《3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》導(dǎo)學(xué)案1

1、3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)案1課程學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.2. 應(yīng)用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的問題 .3. 會(huì)求等比數(shù)列的部分項(xiàng)之和 .第一層級(jí)知識(shí)記憶與理解知識(shí)體系梳理創(chuàng)設(shè)情境印度的舍罕王打算獎(jiǎng)賞發(fā)明國際象棋的大臣西薩班達(dá)依爾，并問他想得到什么樣的獎(jiǎng)賞.大臣說：“陛下，請(qǐng)您在這張棋盤的第一個(gè)小格內(nèi)賞給我一粒麥子，在第二個(gè)小格內(nèi)給兩粒，在第三個(gè)小格內(nèi)給四粒，照這樣下去，每一小格內(nèi)都比前一小格內(nèi)的麥子數(shù)增加一倍， 直到把每一小格都擺上麥子為止，并把這樣擺滿棋盤上六十四格的麥子賞給您的仆人.”國王認(rèn)為這位大臣的要求不算多，就爽快地答應(yīng)了.國王能實(shí)現(xiàn)他

2、的諾言嗎？知識(shí)導(dǎo)學(xué)問題1:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng) q=1 時(shí)，S=;當(dāng) q m 1 時(shí)，S=.問題2:我們來幫國王計(jì)算下要多少粒麥子，把各格所放的麥子數(shù)看成是一個(gè)數(shù)列an,它是一個(gè)a1=1, q=2, n=64的等比數(shù)列，問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列an的前64項(xiàng)的和，可求得 S=_=264- 1,而264- 1這個(gè)數(shù)很大，超過了 1.84X1019，所以國王根本 實(shí)現(xiàn)不了這個(gè)諾言問題3:用錯(cuò)位相減法來推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,它的前n項(xiàng)和是$=a+a1q+aq2+, +旳"1. Xq得 qS=aq+aiq2+, +a1qn-1+aiqn.-得(1 -q) S=.

3、當(dāng)q=1時(shí)，該數(shù)列是常數(shù)列，S=;當(dāng)qz 1時(shí)，該等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式為：S=.即S=.問題4:用等比數(shù)列的定義推導(dǎo)等比數(shù)列的前 由等比數(shù)列的定義，有=n項(xiàng)和公式：:=q.根據(jù)等比的性質(zhì)，有峻好他=_丸杠：*檢.：? (1 -q) S=ai-anq，即 S=：.：_】teg=q.基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1. 在等比數(shù)列an(nN+)中，若ai=1, a4=，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為().!A.2-B.2-C.2-D.2-2. 等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為1，前8項(xiàng)和為17,則這個(gè)等比數(shù)列的公比q等于().A.2 B. -2C.2或-2 D.2 或 13. 等比數(shù)列an的公比q>0，已知a2=1, an+2

4、+an+1=6an,則an的前4項(xiàng)和S=4. 求等比數(shù)列1, 2a, 4a2, 8a3,的前n項(xiàng)和S第二層級(jí)思維探究與創(chuàng)新重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為$,且Ss=3a3,求此數(shù)列的公比q.探究二考查分組求和法 已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且ai+a2=2( +)=8( + ).© 4<3 4(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=.+log 2an,求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和Tn.探究三對(duì)變量的分類討論S是無窮等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且公比qM 1,已知1是S和$的等差中項(xiàng)，6是2$和3 1 JS的等比中項(xiàng).(1) 求 S2和

5、S3；(2) 求此數(shù)列 an的前n項(xiàng)和公式.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一在等比數(shù)列an中，已知S3= , S6=，求an.應(yīng)用二求數(shù)列1+ , 2+ , 3+ ,的前n項(xiàng)和S.應(yīng)用三等差數(shù)列an中，公差dz0, a2是a與a4的等比中項(xiàng)，已知數(shù)列ai, a3,於，處，處， 成等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列kn的通項(xiàng)kn；(2) 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和S.第三層級(jí)技能應(yīng)用與拓展基礎(chǔ)智能檢測(cè)1. 設(shè)S為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，8a2+a5=0,則 等于().&A 11B. 5C.- 8D- 112. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a1=3，前3項(xiàng)和為21,則as+a4+a5等于().A 33B. 72C

