(完整版)勾股定理經(jīng)典例題(教師版)

1、勾股定理全章知識點和典型例習題一、基礎(chǔ)知識點：1勾股定理內(nèi)容：表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a , b，斜邊為c，那么2 勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：3 勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在ABC中， C 90 ,則知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運用勾股定理解決一些實際問題4. 勾股定理的逆定理如果三角形三邊長a , b , c滿足a2 b2 c，那么這個三角

2、形是直角三角形，其中 c為斜邊 勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2 b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時，以 a , b , c為三邊的三角形是直角三角形；若 ，時，以a , b , c為三邊的三角形是鈍角三角形；若 ，時，以a ,b , c為三邊的三角形是銳角三角形； 定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長 a , b , c滿足a2 c2 b2,那么以a , b , c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊 勾股定理

3、的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三 角形5. 勾股數(shù) 能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2 b2 c2中，a , b , c為正整數(shù)時，稱a , b , c為一組勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：2 2n 1,2n,n 1 （ n 2, n 為正整數(shù)）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n為正整數(shù)）m2 n2,2mn,m2 n2 （ m n, m , n為正整數(shù)）7 .勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫

4、助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理 時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應(yīng) 設(shè)法添加輔助線(通常作垂線)，構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解.6、互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫 做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。類型一：勾股定理的直接用法1 在 Rt ABC 中，/ C=90 °(1) 已知 a=6, c=10，求 b, (2)已知 a=40, b=9，求 c； (3)已知 c

5、=25, b=15，求 a. 思路點撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。舉一反三【變式】：如圖/ B=Z ACD=90 ° , AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少 【答案I：/ ACD =90 °AD=13, CD=12 AC2 =AD 2-CD2=132- 122=25 AC=5又/ ABC=90 ° 且 BC=3由勾股定理可得ab2=ac2-BC2=52 - 32=16 AB= 4 AB的長是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用=30.求BC的長.2、如圖，已知：在 丄:二-中，一二v,二-匚-A2思路點撥：由

6、條件-=-L，想到構(gòu)造含 丄角的直角三角形，為此作上-上匸于D，則有BD=-AB'，:，再由勾股定理計算出 AD、DC的長，進而求出 BC的長解析：作于D，則因二B DC(芒上的兩個銳角互余)BD =-.45 = 152 （在他中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）根據(jù)勾股定理，在-中，加-=3-15* = 1 久療.根據(jù)勾股定理，在中，3二 Jac2- AD2 =占乜三心.更二 ED + DC 仝5 +15 = 80 .舉一反三 【變式1】如圖，已知： _，一】二-丄呂二于p.求證：二I -：l-BCA解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在 見丄刃存中， B

7、P2 = BM2-PM2.而在中，則根據(jù)勾股定理有 胚"二恥-亦.： .：-.-：. ，! I 2又=-1 （已知）， .加=磁"肱? +腫.在中，根據(jù)勾股定理有妝W二亦.加二肘 + AF【變式2】已知：如圖，/ B= / D=90 °，/ A=60 ° , AB=4 , CD=2。求：四邊形 ABCD的面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長AB、DC交于F,或延長AD、BC交于點E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。解析：延長AD、BC交于E。 / A= / 60°,/ B=90

8、° ,.Z E=30°。.AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,A.BE2=AE 2-AB 2=82-42=48 , BE=時4匕=4/1。/ DE2= CE2-CD2=42-22=12,2.S 四邊形 ABCD =SABE-SCDE= J AB類型三：勾股定理的實際應(yīng)用用勾股定理求兩點之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東 60°方向走了I二到達B點，然后再沿北偏西30°方向走了 500m到達目的地 C點。（1）求A、C兩點之間的距離。（2）確定目的地 C在營地A的什么方向。解析：（1）過B點作BE/AD/ D

9、AB= / ABE=60 °/ 30° + / CBA+ / ABE=180 °/ CBA=90 °即厶ABC為直角三角形由已知可得：BC=500m , AB=由勾股定理可得：二'十所以 - -.'+ T I, - ： I . I.（2）在 Rt ABC 中，/ BC=500m , AC=1000m/ CAB=30 °/ DAB=60 °/ DAC=30 °即點C在點A的北偏東30°的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過

