析信號的頻域分析2 2、相干函數與頻率響應函數、相干函

42、數與頻率響應函數)()()()()(| )(|22xxyyxxyxyGGHGGG相干函數，又稱凝聚函數相干函數，又稱凝聚函數 相干函數是譜相關分析的重要參數，特別是在系統(tǒng)辨識中，它相干函數是譜相關分析的重要參數，特別是在系統(tǒng)辨識中，它可以判明輸出可以判明輸出y(t)y(t)與輸入與輸入x(t)x(t)之間的關系。其值等于之間的關系。其值等于1 1時，說明時，說明y(t)y(t)與與x(t)x(t)完全相關；其值小于完全相關；其值小于1 1時，表明測量過程中有噪聲干擾，或存時，表明測量過程中有噪聲干擾，或存在系統(tǒng)的非線性等。在系統(tǒng)的非線性等。2-5 卷積與相關定理卷積與相關定理v一、卷積一、卷積

43、卷積積分是一種運算方法，是分析線性系統(tǒng)的重要工卷積積分是一種運算方法，是分析線性系統(tǒng)的重要工具。相關與卷積有許多共同之處。具。相關與卷積有許多共同之處。1 1、卷積積分的物理意義、卷積積分的物理意義v卷積有許多不同的叫法，如褶積等。函數卷積有許多不同的叫法，如褶積等。函數x(t)與與h(t)的卷積積的卷積積分定義為：分定義為：)()()()()(thtxdthxty)()()()()(txthdtxhty或：或： 其物理意義是：其物理意義是：線性系統(tǒng)對任意輸入線性系統(tǒng)對任意輸入x(t)的響應的響應y(t)就是就是x(t)與與系統(tǒng)脈沖響應函數系統(tǒng)脈沖響應函數h(t)的卷積。的卷積。2-5 卷積與

44、相關定理卷積與相關定理0)()()(dthxty2-5 卷積與相關定理卷積與相關定理 卷積的運算過程：卷積的運算過程：1)反折：反折：得到得到h()的鏡像的鏡像h()2)平移：平移：得得h(t1) (圖圖c) 得得h(t2) (圖圖d)等等3)相乘：相乘： h(t1) x() 4)積分：積分： h(t) 與與x() 乘積曲線乘積曲線下所包面積即為下所包面積即為t 時刻的卷積值時刻的卷積值 當當h()沿整個時間軸經過上沿整個時間軸經過上述四個步驟后，即可得述四個步驟后，即可得x(t)與與h(t)的卷積（圖的卷積（圖e） 2 2、卷積積分的幾何圖形表示、卷積積分的幾何圖形表示2-5 卷積與相關定理

45、卷積與相關定理 一般卷積積分的積分限是一般卷積積分的積分限是(, )：)()()()()(thtxdthxty如果兩個函數中，如果兩個函數中，h(- )h(- )的非零值下限是的非零值下限是，而，而x()x()的下的下限是零，則積分下限為零；如果限是零，則積分下限為零；如果h(- )h(- )與與x()x()的非零值上限為的非零值上限為，則積分上限為，則積分上限為 ；如果其中之一的非零值上限為；如果其中之一的非零值上限為t t，則積分上限，則積分上限取為取為t t。tdthxty0)()()(2-5 卷積與相關定理卷積與相關定理 3 3、含有脈沖函數的卷積、含有脈沖函數的卷積 計 算 函 數計 算 函 數x(t)x(t)與脈沖函與脈沖函數的卷積，就數的卷積，就是 簡 單 地 將是 簡 單 地 將x(t)x(t)在產生脈在產生脈沖函數的坐標沖函數的坐標位置上重新構位置上重新構圖。圖。2-5 卷積與相關定理卷積與相關定理4 4、時域卷積定理、時域卷積定理)()()()()()()()(fXfHtxthXHtxth)()()()()()()()()()(HXdeXhddtetxhdtedtxhtxthFjtjtj 證明：證明：2-5 卷積與相關定理卷積與相關定理 用時域卷積定理用時域卷積定理求兩個矩形脈沖信號求兩個矩形脈沖信號的卷積的卷積 此例說明時域卷此例說