5-2向量的空間坐標(biāo)18029

1、Z z軸（豎軸）mIVOxovnX x軸（；y軸（縱軸）5-2向量的空間坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系過空間一定點(diǎn)0 ,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則 組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)面卦限（八個(gè)）在直角坐標(biāo)系下點(diǎn)p1一有序數(shù)組（x,y乎）向量op ''（稱為點(diǎn)p的坐標(biāo)）特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)0（0,0,0）；坐標(biāo)軸上的點(diǎn)A,B,C;坐標(biāo)面上的點(diǎn)心C'.。Cx,o,二 "（兀,0,0）0'（o, y,z）一 Q Po_y B（a y.O） A'（x jO）全體有序的三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的數(shù)組記為R3 =（x,y,z）x,y,zR那么 空間中的點(diǎn)集 I-R3

2、在平面直角坐標(biāo)系0Q中，平面上的點(diǎn)集 1疋=（兀,y） I兀,y w用 如前面所述空間中的點(diǎn)集與空間中的全體向量建立了對(duì)應(yīng):點(diǎn)P 1二向量喬點(diǎn)P的坐標(biāo)：（x,y,z）,Wp的坐標(biāo):（兀,）.一致坐標(biāo)面：X0尹面2 = 0j/oz 面x = 0zo兀面尹=0坐標(biāo)軸:X軸YZ軸Y以i ,j ,k分別表示的坐標(biāo)為p(x.y.z貝!|xi ,yzk稱為向量f沿二個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下，任意向量產(chǎn)可用向徑麗表示.忑兒z軸上的單位向量，設(shè)點(diǎn)P任意向量的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)a=MM2,則向徑1 T +幾丿+Z1&右=OMX = x>Tr2 = OM2 = xTTT2

3、T + M+Z? &AL 2Qk>.XMxM2 = (x2 -Xx)i + (丁2 -" +(® - zjk在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：aj, aj，a氏, 向量的坐標(biāo)表達(dá)式：a =ax, ap azmvm2 =x2-x y2-y特殊地：OM=x, y, z3.向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式 S = ax, ay,冬， b=bx, by, bz, a+b =ax+bx, ay+by, az+bz=(ax +bx)t+ (ay +by)j + (az +bz)k; a-b=ax-bx, ay-by, az-bz= (ax -bx)i +(ay 一)/

4、+(冬 bz)k； Aa=Aaxy 如，Aaz=(Xax)F + (Xay )j + (Kaz )斤內(nèi)積的坐標(biāo)表示式設(shè) 4 =（西，X，zj, °2 =（花，歹2, Z2）即 ax =xxi+ + a2 =x2i+ y2j-z2k.t i i = j j = k-k = 1 i j = j-k = k- i = O,（西汁y J+可可（兀2汁為/+勺云）兀1%2 +2122-設(shè)。=（兀,y, z）,所以由于 Qd=lQ|2=>ldl=Jd.d,I a J兀2 +y2 +八向量d的單位向量的坐標(biāo)表示則人至巴的距離為7u2-1）2 + （y2- Ji）2 + U2-1）2-。/ 匕

5、 證 因 n n _»PB =印2 一 OP =（兀2,九，勺）-3，）W J =（兀2-西2一H，Z2©）. 則距離I贏1=/兀2-旺）2+02_叩2+（込2_知）2.例2 已知空間中有三點(diǎn)A(1,O,1), 3(0,1,1), C(l,-1,1).求AB 與疋之間的夾角解 = (-1,1,0), AC = (0=< ABAC >,則cos <9 二ABAC-1匹1叉乘的坐標(biāo)表加介紹行列式的概念二階行列式:x y=兀刃一三階行列式:x=X丁2Z1+ Z兀1d（兀11皿），a?=（兀22圧2） 則百xN =（兀1' + X 丿 + Zi £

6、;）x （兀2 z + 兒 j + S k） ixi = jx j = kxk = 0; zxj = k, jxk =i, kxi = j,Q X =Oi i + X J+ 1)x(?+ j + z2k)= xx2(ixi )+x172(7xj )+兀02()+ 1X2(7x7) + y1y2( Jxj> 堺2 (Jxl)> f> ff f+ z1x2(xz) + z1y2(x丿)+z憶2(£x£ )=0憶2 - ©兒)，+(Z12 一兀憶2)J+ (尤2兀2開)比百XN =0憶222”+（召兀2一兀憶2）7+ （兀2兀2開）2 ij jj k%

7、 =（31G兀% Za2 =（兀22必2）兀2221 尹2 Z2 |X2 Z29兀2尹2丿例3設(shè)° = (1,0,2), b = (2-1,1).求一單位向量c使之 同時(shí)垂直于°與且c構(gòu)成右手系 解顯然，所求的向量為 ：二空axbj kaxb= 120 2 2z + 3j k - (2,3, 1),-1 1axb= Q+32+ (-二価. 故-_(2,3,-1)23-1c_ V14 _(V14，Vi4，V14J用叉乘判斷兩個(gè)向量是否共線？例4設(shè)。二(5,6,0), b = (1,2,3).問:與慶是否共線?解因?yàn)?i j k ,_ 一axb= 56 0 =18z-15j +

8、 40,12 3故方與庁不共線習(xí)題52 2. 4.6.9.11.13.向量的混合積的坐毋表示一設(shè) 7 =b =Cx2,y2,z2c 二 &3，兒忌），刈G 譏=7 G X b）=（護(hù)2 - Z“2）花 +（Z血一兀憶2）卩3兀3歹3+ （兀1卩2 _*2開）殲兒'1 ° |兀22乙2例5判斷下列三個(gè)向量是否共面：匸二（3,0,5）, b =（1,2,3）, c =（5,4,11）.驅(qū)3 0 5解：.（我）=1 2 3 =0,所以它們是共面的5 4 11方向余弦設(shè)°是一個(gè)非零向量,它與兀軸y軸冬z軸之夾角 分別為CC,卩,丫,則稱0,"0,樸為7的方向角, 稱COSQ,cos0,cos丫為向量-的方向余弦.a/. cos a -COS0 =ajcosy =a-k設(shè) d = &