【KS5U解析】河南省洛陽(yáng)市2020屆高三上學(xué)期第一次統(tǒng)一考試（1月）數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、洛陽(yáng)市2019-2020學(xué)年高中三年級(jí)第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷(理)第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得兩個(gè)集合的交集.【詳解】由，解得，所以.故選：c【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及復(fù)數(shù)模的幾何意義，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面

2、中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足，即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在圓心為，半徑為的圓上，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到的距離，也即圓上的點(diǎn)到圓心的距離，所以.故選：b【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及復(fù)數(shù)模的幾何意義，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.3.為了節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，我國(guó)政府從2001年起就通過(guò)相關(guān)政策推動(dòng)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展.下面的圖表反映了該產(chǎn)業(yè)發(fā)展的相關(guān)信息:中國(guó)新能源汽車(chē)產(chǎn)銷(xiāo)情況一覽表新能源汽車(chē)生產(chǎn)情況新能源汽車(chē)銷(xiāo)售情況產(chǎn)品(萬(wàn)輛)比上年同期增長(zhǎng)(%)銷(xiāo)量(萬(wàn)輛)比上年同期增長(zhǎng)(%)2018年3月6.810568117.44月8.1117.78.2138.45月9.685.610.2125.66月8.631.78.44

3、2.97月953.68.447.78月9.93910.149.59月12.764.412.154.810月14.658.113.85111月17.336.916.937.61-12月12759.9125.661.72019年1月9.11139.61382月5.950.95.353.6根據(jù)上述圖表信息，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）a. 2017年3月份我國(guó)新能源汽車(chē)的產(chǎn)量不超過(guò)萬(wàn)輛b. 2017年我國(guó)新能源汽車(chē)總銷(xiāo)量超過(guò)萬(wàn)輛c. 2018年8月份我國(guó)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量高于產(chǎn)量d. 2019年1月份我國(guó)插電式混合動(dòng)力汽車(chē)的銷(xiāo)量低于萬(wàn)輛【答案】d【解析】【分析】根據(jù)圖表對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)

4、.【詳解】對(duì)于a選項(xiàng)，2017年3月份我國(guó)新能源汽車(chē)的產(chǎn)量，故a選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于b選項(xiàng)，2017年我國(guó)新能源汽車(chē)總銷(xiāo)量，故b選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于c選項(xiàng)，2018年8月份我國(guó)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量萬(wàn)量，高于產(chǎn)量萬(wàn)量，故c選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于d選項(xiàng)，2019年1月份我國(guó)插電式混合動(dòng)力汽車(chē)的銷(xiāo)量，故d選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.故選：d【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表數(shù)據(jù)分析，考查閱讀與理解能力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，且成等差數(shù)列，則該數(shù)列公比為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得的值.【詳解】由于成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得.故選：c【

5、點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳最潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就.哥德巴赫猜想簡(jiǎn)述為“每個(gè)大于的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”(注:如果一個(gè)大于的整數(shù)除了和自身外無(wú)其他正因數(shù)，則稱(chēng)這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù))，如.在不超過(guò)的素?cái)?shù)，隨機(jī)選取個(gè)不同的數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和等于的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先求得以?xún)?nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】以?xún)?nèi)的素?cái)?shù)為共個(gè)，任選兩個(gè)的方法數(shù)有種，和為的有共種，所以不超過(guò)的素?cái)?shù)，隨機(jī)選取個(gè)不同的數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和等于的概率是.故選：b【點(diǎn)睛

6、】選本小題主要考查古典概型的計(jì)算，考查組合數(shù)的計(jì)算，考查素?cái)?shù)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.6.圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（ ）a. 1b. 3c. 5d. 9【答案】b【解析】【分析】求得圓心，代入直線，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】圓的圓心為，由于圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，圓心坐標(biāo)滿足直線方程，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：b【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查基本不等式求最小值.7.函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的大致圖象為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】由于，所以為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由此排除b,d