6、 84D. 1893. 已知等比數(shù)列 an的首項(xiàng)為8, S是其前n項(xiàng)和，某同學(xué)經(jīng)計(jì)算得S2=24, Ss=38, S=65，后 來該同學(xué)發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)和算錯(cuò)了，則算錯(cuò)的是 ，該數(shù)列的公比是 .4. 在等比數(shù)列an中，若 a1= , a4=-4，求公比 q和 |a1|+|a 2|+ , +|an|.全新視角拓展(2013年全國大綱卷)已知數(shù)列 ®滿足3an+i+an=0, a2=-，則an的前10項(xiàng)和等于().A.-6(1-3-10) B. (1 - 310)C.3(1 -3-10)D.3(1 +3-10)i考題變式(我來改編)：第四層級(jí)總結(jié)評(píng)價(jià)與反思思維導(dǎo)圖構(gòu)建rfiai（5=l）箋比

7、數(shù)列的五牛冷曲沖,4, 能夠山其中 求另外學(xué)習(xí)體驗(yàn)分享第7課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和知識(shí)體系梳理問題2:一"714問題 3: a1-a 1qn問題4:基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1. B設(shè)數(shù)列an的公比為q,則q3=,二q=，二數(shù)列an的前10項(xiàng)和為一 =2了.i i"5" ?2. C一.=q4,所以 q=±2a 對(duì)札:3華 由 an+2+a+i=6an，得 qn+1+qn=6qn-1，即 q2+q-6=0，解得 q=2或-3(舍去)，又 a2=1，所以 ai=，2Js=_=；總24.解：t公比為q=2a,當(dāng)q=1，即a=時(shí)，Sn=n；$=腳.當(dāng)qz 1,即az時(shí)，貝U2陸

8、重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一：【解析】當(dāng)q=1時(shí)，S3=3a1=3a3,符合題目條件；2當(dāng)qz 1時(shí)，砸冊(cè)T3a1q，因?yàn)?a1 z 0,所以 1-q 3=3q2(1 -q),即 1+q+q2=3q2，解得 q=-.!綜上所述，公比q的值為1或-;1【小結(jié)】對(duì)于等比數(shù)列來講，必須要考慮q=1和qz 1兩種情況探究二：【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則an=aqn-1, 由已知得 a1+a2=2(+ ) = 一 .，仙比=2,由屮心+"辭曠旦疝2/a3a4=8q ,又 Tai>0, q>0.戀q = Z尉二&解得:;.- l.Aan=2"1.1?=1n i(

9、2)由(1)知bn=.+Iog 2an=4- +(n-i),%2n-1Tn=(1+4+4+, +4 )+(0+1+2+3+, + 門-1)=旳+妙=打+從；44 "F T "F【小結(jié)】求和時(shí)要注意分組求和法、錯(cuò)位相減法及裂項(xiàng)求和法等方法的應(yīng)用探究三：【解析】(1)根據(jù)已知條件:X 35s = 36,整理得.-一解得3S=2S3=6，即 TqM 1,則 Fi(l + q)=£牡(1+q+q釘二 3.可解得 q=<|, a1=4,(3S2X2S? = 36,【小結(jié)】要熟記等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一 ：TS6 2 S3, Aq 1, 一 -I 土

10、強(qiáng)_翌扔由*得 1 +q3=9, q=2, 代入得 a1= , an=a1qn-1=2n-2.!應(yīng)用二：由題意可知，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n+ ,? Sn=(1+)+(2 + )+, +(n+ ) =(1 +2+3+, +n) +( + + +, + )=鬧仃+1- 24?lit ? T ?應(yīng)用三:(1)由已知得(a計(jì)d) =a*a1+3d),解得&=或d=0（舍去），所以數(shù)列an的通項(xiàng)是an=nd.因?yàn)閿?shù)列ai, a3,成等比數(shù)列，勺啞*即數(shù)列d, 3d, kid, k2d, , , knd,成等比數(shù)列，所以公比 q=3, kid=32d, 即卩 ki=9,7所以數(shù)列kn是以ki=

11、9為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故 kn=9X 3n-1=3n+1.(2) s= + + +, +，-r ? 31s= + + +, + .，由-，并整理得s=(1- )-= -.4?4 4護(hù)1基礎(chǔ)智能檢測(cè)1. D 由 8a2+as=0得 8aiq+aiq4=0,q=-2,則 =-11.2. C 由 S3=a1(1 +q+q2) =21 且a=3，得q2+q-6=0，二 q=2(負(fù)根舍去)./.a3+a4+a5=q2( a +a?+a3) =22 -S3=84.3.S2設(shè)等比數(shù)列的公比為q,若S計(jì)算正確，則有q=2,但此時(shí)38, S豐65與題設(shè)不2符，故算錯(cuò)的就是 S2,此時(shí)，由Ss=38可得q=或q=-;當(dāng)q=時(shí)，S=65也正確；當(dāng)q=-時(shí)，SLLIII1不正確，舍去.所以