【KS5U解析】湖北省2020屆高三下學期4月線上調(diào)研考試數(shù)學（理）試題 Word版含解析

1、2020年湖北省高三（4月）線上調(diào)研考試理科數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知實數(shù)集r，集合，集合，則( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】可以求出集合，然后進行交集和補集的運算即可【詳解】解：所以，.故選：c.【點睛】本題考查了描述法的定義，交集和補集的運算，考查了計算能力，屬于基礎題2.已知，若，則( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】設由，可得，解得，【詳解】解：設.，解得.則，故選：b.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算性質(zhì)、復數(shù)相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題3.

2、若，則( )a. 0b. 1c. 1d. 2【答案】a【解析】【分析】令求得，再令即可求解結(jié)論【詳解】解：因為：，令可得：；令可得：；故.故選：a.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題4.中國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則.例如周髀算經(jīng)和易經(jīng)里對二十四節(jié)氣的晷（gu）影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的.下表為周髀算經(jīng)對二十四節(jié)氣晷影長的記錄，其中寸表示115寸分（1寸=10分）.節(jié)氣冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨

3、水（霜降）驚蟄（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（處暑）立夏（立秋）小滿（大暑）芒種（小暑）夏至晷影長（寸13575.516.0已知易經(jīng)中記錄某年的冬至晷影長為130.0寸，夏至晷影長為14.8寸，按照上述規(guī)律那么易經(jīng)中所記錄的春分的晷影長應為( )a. 91.6寸b. 82.0寸c. 81.4寸d. 72.4寸【答案】d【解析】【分析】由題意，晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的，冬至晷影長為130.0寸，設為，夏至晷影長為14.8寸，則為，春分的晷影長為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解【詳解】解：由題意，晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的，冬至晷影長為130.0寸，設為，夏至晷影長為1

4、4.8寸，則為，春分的晷影長為；即春分的晷影長為72.4故選：d【點睛】本題考查了等差數(shù)列的應用，屬于基礎題5.我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征如函數(shù)的圖象大致為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意，設f（x），分析函數(shù)的奇偶性可以排除a、d，結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法分析可得函數(shù)yf（x）為增函數(shù)，排除c；即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設f（x），有f（x）f（x），即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，排除a、d；設tcosx，

5、則y2t2+t+1，在區(qū)間0，上，tcosx為減函數(shù)，且0t1，y2t2+t+1，其對稱軸為t，開口向下，在區(qū)間（,）上為增函數(shù)，（,+）上為減函數(shù)，在區(qū)間（0,arccos）上，tcosx為減函數(shù)，此時t1，函數(shù)y2t2+t+1為減函數(shù)，故函數(shù)yf（x）為增函數(shù)，排除c；故選：b【點睛】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性的分析，屬于基礎題6.已知，則( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】解：，故選：d.【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用7.設等比數(shù)列的公比為q，

6、前n項和為，則“”是“”的( )a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】c【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和為結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷【詳解】解：若時，時，符合題意，是充分條件；反之也成立，故“”是“”的充要條件，故選：c.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解決本題的關鍵8.如圖，在平行四邊形abcd中，f為bc的中點，g為ef上的一點，且，則實數(shù)m的值為( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】可根據(jù)條件得出，并可設，然后根據(jù)向量加法的幾何意義和向量的數(shù)乘運算即可得出，從而根據(jù)平面向量

7、基本定理即可得出，解出即可【詳解】解：，f為bc的中點，設，又，解得.故選：a.【點睛】本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，平面向量基本定理，考查了計算能力，屬于中檔題9.已知函數(shù)，若存在，且，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，討論的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及一次函數(shù)解析式，即可求得a的取值范圍.【詳解】函數(shù)，若存在，且，使得成立，當，即時，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知存在，且，使得成立，當時，即時，若存在，且，使得成立，則，解得，所以，綜上所述，的取值范圍為，故選：c.【點睛】本題考查了分段函數(shù)

8、解析式的應用，分類討論思想的應用，屬于基礎題.10.已知雙曲線的左右焦點分別為f1，f2，過f1的直線與c的兩條漸近線分別交于a、b兩點，若以f1f2為直徑的圓過點b，且a為f1b的中點，則c的離心率為（ ）a. b. 2c. d. 【答案】b【解析】【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合已知可得f1boa，寫出f1b的方程，與y聯(lián)立求得b點坐標，再由斜邊的中線等于斜邊的一半求解【詳解】如圖，因為a為f1b的中點，所以，又因為b在圓上，所以0，故oaf1b，則f1b：y（x+c），聯(lián)立，解得b（,），則ob2（）2+（）2c2，整理得：b23a2，c2a23a2，即4a2c2，4，e2故選：b【點睛】本