7、兩個(gè)選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，由此排除a選項(xiàng).故選：c【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.8.正三棱錐的三視圖如下圖所示，則該正三棱錐的表面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】通過(guò)三視圖還原出立體圖，通過(guò)條件可求得底面正三角形邊長(zhǎng)為，則底面積為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則可求側(cè)面積為，所以可得表面積.【詳解】如圖所示，底面正三角的高ad=3，所以，ab=ac=bc=，所以,又sh為側(cè)視圖中的高，所以sh=3，則,則在等腰中,所以側(cè)面積為，所以表面積為，故選a.【點(diǎn)睛】本題考查已知三視圖求幾何體的表面積，準(zhǔn)確的還原出立體圖是解題的關(guān)鍵，屬中檔題.9.已知點(diǎn)分別是雙曲線

8、的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且滿足，則雙曲線的離心率為（ ）a b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)判斷出三角形是直角三角形，利用、雙曲線的定義和勾股定理列方程組，化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】由于，所以三角形是直角三角形.所以，化簡(jiǎn)得，即.故選：c【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查雙曲線的定義，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10.設(shè)是定義在上的函數(shù)，滿足條件，且當(dāng)時(shí)，則，的大小關(guān)系是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用已知條件將轉(zhuǎn)換為，根據(jù)時(shí)的單調(diào)性，比較出的大小關(guān)系.【詳解】依題意，所以.因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以

9、.故選：b【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.11.正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).下列結(jié)論:線段上存在點(diǎn)，使得平面；線段上存在點(diǎn)，使得平面；平面把正方體分成兩部分，較小部分的體積為，其中所有正確的序號(hào)是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用線面平行的判定定理，作出點(diǎn)的位置，判斷正確.利用面面垂直的判定定理，判斷錯(cuò)誤.計(jì)算較小部分的體積，判斷正確.【詳解】設(shè)交于，過(guò)作，交于，連接交于，由于，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.故線段上存在點(diǎn)，使得平面，即正確.若平面，平面，則平面平面，這不成立，所以錯(cuò)誤

10、.延展平面為如圖所示，其中是的中點(diǎn).根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可知，相交于一點(diǎn)， ,所以多面體是棱臺(tái).且體積為.故正確.綜上所述，正確的序號(hào)為.故選：c【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線面平行、線面垂直有關(guān)定理，考查臺(tái)體體積計(jì)算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.12.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若對(duì)于任意實(shí)數(shù).不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】求得的范圍，轉(zhuǎn)化主參變量列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由.當(dāng)時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，-得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以恒成立，即，轉(zhuǎn)換為，在恒成立，所以，解得.故

11、選：a【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查不等式恒成立問(wèn)題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.平面向量與的夾角為，且，則 _【答案】【解析】【分析】利用來(lái)求得.【詳解】依題意.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量模的運(yùn)算，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.14.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值是_【答案】【解析】【分析】畫(huà)出可行域，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得的最小值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界點(diǎn)位置，此時(shí)取得最小值為.故答案為：

12、【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最小值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15.已知橢圓為右頂點(diǎn).過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線交軸于，橢圓的離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)【答案】【解析】【分析】設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線列方程，結(jié)合橢圓的離心率求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)，所以，由于三點(diǎn)共線，所以，解得.由于橢圓離心率，所以，所以.所以橢圓方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，且在定義域內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)【答案】或【解析】【分析】先求得的定義域，然后

13、對(duì)和的符合進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】依題意，定義域?yàn)?由于在定義域內(nèi)恒成立，則，恒成立，即在恒成立.令，故在上遞減，在上遞增，故.所以，由可得，即.，恒成立，即在恒成立，不存在這樣的.，當(dāng)時(shí)，由于在上遞增，在上遞減，要使在定義域內(nèi)恒成立，則需和有相同的零點(diǎn).由，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.故答案為：或【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式恒成立問(wèn)題的求解策略，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17.在中，角對(duì)應(yīng)邊分別為.(1

14、)若的面積滿足且，求的值；(2)若且為銳角三角形.求周長(zhǎng)的范圍.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合三角形面積公式和余弦定理，求得值，由此求得的大小，利用余弦定理列方程求得的值.（2）利用正弦定理表示出，用三角形內(nèi)角和定理和三角恒等變換求得的取值范圍，由此求得即三角形周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】(1)由條件和三角形的面積公式得，即.將余弦定理.代入上式得，即，因?yàn)椋詫?，代入，得結(jié)合條件得. (2)由正弦定理得所以因?yàn)?，且及銳角三角形得且，所以，所以，即，所以所以周長(zhǎng)范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查三角恒等變換，考查運(yùn)算求解能力，屬

