簡諧激勵振動理論的應用

1、第四節(jié) 簡諧激勵振動理論的應用、旋轉(zhuǎn)不平衡質(zhì)量引起的強迫振動（一）運動方程及其解在高速旋轉(zhuǎn)機械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵來源之一。-MC個旋轉(zhuǎn)機械的力學模性：設旋轉(zhuǎn)機械總質(zhì)量為M ,5轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量為 m，偏心距為e，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度為O選靜平衡位置為坐標原點，坐標x表示機器離開靜平衡位置的垂直位移，而偏心質(zhì)量的位移為x esin t根據(jù)牛頓運動定律，列出系統(tǒng)的振動微分方程(M m)dYdt2md2(x esin t)c? kxMX& c& kxme2 . -sin t上式的形式與方程（3-1)相似，只是由故前面所有的分析都可適用。設cn 1M，2M n，則方程（

2、3-18）的穩(wěn)態(tài)響應為x(t)X si n(t)式中振幅X為Xme 2J(k M2)2(c )2me 21kV(i2 r)2(2 r)2mer2M J(1 r2)2(2 r)2顯然，相位差 為tgc2rk m 21r2整理后，得（3-18）me 2 代替了 Fo，可見，偏心質(zhì)量引起的強迫振動的振幅與不平衡質(zhì)量me成正比。為了減小振動，旋轉(zhuǎn)機械的轉(zhuǎn)子通常要作平衡試驗， 使質(zhì)量分布盡可能均勻。（二）幅頻特性放大因子定義為MXmeJ(1 r2)2(2 r)2(3-19)以放大因子MX為縱坐標，頻率比r為橫坐標，阻尼比 為me參數(shù)，畫出幅頻特性曲線。MX1.當r0時，MX0，即振幅接近于零。me2.當

3、r1 時，MXme1,即振幅趨近于常數(shù)，即而與激勵頻率及阻尼比基本上無關。3.共振發(fā)生在r即時，位于r1的右邊，共振振幅為X晉2 1當阻尼很小時（廠0.2），可以認為當發(fā)生共振，共振振幅為me例題:臺慣性式激振器安放在機器正上方，以測定機器的振動特性。激振器有一對帶有偏心 質(zhì)量、等速反向旋轉(zhuǎn)的 齒輪組成。當旋轉(zhuǎn)角速 度W為時，偏心質(zhì)量的 離心慣性力在水平方向合力為零，在垂直方向合成激振力 me® 2sin w t ,k/2k/2其中m為總的偏心質(zhì)量，e為偏心距。通過改變轉(zhuǎn)速，測得共振時的垂直振幅為/7771.07cm，而超過共振很遠時，垂直振幅趨于定值0.32 cm。若偏心質(zhì)量為 1

4、2.7kg，偏心距為15 cm ,支承彈簧剛度為(2)轉(zhuǎn)速為k=976.7N/cm。計算(1 )支承阻尼器的阻尼比;N=300r/min時機器的垂直振幅。解：設機器和激振器的總質(zhì)量為 M。系統(tǒng)的振動微分方程為MX& cX& kxme 2sin t(1)共振時(r =1 )的振幅為乂memax 2 M1.07 cm而 r >> 1(超過共振很遠時)時有me 0.32 cmM所以阻尼比X2Xmax0.322 1.070.15(2)當轉(zhuǎn)速為 N=300r/min 時，激勵頻率為2 N"60- 由n爲和X叵n V me23006031.4(rad/s)頻率比 rm

5、e 得M，得J97.6 100 喬2V 12.7 15 黑 2.4512.812.8( rad/s)則機器的振幅為r2X me_M 加 r2)2 (2 r)22.4520.32 J(1 2.45)2 (2 0.15 2.45)20.38 (cm)49例3-2:橋式起重機運行機構(gòu)采用高速空心軸傳動，軸的兩端由調(diào)位軸承支承，軸上無別的零件。空心軸的內(nèi)徑di為，外徑為d2，兩支承間距離為I，求軸的臨界轉(zhuǎn)速（r/min ）。El,2m軸的臨界轉(zhuǎn)速ncr為：ncr有頻率即可求出軸的臨界轉(zhuǎn)速60 n。2故只要知道梁的固ncr。求連續(xù)梁第一階固有頻率時，其模型可按如下簡化（離散化）：將梁離散為三點：兩個端點

