高中數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系

1、r某信息中心接到位于正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告L 正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到巨響的時(shí)間比它們晚4 s.已知各觀測(cè)點(diǎn)到中心的距離都是1 020 m.試確定巨響發(fā)生的位置.（假定聲音傳播的 速度為340 m/sT各觀測(cè)點(diǎn)均在同一平 面上）觀測(cè)點(diǎn)1觀攬!點(diǎn)俗息中心如圖1-1,將三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)記為A, B, C由于艮C 同時(shí)聽(tīng)到由點(diǎn)P發(fā)出的響聲，因此I =|PC| ,說(shuō)明 點(diǎn)F在線段BC的垂直平分線Z上；由于A聽(tīng)到響聲的時(shí) 間比C晚4 s,因此PB =4X340 = 1 360<IABI說(shuō)明點(diǎn)P在以點(diǎn)A, B為焦點(diǎn)的雙曲線F上.圖1-1下面利用問(wèn)題的幾何特征，通過(guò)

2、建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo) 系，具體確定點(diǎn)P的位置.如圖1-2,以信息中心為原點(diǎn)O,直線EA為工軸,怎樣建立直角坐標(biāo)系才有利于我們解決這個(gè)問(wèn)題?建立直角坐標(biāo)系.由已知，點(diǎn)A, B, C的坐標(biāo)分別為A(1 020, 0)» B(-l 020, 0), C(0, 1 020),直線I的方程為設(shè)雙曲線的方程是a tr由已知得a=680, c1 020,于是b2=c2-a2 = l 0202-6802 = 5X340S所以，雙曲線的方程為x2“68025X3402將，=-衛(wèi)代入上述方程，解得工=士680島，ji=T680V5.由已知，響聲應(yīng)在雙曲線的左半支.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-68075, 6807

3、5).從而 jPO I =680yi0(m).所以，巨響在信息中心的西偏北45°方向，距離680質(zhì) m處.我們以信息中心為基點(diǎn)，用角和距離刻畫(huà)了點(diǎn)P的位置這種方法與 用直角坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)P的位置有什么區(qū)別和聯(lián)系？你認(rèn)為哪種方法更方便？例1已知AABC的三邊a, b. c滿足，+/ = 5込 EE, CF分別為邊AC, AB上的中線，建立適當(dāng)?shù)钠矫?直角坐標(biāo)系探究BE與CF的位置關(guān)系.解:如圖P3,以ABC的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)O,邊AE所在的直線為z軸.建立直角坐標(biāo)系.由已知，點(diǎn)A, B,F的坐標(biāo)分別為A(0, 0), BCc9 0), F(p 0).設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(r y),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(子

4、，子). 線段BE與CF所在直線的斜率分別為 kHE = 2:9 kcF=2i由圧+/=5/,可得到|AC|2+|AB|2 = 5|BC|2, 即整理得所以2b =（2ec）（2c尤）kE kcF = l-因此，BE與CF互相垂直.你能建立與上述解答中不同的直角坐標(biāo)系解決這個(gè)問(wèn)題嗎？比較不同的直角坐 標(biāo)系下解決問(wèn)題的過(guò)程，你認(rèn)為建立直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)注意些什么？根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系的一些規(guī)則：(1) 如果圖形有對(duì)稱中心，可以選擇對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn);(2) 如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；(3) 使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能地在坐標(biāo)軸上。(1)怎樣由正弦曲線y=s inx得到曲線y=

5、s in2x? IIIy=sin2x在正弦曲線y=siw上任舉一點(diǎn)P(g),保持縱坐標(biāo)不變, 將橫坐椒縮為原來(lái)的4就得到正弦曲線戶sin2x2上述的變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換，即：設(shè)P&)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，保持縱坐標(biāo) 不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)1 ,得到點(diǎn)/(#,)/)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：,1X = X2通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。III(2)怎樣由正弦曲y=sinx得到曲 線y=3sinx ?寫(xiě)出其坐標(biāo)變換。y=3siwcy=siwc（2）怎樣由正弦曲y=sinr得到曲線y=3sinx?寫(xiě)出其坐標(biāo)變換。在正弦曲線上任取一點(diǎn)P（3）,保持橫坐標(biāo)兀不變, 將縱坐標(biāo)