15、于中檔題.18.如圖，已知四邊形為等腰梯形，為正方形，平面平面，.(1)求證:平面平面；(2)點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，求與平面所成角正弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的性質(zhì)證得，由面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出的長(zhǎng)，利用直線的方向向量和平面的法向量，求得與平面所成角正弦值的表達(dá)式，進(jìn)而求得與平面所成角正弦值的取值范圍.【詳解】在等腰梯形中， ，. 即，.又平面平面，平面平面平面，平面平面，平面平面（2）解:由(1)知，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，即令，則，平面的一個(gè)法

16、向量為.設(shè)與平面所成角為，當(dāng)時(shí)取最小值，當(dāng)時(shí)取最大值故與平面所成角正弦值的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查向量法計(jì)算線面角正弦值的取值范圍，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19.過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn).(1)若，且點(diǎn)在第一象限，求直線的方程；(2)若在直線上的射影分別為，線段的中點(diǎn)為， 求證.【答案】（1）.（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡(jiǎn)后寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用，結(jié)合平面向量相等的坐標(biāo)運(yùn)算、韋達(dá)定理，求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.（2）由（1）求得的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算，證得.【詳解】(1

17、)設(shè)方程為， ，聯(lián)立方程，消去得:，又由得:代人解得直線的方程為:，即.(2)由(1)得，【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20.設(shè)函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在三個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍，并證明:.【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2），證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）先求得的導(dǎo)函數(shù)，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且都不是.對(duì)分成兩種情況分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和零點(diǎn)，由此求得的取值范圍. 由上述分析可得，利用導(dǎo)數(shù)證得，從而證得.【詳解】(1).

18、令，得，得，在上遞減，在上遞增.即，解得，解得，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)，有三個(gè)極值點(diǎn)，方程有兩個(gè)不等根，且都不是，令，時(shí)，單調(diào)遞增，至多有一根，解得，解得.在上遞減，在上遞增，此時(shí)，時(shí).時(shí)，有三個(gè)根，且，由得，由得，下面證明:，可變形為令，在上遞增，【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值有關(guān)問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.21.“公平正義”是社會(huì)主義和諧社會(huì)的重要特征，是社會(huì)主義法治理念的價(jià)值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.每次考試過(guò)后，考生最關(guān)心的問(wèn)題是:自

19、己的考試名次是多少?自已能否被錄取?能獲得什么樣的職位? 某單位準(zhǔn)備通過(guò)考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用名，其中個(gè)高薪職位和個(gè)普薪職位.實(shí)際報(bào)名人數(shù)為名，考試滿分為分.(一般地，對(duì)于一次成功的考試來(lái)說(shuō)，考試成績(jī)應(yīng)服從正態(tài)分布. )考試后考試成績(jī)的部分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:考試平均成績(jī)是分，分及其以上的高分考生名.(1)最低錄取分?jǐn)?shù)是多少?(結(jié)果保留為整數(shù))(2)考生甲的成績(jī)?yōu)榉郑艏妆讳浫?，能否獲得高薪職位?若不能被錄取，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考資料:(1)當(dāng)時(shí)，令，則.(2)當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）分或分.（2）能獲得高薪職位.見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用考試的平均成績(jī)、高分考生的人數(shù)，以及題目所給正態(tài)分布的參考資料，求得考生成績(jī)的分布，利用錄取率列方程，由此求得最低錄取分?jǐn)?shù)線.（2）計(jì)算出不低于考生甲的成績(jī)的人數(shù)約為，由此判斷出甲能獲得高薪職位.【詳解】(1)設(shè)考生成績(jī)?yōu)椋瑒t依題意應(yīng)服從正態(tài)分布，即.令，則.由分及其以上的高分考生名可得即，亦即.則，解得，設(shè)最低錄取分?jǐn)?shù)線為，則則，.即最低錄取分?jǐn)?shù)線為分或分.(2)考生甲的成績(jī)，所以能被錄取.，表明不低于考生甲的成績(jī)的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，即考生甲大約排在第名，排在名之前，所以他能獲得