10、該工廠的廠門？【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH.如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且 CD丄AE, 與地面交于 H .解：OC= 1米（大門寬度一半），OD= 0.8米（卡車寬度一半）在Rt OCD中，由勾股定理得：CD八亠-.6米，CH=0 .6 + 2 .3 = 2 . 9（米）2.5（米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門.（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線

11、路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如 圖實線部分請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.6思路點撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路長，然后進行比較，得出結(jié) 論.解析：設(shè)正方形的邊長為1，則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為AB+BC+CD = 3, AB+BC+CD = 3圖（3）中，在Rt ABC中AC = 莆¥肘=罷同理丄丄一 "-圖（3）中的路線長為-；-圖（4）中，延長 EF交BC于H，貝U FH丄BC, BH = CH址砒=19由/ FBH =-及勾股定理得：EA = ED = FB = FC =-； EF = 1 2FH = 1-

12、此圖中總線路的長為 4EA+EF = H ''-':3 > 2.828>2.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線.舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高AE為4cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,試求出爬行的最短路程.(提問：勾股定理) AC =丄丄.上- ！=:丁=】；2 10.77( cm)(勾股定理).解:答：最短路程約為1 0.77 cm.Ml 貝碼致如杲沿狡力怵的表面從 A 點至卩Q V,解么 岀穌條路迪駁行銀血;你鐮刑它找田來嗎¥如圖 O廚那，梃倉林 的為15

13、CTrt,寬為IO ge崗為2° eif點B與離C的ffE剛冷5 cm.類型四：利用勾股定理作長為 骯 的線段5、作長為°、宀、宀的線段。思路點撥：由勾股定理得，直角邊為 1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作J：'。作法：如圖所示I *(1) 作直角邊為1 (單位長)的等腰直角 ACB，使AB為斜邊；.一、i. 協(xié)B ABA OAB(2) 以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角'-''。斜邊為'-'；(3) 順次這樣做下去，最后做到直角三角形"'-，這樣斜邊心呂

14、、國、7 :的長度就是、 、 、 。舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示'的點。解析：可以把、看作是直角三角形的斜邊,為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù),而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點，使0A=3，作AC丄OA且截取AC=1，以0C為半徑，以0為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 原命題：貓有四只腳.（正確）2. 原命題：對頂角相等（正確）3 原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等.（正確）4原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等.（正確）思

15、路點撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.？（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.（正確）總結(jié)升華：本題是為了學習勾股定理的逆命題做準備。7、如果 ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷 ABC的形狀。思路點撥：要判斷厶ABC的形狀，需要找到 a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,故只有從該條件入手，解決問題。解析：由 a2+b2+c2+50=

16、6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b 2-8b+16+c2-10c+25=0, （a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。/ （a-3）2> 0, （b-4）2> 0, （c-5）2> 0。 a=3, b=4, c=5。/ 32+42=52, a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到。舉一反三【變式1】四邊形 ABCD中，/ B=90,AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四邊形 ABCD 的面積?！敬鸢浮浚哼B結(jié)AC/ B=90 °

17、, AB=3 , BC=4 AC2=AB 2+BC2=25 （勾股定理） AC=5/ AC2+CD2=169 , AD2=169 ac2+cd2=ad2/ ACD=90 ° （勾股定理逆定理）【變式2】已知： ABC的三邊分別為 m2 n2,2mn,m2+n2（m,n為正整數(shù)，且m>n）,判斷 ABC是否為直角三角形8分析:本題是利用勾股定理的的逆定理,只要證明：a2+b2=c2即可證明:(w? - »a)a +- 2mV +/ +4»23博°二卅+ 2腫滬十幷4所以 ABC是直角三角形.2【變式3】如圖正方形 ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上一

18、點，且BF=AB。請問FE與DE是否垂直？請說明。【答案】答：DE丄EF。B £ C證明：設(shè) BF=a，貝U BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。連接DF (如圖)DF2=AF2+AD 2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FE丄 DE。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3: 4，斜邊長是20,求此直角三角形的面積。思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)

19、勾股定理 列出方程，求出未知數(shù)的值進而求面積。解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x , 4x，根據(jù)題意得：（3x） 2+ （ 4x） 2= 202化簡得x2= 16;1直角三角形的面積=X 3x X 4x = 6x2= 96總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為 2,求它的面積?！敬鸢浮咳鐖D，等邊 ABC，作AD丄BC于D2貝BD = J BC （等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合） AB = AC = BC = 2 （等邊三角形各邊都相等） BD = 1在直角三角形 ABD 中，AB 2= AD2+

