上海中考數(shù)學(xué)之如何添加輔助線

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除教師姓名李老師學(xué)生姓名年級(jí)初三上課時(shí)間2014/05/1319:00-21:00學(xué)科中考數(shù)學(xué)課題名稱如何添加輔助線平面幾何是歷年來(lái)中考和競(jìng)賽的必考內(nèi)容，其題目的靈活性遠(yuǎn)遠(yuǎn)是代數(shù)題目所不能比擬的，從簡(jiǎn)單的選擇填空到較為復(fù)雜的中考?jí)狠S題甚至競(jìng)賽中的壓軸題，出題范圍極為廣泛， 難易程度差距較大，教學(xué)目標(biāo)對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)綜合運(yùn)用能力考察較多。許多初中生對(duì)幾何證明題感到困難，尤其是對(duì)需要添加輔助線的證明題，往往束手無(wú)策。 在這里通過(guò)介紹" 添加輔助線 "在平面幾何中的運(yùn)用,來(lái)提高學(xué)生對(duì)添加輔助線的解法能力。重點(diǎn)：三角形中輔

2、助線的添加教學(xué)重難點(diǎn)難點(diǎn)：如何找到添加輔助線的切入點(diǎn)知識(shí)精解一 、三角形中常見(jiàn)輔助線的添加：1、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊關(guān)系來(lái)證明.2、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再予以證明 .3、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.例 1：如圖 3-1 ：已知 AD為 ABC的中線，且 1 2, 3 4, 求證： BECFEF。4、有

3、與角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例 2：如圖 9-1 ：在 RtABC中， ABAC， BAC90°， 1 2， CEBD的延長(zhǎng)于 E 。求證：BD2CE。學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除5、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形：6、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線。例 3 如圖 3，在四邊形 ABCD中， AB=CD，E、F 分別是 BC、AD的中點(diǎn)， BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線 G、H。求證： BGE= CHE。7、利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)。例 4 如圖 6，已知梯形 ABCD中， AB/DC， ACBC，AD BD，求證：

4、AC=BD。8、構(gòu)造全等三角形法：（ 1）倍長(zhǎng)中線造全等；（ 2）截長(zhǎng)補(bǔ)短；（ 3）平移變換；（ 4）借助角平分線造全等；（ 5）利用翻折構(gòu)造全等三角形。二 、四邊形中常見(jiàn)輔助線的添加：1、與平行四邊形有關(guān)的輔助線作法（ 1）利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形（ 2）利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形（ 3）利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形2、和菱形有關(guān)的輔助線的作法（ 1）作菱形的高；（ 2）連結(jié)菱形的對(duì)角線 .3、與矩形有輔助線作法學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除（ 1）計(jì)算型題，一般通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問(wèn)題；（ 2）證明或探索題，一

5、般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問(wèn)題.4、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形， 又是中心對(duì)稱圖形， 有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問(wèn)題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對(duì)角線是解決正方形問(wèn)題的常用輔助線 . 5、與梯形有關(guān)的輔助線的作法（ 1）平移：平移一腰；平移二腰；平移對(duì)角線；例 5、已知：梯形 ABCD中， AD/BC，AD=1， BC=4， BD=3， AC=4，求梯形 ABCD的面積AD（ 2）延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形；（ 3）作一對(duì)角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；BHCE（ 4）作梯形的高；（ 5）作中位線：已知梯

6、形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線；已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線；例 6、如圖，在梯形 ABCD中， AD/BC，E、F 分別是 BD、AC的中點(diǎn)，求證：（1）EF/AD；（2） EF1 ( BC AD ) 。2在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。例 7、已知：梯形 ABCD中， AD/BC，E 為 DC中點(diǎn)， EFAB于 F 點(diǎn)， AB=3cm，EF=5cm，求梯形 ABCD的面積ADMFEBNC學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考作法平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為

7、三角形、平行四邊形。延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。中位線與腰中點(diǎn)連線。,如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除圖形ADBCEADBCEEADBCADBCEFADEBCF三、圓中常見(jiàn)輔助線的添加：（ 1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。（ 2）若題目中有“弦的中點(diǎn)”和“弧的中點(diǎn)”條件時(shí)，一般連接中點(diǎn)和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)果。（ 3）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖，圓 O中， BD OA于D，經(jīng)常是：延長(zhǎng)BD交圓于 C，利用垂徑定理。（ 4）若題目中有“切線”條件時(shí)，一般是：對(duì)切線引過(guò)切點(diǎn)的半徑，（ 5）若題目中有“兩圓相切” （內(nèi)切或外切），往