6、和一個中點，其中梁的兩端端點的質(zhì)量各為總質(zhì)量的四分之一，即2m mi=fQ E如圖所示。這點的質(zhì)量為總質(zhì)量的二分之一，即也2樣處理后，可以把梁看作是抗彎剛度為 EI、無質(zhì)量的彈性梁。m/2m Elm/2",I/2,I/2 1*由靜變形法，知g 睡V V ml3式中是梁中點的靜變形，由材力知mgl348EI、基礎運動引起的強迫振動在許多情況下，系統(tǒng)受到的激勵來自于支承的運動，如固定在機器上的儀表， 汽車在不平的路面行駛時的振動等 等，都是支承運動引起的強迫振動。（一）運動方程及其解kS C申 J k(x y) c(x y)21如圖所示是受基礎激勵的振動力學模型。以系統(tǒng)靜平衡 位置為坐標

7、原點建立坐標系:x -質(zhì)量塊的位移y -基礎的位移設基礎運動規(guī)律為y Ysin t由牛頓運動定律，得mx&k(x y) c(& y)即(3-20)(a)t c Y cos tmS& c& kx ky c&或也可寫成：mS& c& kx kY sin利用復指數(shù)法求解上式。用y Yej t代換yYe t，代入式（a），得kx kYej tYsin t,所以oym Oc&假定方程（x(t)b)Xej t（k jc的解為jc Yej t)Yej t(c)式中則 X(t)X&t）帶入方程（-復振幅j Xej t2Xej t(k mb

8、)，得2) jc Xej t(k jc(kk jc m ) jc則實振幅為2 2k (c )2 2 2(k m ) (c )(e)相位差1 (2 r)2(1 r2)2(2 r)2me 3tg k(k m 2) (e )22 r31 r2(2 r)2故方程(b)的解為x(t) Xej( t )由于方程(3-20)中的激勵力y(3-27)（f）Y sin t是正弦函數(shù)，所以方程（3-20）的解也只能取式（f）的虛部，故方程（3-20）的解為x(t)Xsin( t )(二)幅頻特性令振幅放大因子為1 (2 r)2(1 r2)2(2 r)2(3-28)以放大因子X為縱坐標，頻率比r為橫坐標，阻尼比 為

9、參Y數(shù)，畫出幅頻特性曲線。由此可見，它與簡諧激勵力F0sin t作用下的響應曲線基本相同。所不同的是:4.0302010t=0=0125-Z =0. 2510 眨 203.01.當r J2(n)時，振幅 X等于基礎運動振幅Y，與阻尼無關。2.當r2 (n)時，振幅X小于基礎運動振幅Y，增加阻尼反而使振幅 X增大。例題：試求圖示系統(tǒng)在上端有基礎運動的穩(wěn)態(tài)響應。已知X1*x1 as in tki和激勵頻率2陪解：系統(tǒng)的運動微分方程為mX& (k k1)x k1x1即X*mX& (k k1)x k1asin固有頻率為k k|m頻率比為思考問題:(1)此題是用3.2中的式(3-4)還是

10、用342基礎激勵中的公式(h)來求解該題的響應?(2)此題相位差為多少?振幅為k1ak1a(k k1) m 2 2(k ki) m4(k ki) 2ma3 k ki相位差為則系統(tǒng)的響應為x Xsin( tXsi n例題3-3:如圖為汽車的拖車在波形道路上行駛，引起垂直方向振動的簡化模型。已知k350，車速v 100呢。滿載時拖車質(zhì)量1000 kg，10.5?？蛰d時拖車質(zhì)量m2250 kg。路面成正弦波形，可表示成y 丫 sin?-vt，其中 L 5m。L解：（1）基礎激勵的頻率丫2 100 1072v/（60 6°） 34.95(2)空載時的阻尼比阻尼系數(shù) c 2（milk 2 2J