6、伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，就得到曲線y=3sinx。設(shè)點(diǎn)p（心）經(jīng)變換得到點(diǎn)為通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸長(zhǎng)變換。(3)怎樣由正弦曲y=sinx得到曲線j=3sin2x?寫(xiě)出其坐標(biāo)變換。1=nr.III(3)怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x? 暑欝轟涼二;器;上任取一點(diǎn)尸(干丿)，保持縱坐 標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)?？s為原來(lái)的，在此基礎(chǔ)上, 將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，就得夠正弦曲線j=3sin2x.設(shè)點(diǎn)P (x5j)經(jīng)變換得到點(diǎn)為 亠通常把 叫做平面直角坐標(biāo)系中 的一個(gè)坐標(biāo)伸縮變換。定義：設(shè)F(w)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn), 在變換阡=加(2>0)廠、 叫八幻(“>0)

7、的作用下，點(diǎn)P(m)對(duì)應(yīng)"(xj)稱 (P為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換O注(1) 2>0，“>0(2)把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖 形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到；(3)在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。的乩瓷聲舉羋標(biāo)勇吁求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò) 伸縮變換J兀=2乂= 3，后的圖形。 2x+3y=0； (2)x2+y2=l解：(1)由伸縮變換 八力 得 代入2jt + 3y = 0 得# + # = °1 ,X = X2y*X = -Xf21 ,代入宀于二得+yf2 = 19(2)由伸縮變換(" = 2 乂得1

8、在同一直角坐標(biāo)系下，求滿足下列圖形的伸縮變換: 曲線4兀2+劉2=36變?yōu)榍€X2 + /2 = 1X 7 YI解:設(shè)伸縮變換S 0)代入x" +嚴(yán)=得才兀2 + “22二又4/+9y2=36 則2在同一直角坐標(biāo)系下經(jīng)過(guò)伸縮變換二弘后, 曲線C變?yōu)樽o(hù)_9)/2=9,求曲線c的方程并畫(huà)出 圖形。2解：將"代入 xf2-9y2=9得9/ 一 9y2 = 9 艮卩兀 $ y2=i課堂小結(jié)：(1) 體會(huì)坐標(biāo)法的思想，應(yīng)用坐標(biāo) 法解決幾何問(wèn)題；掌握平面直角坐標(biāo)系中的伸縮 變換。典例精析題型一軌跡探求例1線段4於的兩個(gè)端點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線上滑 動(dòng)，且IABI=4,求AB中點(diǎn)P的

9、軌跡方程.分析：題目未給出坐標(biāo)系，因此，應(yīng)先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，顯然 以互相垂直的兩直線分別為工軸，y軸最合適.解析：解法一 以兩條互相垂直的直線分別為兀軸，y軸，建立直 角坐標(biāo)系，如圖所示.T設(shè)j),由于04是直角三角形，P為的中點(diǎn)，所以,IOPI = IABI,即x2+j2 = X4,即x2+j2 = 4.故點(diǎn)P的軌跡方程為x2+/ = 4.解法二建立直角坐標(biāo)系，同解法一.y), A(xv 0), B(0,乃)，則兀+y = 16 .又P為AB的中點(diǎn)，所以Xj = 2x, y2 = 2j. 代入，得4兀2 + 4y2 = 16.故點(diǎn)P的軌跡方程為兀2 + j2 = 4.答案：x2+j2=4點(diǎn)

10、評(píng)：1. 求曲線方程一般有下列五個(gè)步驟:(1) 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并用(兀，刃表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)，在建立坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)充分考慮平 行、垂直、對(duì)稱等幾何因素，使得解題更加簡(jiǎn)化;(2)寫(xiě)出適當(dāng)條件P下的點(diǎn)M的集合：MLP(M);(2) 用坐標(biāo)表示條件P(M),寫(xiě)出方程/g j) = 0;(3) 化簡(jiǎn)方程/仗，j) = 0(必須是等價(jià)變形)；證明以(4)中方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，補(bǔ) 上遺漏點(diǎn)或挖去多余點(diǎn).一般地，方程的變形過(guò)程是等價(jià)的，步驟(5)可以省2. 求曲線方程主要有以下幾種方法：(1) 條件直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律就是一些幾何 量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單、明確，易于表達(dá)，