8、往過(guò)切點(diǎn)作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過(guò)切點(diǎn)）以溝通兩圓中有關(guān)的角的相等關(guān)系。經(jīng)典例題學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除1、已知 :PA= 2 ,PB=4, 以 AB為一邊作正方形ABCD,使 P、D兩點(diǎn)落在直線 AB的兩側(cè) .當(dāng) APB=45°時(shí) , 求 AB及 PD的長(zhǎng) .2、如圖，在四邊形ABCD中，若 AD/BC,BC=CD=AC=6,AB=32，則 BD的長(zhǎng)為多少？3、已知四邊形 ABCD 中， ABAD ， BCCD ， ABBC ， ABC120 ， MBN60 ，MBN 繞B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD，DC （或它們的延長(zhǎng)

9、線）于 E， F （ 1）當(dāng) MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AECF 時(shí)（如圖 1），求證 AE CFEF （ 2）當(dāng) MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AECF 時(shí)，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下， 上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE，CF ， EF 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系 ?請(qǐng)寫出你的猜想 , 不需證明AAABEMBE MBCFDCDF CDFNNNE（圖 1）（圖 2）（圖 3）M課堂練習(xí)1、如圖 1，在 ABC中， BD：DC1：3，AE：ED2：3，求 AF：FC。學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除2、如圖所示，在圓O 內(nèi)有折線OABC，其中

10、 OA8， AB 12， A B 60°，試求BC 的長(zhǎng) .3、在等邊 ABC 的兩邊 AB、AC 所在直線上分別有兩點(diǎn)M、 N， D 為 ABC 外一點(diǎn)，且 MDN60 ,BDC 120 ,BD=DC. 探究：當(dāng) M、N分別在直線 AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周長(zhǎng) Q與等邊 ABC 的周長(zhǎng) L 的關(guān)系圖1圖2圖3（ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) M、N 邊 AB、AC上，且 DM=DN時(shí)， BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)Q；L（ 2）如圖 2，點(diǎn) M、N 邊 AB、AC上，且當(dāng) DM DN時(shí)，猜想（ 1）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；課

11、后作業(yè)學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除1已知：如圖12，在 Rt ABC 中，C90 ，點(diǎn) O 在 AB 上，以 O 為圓心， OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC， AB 分別交于點(diǎn) D，E ，且CBDA （ 1）判斷直線 BD 與 O 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（ 2）若 AD BD 2 ，求 O 的面積CDAOEB圖 122、如圖，在 Rt ABC中， ACB 90°， AC5， CB12， AD是 ABC的角平分線，過(guò) A、 C、 D 三點(diǎn)的圓與斜邊 AB 交于點(diǎn) E，連接 DE。（ 1）求證： AC AE；A（ 2）求 ACD外接圓的半徑。ECDB3

12、、如圖：已知 AC BD，ADAC于 A ，BCBD于 B，求證： ADBC.4. 如圖所示，已知等腰梯形 ABCD中， ADBC， ACBD，AD BC10，DE BC于 E，求 DE的長(zhǎng) .學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除ADBCE5、，在Rt ABC中，A 90，AB AC， BC4 2，另有一等腰梯形DEFG（GFDE）的底邊DE如圖 1與 BC 重合，兩腰分別落在 AB 、 AC 上，且 G、 F 分別是 AB 、 AC 的中點(diǎn)（ 1）直接寫出 AGF 與 ABC 的面積的比值；（ 2）操作：固定 ABC ，將等腰梯形DEFG 以每秒 1 個(gè)單位的速度沿BC 方向向右運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)D 與點(diǎn) C 重合時(shí)停止設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x 秒，運(yùn)動(dòng)后的等腰梯形為DEF G （如圖 2）探究 1：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形CEF F 能否是菱形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)x 的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由探究 2：設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 ABC 與等腰梯形DEFG 重疊部分的面積為y ，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式AAGFGGFF(D) BC(E)圖 1B