【KS5U解析】江蘇省無錫市2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、江蘇省無錫市20192020學(xué)年度第一學(xué)期期末考試試卷高一數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共計(jì)60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)并集的計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)榧?則.故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了并集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.2.若集合，集合，則集合與的關(guān)系是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】分析兩個(gè)集合分別表示的角度的范圍即可.【詳解】易得,故.故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合間的基本關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型.3.與向量平行的單位向

2、量是（ ）a. b. c. 或d. 或【答案】c【解析】【分析】利用單位向量模長等于1求解即可.【詳解】與向量平行的單位向量是.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了單位向量的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.4.已知向量，滿足，且，則等于（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積公式求解再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?故.故.故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直向量的數(shù)量積表示已經(jīng)向量的坐標(biāo)運(yùn)算等.屬于基礎(chǔ)題型.5.若扇形的弧長為，圓心角為2弧度，則扇形的面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)弧度的概念求解半徑再求面積即可.【詳解】易得半徑.故扇形的面積為 .

3、故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧度的基本概念以及扇形面積公式等.屬于基礎(chǔ)題型.6.已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（ ）a. 把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線b. 把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線c. 把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線d. 把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線【答案】d【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像平移與伸縮變換的方法判斷即可.【詳解】由曲線,知,把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)

4、縮短到原來的倍,得到,再縱坐標(biāo)不變,再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線.故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖像的平移與伸縮變換,屬于基礎(chǔ)題型.7.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）a. 2020年b. 2021年c. 2022年d. 2023年【答案】b【解析】【分析】根據(jù)條件列不等式,解得結(jié)果.【詳解】由題意求滿足最小n值，由得，開始超過200萬元的年份是2017+5-1=2021,選b.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函

5、數(shù)應(yīng)用與解指數(shù)不等式,考查基本求解能力,屬基礎(chǔ)題.8.函數(shù)的圖象大致為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先分析函數(shù)的奇偶性,再判斷當(dāng)時(shí)函數(shù)的值即可.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?且.故為奇函數(shù),排除b.當(dāng)時(shí), 遠(yuǎn)大于.此時(shí).排除ad.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的判斷,需要根據(jù)奇偶性與時(shí)的函數(shù)值大小判斷.屬于中等題型.9.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】求出在上的取值范圍,再代入單調(diào)遞減區(qū)間分析即可.【詳解】因?yàn)?故,又的單調(diào)遞減區(qū)間為.故.故當(dāng)時(shí),.故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)運(yùn)用

6、,需要根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式再求解.屬于中等題型.10.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)的周期是；函數(shù)的最大值為2；函數(shù)在上有無數(shù)個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì), 定義域?yàn)?又.故是偶函數(shù).正確.對(duì),易得,.故不是的周期.故錯(cuò)誤.對(duì),因?yàn)?又當(dāng)時(shí)可以取到等號(hào).故正確.對(duì), 當(dāng)時(shí),故.故正確.故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)判斷,需要根據(jù)題中所給的信息進(jìn)行逐個(gè)性質(zhì)的判斷,屬于中等題型.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）a. b. c

7、. 2d. 3【答案】a【解析】【分析】先化簡求得,再設(shè),再表達(dá)出求最小值即可.【詳解】由題,.又,由的對(duì)稱性,不妨設(shè),則,當(dāng)時(shí)有最小值.故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算與函數(shù)最值問題,屬于中等題型.12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】畫出與的圖像,分析圖像有四個(gè)交點(diǎn)的情況求解即可.【詳解】畫出如圖,又過,且為兩條射線,斜率分別為.由圖可得臨界條件為過和與拋物線相切時(shí).又當(dāng)過時(shí),.與拋物線相切時(shí), 判別式.由圖可得取較小值.故的取值范圍為.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的

8、問題,需要根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖像,再根據(jù)臨界條件列式求解.屬于難題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.計(jì)算：_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.14.已知函數(shù)，則等于_.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式求解即可.【詳解】易得.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)與指對(duì)數(shù)函數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.15.已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則_，由此，請(qǐng)比較下列兩個(gè)數(shù)的大?。篲.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)代入冪函數(shù)求解即可.