11、我們可以把這些關(guān)系直譯成含“兀，丿”(或p、0)的等 式，我們稱之為“直譯”.(2) 代入法(或利用相關(guān)點(diǎn)法)：有時(shí)動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何 條件不易求出，但它隨另一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，稱 之為相關(guān)點(diǎn).如果相關(guān)點(diǎn)滿足的條件簡(jiǎn)單、明確， 就可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，再用 條件直譯法把相關(guān)點(diǎn)的軌跡表示出來(lái)，就得到原動(dòng) 點(diǎn)的軌跡.(3) 參數(shù)法：有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，如果借助中間參量慘數(shù))，使兀、丿之間建立起 聯(lián)系，然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，這樣便可得動(dòng) 點(diǎn)的軌跡方程.(4) 定義法：若動(dòng)點(diǎn)滿足已知曲線的定義，可先設(shè)方程 再確定其中的基本量.3. 在掌握求曲線軌跡方程的一般

12、步驟的基礎(chǔ)上還要注 意：(1)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，坐標(biāo)系如果選擇恰當(dāng)，可使解 題過(guò)程簡(jiǎn)化，減少計(jì)算量.霧EX豐豐?勺營(yíng)范圍要在限定范圍的 蠶樑瞬確定出2的取值范圍最后 (3)坐標(biāo)系建立不同，同一曲線的方程也不相同.1.已知線段4長(zhǎng)4,則以A為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)F的軌跡方程是答案:兀2+y 2 = 4（好±2）釈在平而巔坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮燃hr曲線C變?yōu)榍€+>=1,求曲線Q的方程.IDIIIIOr：設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)為（心r）,經(jīng)過(guò)伸縮變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的代入+b=l,得土+話=1, 例4求方程$=血兀變?yōu)槭?扌血4*的伸縮變換公式.睡令變換公城二；J代入y = sin xlx

13、，=sin點(diǎn)評(píng)：若已知Pd，y）是伸縮變換之前圖形/U，j） = 0上的任意一點(diǎn)，（工/=（ ：0 ）在變換，/心的作用下，得到了 P£y）在變換下的對(duì)應(yīng) 點(diǎn)p（0, _/）,因而可以求得變換后的圖形方程/（xy）=o,反過(guò) 1X = j/ （2>0），來(lái),變換又可以表示為1點(diǎn)pa,y）對(duì)應(yīng)得到點(diǎn)円（0,廠卩'（“>o）,/ ），即由變換可得出/匕J）= o.我們還可以由變換前后的方程求出對(duì)應(yīng)的伸縮變換，這時(shí)只要求出入“的值即可.在坐標(biāo)伸縮變換的的作用下，可以實(shí)現(xiàn)平面圖形的伸縮，即平面 圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來(lái)表示.在伸縮變換0:的作用下，直線變成直線，

14、y *(“>0)圓可以變成橢圓，橢圓可以變成圓等.嗖式訓(xùn)練2.已知伸縮變換公式:曲線C在此變換下變?yōu)閥 v求曲線£的方程.解析=設(shè)朋，腫為曲線C上任意一點(diǎn)，把 代入十+"6 =19得” +廣=1 故曲線（7的方程為H+j，=l 答案：x2+/=l析疑難提能力例由j=sinx伸縮得到變換得到j(luò)=sin2x,橫坐標(biāo)是伸長(zhǎng)為 原來(lái)的2倍，還是縮為原來(lái)的女錯(cuò)解：由j=sinxHj=sin2r,橫坐標(biāo)是伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍.t" =kx,代入y' = sin2xf 中得y = sin2kx,將y = sin2kx 與 j = sin x比較系數(shù)可得R =扌，所以由j = sinx到丿=$詢加的伸縮變換是每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮為原來(lái)的2這與函數(shù)解 析式j(luò) = sin 2x的形式正好相反.正解：將變換后的曲線J=sin2x改寫(xiě)成yf=sm2xf ,xf =2x G>0), 設(shè)伸縮變換為仁(“、y =py (“>o)代入上式得妙=sin(22x),即 J=sin(22x),22=1,比較系數(shù)得丫 1a故伸縮變換為2x的伸縮變換是每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)為原來(lái)的*易錯(cuò)點(diǎn)：不理解伸縮變換的定義導(dǎo)致錯(cuò)誤【易錯(cuò)點(diǎn)辨析】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換關(guān)系式 =ax Q >0）,illF =阿（>0）,要區(qū)分a，腫與T，八的