9、題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題11.一豎立在水平面上的圓錐物體的母線長為2m，一只螞蟻從圓錐的底面圓周上的點p出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到p點，螞蟻爬行的最短路徑為，則圓錐的底面圓半徑為（ ）a. 1mb. c. d. 【答案】b【解析】【分析】將圓錐展開后的扇形畫出，結(jié)合母線及最短距離，即可確定圓心角大??；進而求得弧長，即為底面圓的周長，由周長公式即可求得底面圓的半徑.【詳解】將圓錐側(cè)面展開得半徑為2m的一扇形，螞蟻從爬行一周后回到（記作），作，如下圖所示：由最短路徑為，即，由圓的性質(zhì)可得，即扇形所對的圓心角為，則圓錐底面圓的周長為，則底面圓的半

10、徑為，故選：b.【點睛】本題考查了了圓錐側(cè)面展開圖、扇形弧長公式的簡單應用，屬于基礎題.12.已知函數(shù)，、，且都有，滿足的實數(shù)有且只有個，給出下述四個結(jié)論：滿足題目條件的實數(shù)有且只有個；滿足題目條件的實數(shù)有且只有個；在上單調(diào)遞增；的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】設，由，得出，由題意得出為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象得出，進而對各結(jié)論進行驗證.【詳解】，當時，.設進行替換，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于函數(shù)在上滿足的實數(shù)有且只有個，即函數(shù)上有且只有個零點，由圖象可知，解得，結(jié)論正確；由圖象知，在上只有一個最小值

11、點，有一個或兩個最大值點，結(jié)論正確，結(jié)論錯誤；當時，由知，所以在上遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)論正確綜上，正確的有.故選d【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的零點、最值點以及單調(diào)性有關命題的判斷，解題時要充分計算出對象角的取值范圍，并作出圖象進行驗證，考查推理能力，屬于難題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.設曲線yex+1上點p處的切線平行于直線xy10，則點p的坐標是_【答案】（0,2）【解析】【分析】先對函數(shù)求導數(shù)，然后根據(jù)切點處的導數(shù)值等于切線斜率，列出切點橫坐標滿足的方程即可【詳解】由題意得yex，且切線斜率為1設切點為p（x,y），則ex1，所以x0，ye0+12故切點

12、坐標為（0,2）故答案為：（0,2）【點睛】本題考查了利用導數(shù)的幾何意義的應用，本題利用切點處的導數(shù)等于切線斜率構(gòu)造方程求解，注意掌握14.某學校選拔新生補進“籃球”、“電子競技”、“國學”三個社團，根據(jù)資料統(tǒng)計，新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立.2019年某新生入學，假設他通過考核選拔進入該?！盎@球”、“電子競技”、“國學”三個社團的概率依次為m，n，已知這三個社團他都能進入得慨率為，至少進入一個社團的概率為，則_.【答案】【解析】【分析】利用相互獨立事件及對立事件的概率公式求解【詳解】解：因為通過考核選拔進入三個社團的概率依次為m，n，且相互獨立，所以，又因為三個社團他都能進

13、入的概率為，所以，因為至少進入一個社團的概率為，所以一個社團都不能進入的概率為，所以，即，聯(lián)立得：.故答案為：.【點睛】正確使用相互獨立事件及對立事件的概率公式進行計算，是解決此題的關鍵，屬于基礎題15.自湖北爆發(fā)新型冠狀病毒肺炎疫情以來，湖北某市醫(yī)護人員和醫(yī)療、生活物資嚴重匱乏，全國各地紛紛馳援某運輸隊接到從武漢送往該市物資的任務，該運輸隊有8輛載重為6t的a型卡車，6輛載重為10t的b型卡車，10名駕駛員，要求此運輸隊每天至少運送240t物資已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為a型卡車5次，b型卡車4次，每輛卡車每天往返的成本a型卡車1200元，b型卡車1800元，則每天派出運輸隊所花的成本最低為

14、_【答案】9600【解析】【分析】設每天派出a型卡車x輛，b型卡車y輛，運輸隊所花成本為z元，根據(jù)題意把實際問題數(shù)學化，列出需要滿足的不等式組，注意xn，yn，把運輸隊所花成本z看作目標函數(shù)，畫出可行域，根據(jù)目標函數(shù)平移得到最值的取法【詳解】設每天派出a型卡車x輛，b型卡車y輛，運輸隊所花成本為z元，則，且xn，yn，目標函數(shù)z1200x+1800y，畫出滿足條件的可行域如圖中陰影部分所示：由圖可知，當直線z240x+378y經(jīng)過點b（8,0）時，截距z最小，在可行域的整數(shù)點中，點（8,0）使z取得最小值，即zmin12008+180009600，每天排除a型卡車8輛，b型卡車0輛，運輸隊所花

15、的成本最低，最低成本為9600元，故答案為：.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題，根據(jù)題意列出不等式組是解題關鍵，本題屬于中檔題16.已知橢圓的左、右焦點分別為，m為橢圓上異于長軸端點的動點，的內(nèi)心為i，則_.【答案】【解析】【分析】運用橢圓的定義和圓切線的性質(zhì)，以及內(nèi)心的定義，結(jié)合解直角三角形的知識，即可求得【詳解】解：設的內(nèi)切圓與相切于d，e，f，設，則，由橢圓的定義，可得，即有，即有：，即，再由，故答案為：.【點睛】本題考查橢圓方程的定義，考查切線的性質(zhì)，內(nèi)心的定義，屬于中檔題三、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17題第21題為必考題，每個試題考生都必須作答

