一個探究性問題的教學設計

1、一個探究性問題的教學設計現(xiàn)行教材增加了一些探究性的問題，促使學生親自動手去發(fā)現(xiàn)、提出、解決一些數(shù)學問題，有利于增強學生的綜合素質(zhì)。個人認為，開展探究性問題的教學目的并不在于獲得一個具體的數(shù)學結(jié)論或答案，而在于整個學習過程給學生所帶來的積極影響，也就是研究數(shù)學的一種思路、方法。沒有固定的模式，沒有可以借鑒的經(jīng)驗，要開展這樣的探究性問題的教學，一切都是“摸著石頭過河”。本文就是利用幾何畫板軟件對橢圓的定義進行發(fā)散思維的一個教學設計，也是對開展數(shù)學探究性問題作一些思考和探索。 【教學目的】使學生明確探求點的軌跡的思維出發(fā)點，理清這類軌跡問題的思路，高屋建瓴的把握軌跡問題的來龍去脈?！窘虒W輔助工具】網(wǎng)

2、絡教室，一人一機，幾何畫板軟件【教學方法】問題教學法。一題多變，發(fā)散思維，引導學生參與，激發(fā)學生創(chuàng)新，發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)在高中數(shù)學教學中的作用?！窘虒W過程】1、引入求曲線的方程、通過方程來研究曲線是解析幾何的兩大任務。今天與同學們共同討論一個問題：如何探求點的軌跡。問題是數(shù)學的心臟，思維先從問題開始。來看一個具體問題：問題：C是圓A內(nèi)的一個定點，D是圓上的動點，求線段CD的中垂線與半徑AD的交點F的軌跡方程。用幾何畫板作出圖1，拖動主動點D在圓A上轉(zhuǎn)動或者制作點D在圓A上運動的動畫按鈕，跟蹤點F，我們會發(fā)現(xiàn)，軌跡是一個橢圓，分析已知條件，不難知道原因：（為定值），且有。（圖1）建立點的軌跡方程。

3、取線段的中點為原點，直線為軸，建立直角坐標系。設，則由橢圓定義得到橢圓的方程。（其中）2、一題多變，發(fā)散思維變式1：探求點E的軌跡。（讓學生先猜測，用幾何畫板演示，從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再說明理由）學生追蹤點E的軌跡后，發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個圓（圖2）。分析：連接AC，取其中點G，連GE，可知 ，（為定值 ），所以點E的軌跡是以G為圓心，為半徑的一個圓。（圖2） 變式2：放寬對E點的限制，設E為CD上任意一點，探究點E的軌跡。（受變式1的啟發(fā)，學生猜測出點其軌跡還是一個圓，但是圓心和半徑發(fā)生了變化）。過E作AD的平行線，交AC與K，追蹤點K（圖3），發(fā)現(xiàn)軌跡是以K為圓心，長為半徑的圓。分析： ，易見 為定值

4、，因此軌跡為圓。 （圖3）教師引導學生歸納小結(jié)：通過剛才兩個變式的訓練，我們發(fā)現(xiàn)要找到點的軌跡，需從兩方面下手：一是找出約束動點變化的幾何條件；二是找出影響動點變動的因素。變式3：探求CF的中點G的軌跡。（這時學生的思維馬上會發(fā)生遷移，運用類比的思想方法，猜測出點G的軌跡是一橢圓）。學生追蹤線段CF的中點G的軌跡，發(fā)現(xiàn)是一橢圓（圖5）。分析：取AC中點H，連HG,則(為定值). （圖4）變式4：放寬對G點的限制，設G為CF上任意一點（不是C）,探求其軌跡（受變式2的啟發(fā)，學生會想到用三角形相似）。追蹤其軌跡,仍為一橢圓（圖5）. 分析：作,交于,則(為定值) （圖5）變式5：在直線CD上取一點

5、E，過E作CD的垂線EQ，與直線DA(或其延長線)交于Q，探求Q的軌跡。（學生紛紛猜測不是圓就是橢圓，教師引而待發(fā)）發(fā)現(xiàn)分別為“鴨蛋形” （圖6）、“導彈形” （圖7）.其軌跡方程可利用極坐標求得，為非常規(guī)方程，這里不做進一步闡述。（圖6） （圖7）這一系列的變式訓練可極大調(diào)動學習數(shù)學的主觀能動性，這樣的數(shù)學實驗也符合中學生的好動、喜新、求變的心理特征，學生在極富挑戰(zhàn)性的實驗過程中建構(gòu)起自己的數(shù)學知識架構(gòu)。3、自導自演，激發(fā)創(chuàng)新我們不光要善于解決問題，總結(jié)經(jīng)驗與方法，并運用這些經(jīng)驗與方法曲解決新的問題，更重要的是敢于提出問題，發(fā)現(xiàn)更多的問題。（為了進一步激發(fā)學生的探索欲望，此時可以對條件作進一

6、步的改變或者放寬，讓學生自己尋求答案，教師巡視，隨時給予指導）可能會出現(xiàn)下面的一些情況：將點C移到圓外，研究圖1中點F的軌跡（此時點F為CD中垂線與直線AC的交點）（雙曲線，圖8） （圖8）在直線EF上任意取一點S,發(fā)現(xiàn)其軌跡為一個圓（如圖9）（圖9）通過改變點C在圓內(nèi)和圓外的位置可以發(fā)現(xiàn)：圖2中E的軌跡圓與圖1中的橢圓和圖8中的雙曲線都是相切的（如圖10、圖11）（圖10） （圖11）4、教師小結(jié)，布置作業(yè)通過一系列的發(fā)散思維訓練，學生已基本掌握探求一個點的軌跡思維的出發(fā)點有兩個：（！）找出約束動點變動的幾何條件；（2）找出影響動點變動的因素。抓住這兩點，就抓住了問題的本質(zhì)?！窘虒W反思】本文開始提出的問題是一道常見的軌跡題，過去沒有更深入的研究，這里借助幾何畫板的“在動態(tài)中保持設定的幾何關(guān)系不變”的軟件特征深入研究了這道題目，另一方面，通過一題多變，發(fā)散思維，擴大到發(fā)現(xiàn)、歸納這類問題的解題規(guī)律，引導學生舉一反三，遷移知識與方法，