9、(2)根據(jù)與3的大小關(guān)系以及冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性判斷即可.【詳解】(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過點(diǎn),故.(2)因?yàn)?故.即.故答案為：(1). (2). 【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的解析式求解與函數(shù)值大小判斷,屬于中等題型.16.在中，已知，若點(diǎn)滿足，（），且，則實(shí)數(shù)_.【答案】【解析】【分析】將用向量表達(dá)再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?故,故.又即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基底向量的用法以及數(shù)量積公式,需要根據(jù)題意將所給條件用兩個(gè)基底向量去表示再求解,屬于中等題型.三、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

10、步驟）17.已知向量，滿足，的夾角為.（1）若，求的值；（2）若，求（）的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算方法求解即可.(2)平方后分析二次函數(shù)的最值求解即可.【詳解】（1）,.（2）當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),取得最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算以及模長的最值問題等.屬于中等題型.18.定義一種集合運(yùn)算：且，已知集合，.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與指數(shù)函數(shù)的值域求解集合再求交集即可.(2)根據(jù)新定義符號(hào)運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）對(duì)集合,有,解得,；對(duì)集合,.（2）,又,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合

11、的基本運(yùn)算以及指對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與值域等.同時(shí)也考查了新定義集合的運(yùn)用,屬于中等題型.19.已知函數(shù)為偶函數(shù)，記.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并給予證明.【答案】（1）（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,無減區(qū)間，證明見解析【解析】【分析】(1)利用偶函數(shù)滿足計(jì)算即可.(2)設(shè),且,再計(jì)算的正負(fù)分析即可.【詳解】（1）由于函數(shù)為偶函數(shù),則,代入中, 解得.（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.由（1）得.設(shè),且,則.,（*）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),（*）取“”,它與不符,故.,即,函數(shù)在上是增函數(shù),故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間.【點(diǎn)睛】本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)與單調(diào)性的證明方法等.屬于中等題型.20.在平

12、面直角坐標(biāo)系中，以為始邊作角與（），它們的終邊與單位圓分別相交于點(diǎn)，已知點(diǎn).（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正余弦值,再利用二倍角以及同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡求解即可.(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得再利用與正弦函數(shù)的差角公式求解即可.【詳解】（1）由三角函數(shù)的定義得,原式.故所求值為.（2）,故,【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)定義求值與和差角公式等.屬于中等題型.21.如圖，直線，點(diǎn)是之間的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)的直線垂直于直線，（為常數(shù)），點(diǎn)分別為上的動(dòng)點(diǎn)，已知.設(shè)（）.（1）求面積關(guān)于角函數(shù)解析式；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【

13、解析】【分析】(1)利用三角函數(shù)表示各個(gè)邊長的關(guān)系,再用梯形的面積減去兩個(gè)直角三角形表達(dá)出即可.(2)由(1)有,將正切值用正弦除以余弦表示,再利用三角函數(shù)的和差角二倍角與輔助角公式化簡成再求最值即可.【詳解】（1）由題意,在中,在中,.的面積,的面積,梯形的面積.（2）令.當(dāng)時(shí),即時(shí),取得最小值,此時(shí)取得最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)求解幾何圖形中的關(guān)系的方法.同時(shí)也考查了三角函數(shù)的公式以及最值的方法等.屬于難題.22.對(duì)任意實(shí)數(shù)，定義函數(shù)，已知函數(shù)，記.（1）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且，求使得等式成立的的取值范圍；（3）在（2）的條件下，求在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）（2）（3）答案不唯一，具體見解析【解析】【分析】(1)由題意恒成立,再利用二次函數(shù)恒成立的性質(zhì)求解即可.(2)由題,再分和兩種情況討論即可.(3) 由(2)知,