20、BD2,即：AD 2= AB2 BD2 = 4- 1 = 3 AD =:2SABC = J BC AD =丿注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a,則其面積為二a。【變式2】直角三角形周長為 12cm,斜邊長為5cm,求直角三角形的面積。 【答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x, y，根據(jù)題意得：9兀十 y+ 5 = 12(1)由( 1)得:x+y = 7,(x+y ) 2 = 49, x2+2xy+y 2= 49 (2),得：xy = 121 1直角三角形的面積是xy = X 12 = 6 (cm2)【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n +1, n+2 , n+3 ,求n。思路點撥

21、：首先要確定斜邊(最長的邊)長 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜邊長為n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ ( n+2) 2=( n+3) 2化簡得：n2= 4 n=± 2,但當 n = 2 時，n+1 = 1<0,二 n = 2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜 邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊?！咀兪?】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是()A、 8, 15, 17 B、 4, 5, 6 C、 5, 8, 10 D、 8, 39, 40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理

22、來進行判斷，對數(shù)據(jù)較大的可以用 c2= a2+b2的變形：b2= c2 a2=( c a) (c+a)來判斷。例如：對于選擇 D,/ 82工(40+39)X( 40 39),:A,AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四邊形 ABCD 的面積。以8, 39, 40為邊長不能組成直角三角形。 同理可以判斷其它選項?！敬鸢浮俊咀兪?】四邊形ABCD中，/ B=90 解：連結(jié)AC/ B=90 ° , AB=3 , BC=4 AC2=AB2+BC2=25 (勾股定理) AC=5/AC2+CD2=169, AD2=169 ac2+cd2=ad2/ ACD=90 °

23、 (勾股定理逆定理)丄BC+ 二 AC CD=36丄類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路 MN和公路PQ在點時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路 明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為 S 四邊形 ABCD =Sabc + Sacd = AB P處交匯，且/ QPN = 30°，點A處有一所中學，AP = 160m。假設(shè)拖拉機行駛 MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說 18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？A，實質(zhì)上是看 A到公路的距離是否小于100m,小于100m則受思路點撥：影響，大于100m則不受影響，故作垂線段 AB并計算其長度。(2)

24、要求出學校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機對學 校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結(jié)束影響學校。解析：作AB丄MN，垂足為B。在 Rt ABP 中，/ ABP = 90°,/ APB = 30°, AP = 160,1 AB =二AP = 80。(在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半) 點A到直線MN的距離小于100m,這所中學會受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛到點C處學校開始受到影響，那么AC = 100(m),11由勾股定理得：BC2= 1002-802= 3600, BC =

25、60。N14同理，拖拉機行駛到點D處學校開始脫離影響，那么，AD = 100(m), BD = 60(m), CD = 120(m)。拖拉機行駛的速度為：18km/h = 5m/st = 120m 十 5m/s = 24s。答：拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受影響的時間為24秒。,構(gòu)造直角三總結(jié)升華：勾股定理是求線段的長度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法角形以便利用勾股定理。舉一反三 【變式1】如圖學校有一塊長方形花園， 有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條 “路”。他們僅僅少走了 步路(假設(shè)2步為1m),卻踩傷了

26、花草。解析：他們原來走的路為 3+4 = 7(m)設(shè)走“捷徑”的路長為 xm,則.一 = 故少走的路長為 7- 5 = 2(m)又因為2步為1m，所以他們僅僅少走了 4步路?！敬鸢浮?【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。(1) 直接寫出單位正三角形的高與面積。(2) 圖中的平行四邊形 ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形 ABCD的面積是多少？(3) 求出圖中線段 AC的長(可作輔助線)?！敬鸢浮?1)單位正三角形的高為-，面積是二 -O(2)如圖可直接得出平行四邊形(3 )過A作AK丄BC于點K24

27、x -ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積。KC = 1+ 1 + 1 = 1 山匚'，故類型三：數(shù)學思想方法(一)轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決.3、如圖所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC , D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且 DE 丄DF，若BE=12 , CF=5 .求線段 EF的長。思路點撥：現(xiàn)已知BE、CF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形 的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD .解：連接AD .因為/ BA