11、m2k2 7m(3)滿載和空載時的頻率比0.憎223滿載時系統(tǒng)的固有頻率350 103n1 *V rn100018.7（滿載時頻率比34.91.87n1 18.7空載時系統(tǒng)的固有頻率n2空載時頻率比mb2350 10325034.9n2 37.4(4)滿載和空載時車輛的振幅比37.40.932X滿載時仝Y1 （2 11）22 2 2 0.68（1 12）2（2 11）2空載時X2Y（11 （2 22）222 22 ） （22r2）1.130.6、隔振機器超過允許范圍的振動影響著本身的正常運行及壽命，而且還造成環(huán)境污染，影響周圍設備的正常工作和人體 健康，有效地隔振是相當重要的問題。隔振就是在振

12、源和振 體之間設置隔振系統(tǒng)或隔振裝置，以減少或隔離振動的傳 遞。隔振分為兩類：主動隔振隔離機械設備通過支座傳遞至地基的振31動，以 減少動力的傳遞 。被動隔振防止地基的振動通過支座傳遞至需保護的精密設備或儀器儀表，以 減少運動的傳遞 。隔振裝置通常由合適的彈性材料及阻尼材料組成，例如1.主動隔振F0sin tF0sin tzzzzzzzz/kXcX c X振源是機器本身。主動隔振的目的是減少傳遞到地基上的力。其隔振效果用力傳遞率（系數(shù)）tf表示，它定義為Tf隔振后傳遞到地基上的力（Ft）隔振前傳遞到地基上的力（Fo）隔振后機器的強迫振動為X sin( t )X sin( t故機器通過彈簧傳遞到

13、地基上的力為kX機器通過阻尼器傳遞到地基上的力為k)& k其合力為Ft V(kX)TT)2 kX /(2r)2式中Fo1 (2 r)2(1 r2)2(2 r)2F%X ,7(1 r2)2 (2 r)2所以力傳遞率為(3-3)2.被動隔振y Y sin1 (2 r)2(1 r2)2(2 r)2(3-29)xtkS c中.yz z z z z z z zxy*事*事*事事被動隔振振源來自地基運動。被動隔振的目的是減小傳遞到機器的運動，其隔振效果用位移傳遞率 (系數(shù))TD來表 示，它定義為Td隔振后機器的振幅(X) 1 隔振前機器的振幅(Y)顯然有Td1 (2 r)2(1 r2)2(2 r)

14、2(3-28)比較主動隔振式（3-29）和被動隔振式（3-28）可知，主動隔振式和被動隔振的原理是相似的。故此，力傳遞率（系數(shù)）Tf和位移傳遞率（系數(shù)）TD統(tǒng)稱為傳遞率（系數(shù)），用符號專遞率T有如下特點:1 (2 r)21(1 r2)2(2 r)2（1）不論阻尼大小，只有當頻率比 r（即2）n時，才有傳遞率T1,即隔振才起作用。（2）當頻率比r后，隨著r的增加，傳遞率T逐漸減小；當頻率比r 5之后，傳遞率T的減小趨于平緩。故隔振效果提高是有限度的。通常頻率比r取值范圍在2.5-5內(nèi)。（3）當頻率比r J2后，增加阻尼反而使隔振效果變壞,Z , TZ阻尼比例題3-4 一電動機質(zhì)量為68kg，安裝在質(zhì)量為1200kg，兩者裝在一起后的固有頻率為2.667Hz，0.1，因電機失衡而產(chǎn)生激振力(1 )隔振塊的振幅;F(t) 100sin(31.4t) N。試求:電機fO隔振塊F0sin t(2)傳遞到基礎上的力 Ft。X X X X X X X解：(1)由題已知F0100 N，質(zhì)量 m 6812000.11268 kg2.66716.75731.41.87416.7571268