16、第22題第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17.在中，角a、b、c所對的邊為a、b、c，且滿.（1）求角b的值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應用可求，結(jié)合范圍，可求的值（2）由，可求得，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可求，由已知可求范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其取值范圍【詳解】解：（1），解得，可得，可得，或.（2），由（1）可得，由正弦定理，可得，.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦定理，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬于中檔題18.如圖，在四棱錐sabcd中

17、，側(cè)面scd為鈍角三角形且垂直于底面abcd，點m是sa的中點，.（1）求證：平面scd；（2）若直線sd與底面abcd所成的角為，求平面mbd與平面sbc所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點，連接，設，由已知可得，則，又平面底面，由面面垂直的性質(zhì)可得平面；（2）過點作的垂線，交延長線于點，連接，可得，則底面，故為斜線在底面內(nèi)的射影，求解三角形可得，從而，過點作，則底面，可得、兩兩垂直，以點為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系，然后分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成的銳二面角的

18、余弦值【詳解】解：（1）證明：取bc的中點e，連接de，設，依題意，四邊形abed為正方形，且有,，則.又平面底面abcd，平面底面，平面scd；（2）解：過點s作cd的垂線，交cd延長線于點h，連接ah，平面底面abcd，平面底面，平面scd，底面abcd，故dh為斜線sd在底面abcd內(nèi)的射影，為斜線sd與底面abcd所成的角，即.由（1）得，在中，在中，由余弦定理得，從而，過點d作，底面abcd，db、dc、df兩兩垂直，如圖，以點d為坐標原點，為x軸正方向，為y軸正方向，為z軸正方向建立空間直角坐標系，則，設平面mbd的法向量，由，取，得；設平面sbc的一個法向量為，由，取，得.平面m

19、bd與平面sbc所成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題19.線段ab為圓的一條直徑，其端點a，b在拋物線 上，且a，b兩點到拋物線c焦點的距離之和為11.（1）求拋物線c的方程及直徑ab所在的直線方程；（2）過m點的直線l交拋物線c于p，q兩點，拋物線c在p，q處的切線相交于n點，求面積的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義可求出，再利用點差法求出直線的斜率，結(jié)合直線過圓心，利用點斜式即可求出直線的方程：（2）不妨設，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和

20、弦長公式可求出，再利用導數(shù)的幾何意義求出拋物線在，的切線方程，把點，代入切線的方程得，同理可得：，故， 為一元二次方程的兩根，再次利用韋達定理得，所以點到直線的距離，所以，故當時，的面積取得最小值，最小值為27.【詳解】解：（1）設，拋物線的焦點為f，則，又，拋物線c的方程為：，由，兩式相減得：，直線ab的斜率為1，圓m方程：化為坐標方程為：，直線ab過圓心，直線ab的方程為：，即；（2）不妨設，直線l的方程為，聯(lián)立方程，消去y得：，拋物線c的方程為，拋物線c在的切線方程為：，又點在切線pn上，則，即，同理可得：，故為一元二次方程的兩根，又，點n到直線pq的距離，當時，的面積取得最小值，最小值

21、為27，面積的取值范圍為：.【點睛】本題主要考查了拋物線的定義，以及直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在上有兩個零點，且，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由于函數(shù)為偶函數(shù)，故只需求，時的最小值，利用，對分及，兩類討論，即可求得函數(shù)的最小值；（2）只需證，其中，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)結(jié)合題意可證得【詳解】解：（1）由于函數(shù)為偶函數(shù)，要求函數(shù)的最小值，只需求時的最小值即可.因為,所以，當時，設，顯然單調(diào)遞增，而，由零點存在定理，存在唯一的，使得，當單減，當單增，而，即，單減，又當，單增，所以；（2）只需證，其中，構(gòu)造函數(shù)

22、，即單增，所以，即當時，而，所以，又，即，此時，由第（1）問可知，在上單增，所以，即證.【點睛】本題考查 利用導數(shù)來求曲線某點的切線方程及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)與方程思想、分類討論思想及等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運用，考查邏輯推理與運算能力，屬于難題21.某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：逐份檢驗，列需要檢驗次；混合檢驗，將其（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為次

23、.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗的方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.（i）運用概率統(tǒng)計知識，若，試求關于的函數(shù)關系式；（ii）若，且采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）；（2）（i）（且）；（ii）的最大值為8【解析】【分析】（1）結(jié)合

24、題意，由排列組合知識及概率公式即可得解；（2）先由已知條件求得關于的函數(shù)關系式，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）記恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件，則.（2）（i），的取值為1，所以，由，得，所以（且）.（ii），所以，即.設，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減.，所以最大值為8.【點睛】本題考查了概率公式及隨機變量的期望，重點考查了導數(shù)的綜合應用，屬中檔題.（二）選考題：共10分請考生在22，23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分作答時寫清題號22.在平面直角坐標系xoy中，曲線c1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線c2的極坐標方程為（1）求曲線c1的極坐標方