1.1.2探索勾股定理

1、第一章 勾股定理探索勾股定理（二）一、學(xué)生起點(diǎn)分析 學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的加、減、乘、 除運(yùn)算和等式的基 本性質(zhì)， 并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形； 上節(jié)課又已經(jīng)通過(guò)測(cè)量和數(shù)格子的方法， 對(duì)具體的直角 三角形探索并發(fā)現(xiàn)了勾股定理，但沒(méi)有對(duì)一般的直角三角形進(jìn)行驗(yàn)證 .學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生在以前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)經(jīng)歷了很多獨(dú)立探究和合作學(xué)習(xí)的過(guò) 程，具有了一定的自主探究經(jīng)驗(yàn)和合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)， 具備了一定的探究能力和合作與交流的 能力；學(xué)生在七年級(jí)七巧板及圖案設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)中已經(jīng)具備了一定的拼圖活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) .二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課是八 （上）勾股定理第 1節(jié)第 2 課時(shí)，是在上節(jié)課已探索得

2、到勾股定理之后的內(nèi) 容，具體學(xué)習(xí)任務(wù)： 通過(guò)拼圖驗(yàn)證勾股定理并體會(huì)其中數(shù)形結(jié)合的思想； 應(yīng)用勾股定理解決 一些實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值并逐步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題意識(shí)和能 力 ，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ) .三、教學(xué)目標(biāo)1教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能目標(biāo)掌握勾股定理及其驗(yàn)證，并能應(yīng)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題 . 過(guò)程與方法目標(biāo) 在上節(jié)課對(duì)具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷勾股定理的驗(yàn)證過(guò) 程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想和從特殊到一般的思想 . 情感與態(tài)度目標(biāo)在勾股定理的驗(yàn)證活動(dòng)中， 培養(yǎng)探究能力和合作精神； 通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解， 感 受數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情感，并通過(guò)應(yīng)用勾股定理解決

3、實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)2教學(xué)重點(diǎn)用面積法驗(yàn)證勾股定理，應(yīng)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 .3教學(xué)難點(diǎn)驗(yàn)證勾股定理 .四、教法學(xué)法1.教學(xué)方法： 引導(dǎo)探究應(yīng)用 .2. 課前準(zhǔn)備：教具：教材，課件，電腦 .學(xué)具：教材，鉛筆，直尺，練習(xí)本 .五、教學(xué)過(guò)程本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)： （一）復(fù)習(xí)設(shè)疑，激趣引入； （二）小組活動(dòng)，拼圖驗(yàn)證； （三） 追溯歷史，激發(fā)情感； （四） 例題講解，初步應(yīng)用； （五） 拓展練習(xí)，能力提升； （六） 回顧反思，提煉升華； （七） 布置作業(yè)，課堂延伸 .第一環(huán)節(jié)： 復(fù)習(xí)設(shè)疑，激趣引入內(nèi)容 ：教師提出問(wèn)題：（1）勾股定理的內(nèi)容是什么？（請(qǐng)一名學(xué)生回答）（ 2）上節(jié)課我

4、們僅僅是通過(guò)測(cè)量和數(shù)格子， 對(duì)具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理， 對(duì)一般的直角三角形， 勾股定理是否成立呢？這需要進(jìn)一步驗(yàn)證， 如何驗(yàn)證勾股定理呢？事 實(shí)上，現(xiàn)在已經(jīng)有幾百種勾股定理的驗(yàn)證方法，這節(jié)課我們也將去驗(yàn)證勾股定理 .意圖：（ 1）復(fù)習(xí)勾股定理內(nèi)容； （2）回顧上節(jié)課探索過(guò)程，強(qiáng)調(diào)仍需對(duì)一般的直角三 角形進(jìn)行驗(yàn)證， 培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度； （3）介紹世界上有數(shù)百種驗(yàn)證方法，激發(fā)學(xué)生興 趣.效果：通過(guò)這一環(huán)節(jié)，學(xué)生明確了：僅僅探索得到勾股定理還不夠，還需進(jìn)行驗(yàn)證當(dāng)學(xué)生聽(tīng)到有數(shù)百種驗(yàn)證方法時(shí)，馬上就有了去尋求屬于自己的方法的渴望第二環(huán)節(jié)：小組活動(dòng)，拼圖驗(yàn)證內(nèi)容： 活動(dòng)1:教師導(dǎo)入，小組

5、拼圖教師：今天我們將研究利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理， 請(qǐng)你利用自己準(zhǔn)備的四個(gè)全等 的直角三角形，拼出一個(gè)以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形 （請(qǐng)每位同學(xué)用2分鐘時(shí)間獨(dú)立拼圖，然 后再4人小組討論.）活動(dòng)2：層層設(shè)問(wèn)，完成驗(yàn)證一 學(xué)生通過(guò)自主探究，小組討論得到兩個(gè)圖形：圖1圖2在此基礎(chǔ)上教師提冋：（1）如圖1你能表示大正方形的面積嗎？能用兩種方法嗎？（學(xué)生先獨(dú)立思考，再 人小組交流）；（2）你能由此得到勾股定理嗎？為什么？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上板書(shū)（a+b）2=4 X-ab+c2.并得到 a2 b2 二 c2）2從而利用圖1驗(yàn)證了勾股定理活動(dòng)3 :自主探究，完成驗(yàn)證二.教師小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問(wèn)題與

6、數(shù)的問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，聯(lián)系整式運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)，從理論上驗(yàn)證了勾股定理，你還能利用圖2驗(yàn)證勾股定理嗎？（學(xué)生先獨(dú)立探究，再小組交流，最后請(qǐng)一個(gè)小組同學(xué)上臺(tái)講解驗(yàn)證方法二）意圖：設(shè)計(jì)活動(dòng)1的目的是為了讓學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)圖形的構(gòu)成，既為勾股定理的驗(yàn)證作鋪墊，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手、創(chuàng)新能力 .在活動(dòng)2中，學(xué)生在教師的層層設(shè)問(wèn)引導(dǎo) 下完成對(duì)勾股定理的驗(yàn)證，完成本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.設(shè)計(jì)活動(dòng)3,讓學(xué)生利用另一個(gè)拼圖獨(dú)立驗(yàn)證勾股定理的目的是讓學(xué)生再次體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想并體會(huì)成功的快樂(lè)效果：學(xué)生通過(guò)先拼圖從形上感知，再分析面積驗(yàn)證，比較容易地掌握了本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容之一，并突破了本節(jié)課的難點(diǎn)第三環(huán)節(jié)：追溯歷史激發(fā)情

7、感活動(dòng)內(nèi)容：由學(xué)生利用所搜集的與勾股定理相關(guān)的資料進(jìn)行介紹國(guó)內(nèi)調(diào)查組報(bào)告:用圖2驗(yàn)證勾股定理的方法，據(jù)載最早是三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注時(shí)給出的，我國(guó)歷史上將圖2弦上的正方形稱(chēng)為弦圖.2002年的數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM-2002 ）在北京召開(kāi)，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過(guò)藝術(shù)處理的弦圖，這既標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，又像一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車(chē)，歡迎來(lái)自世界各地的數(shù)學(xué)家們！CM ZOD2 Satvllitfl ConFmiicfr國(guó)際調(diào)查組報(bào)告：勾股定理與第一次數(shù)學(xué)危機(jī).約公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希帕索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度是不可公度的按照

8、畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），若正方形邊長(zhǎng)是1,則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù)，它不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比，這一事實(shí)不但與畢氏學(xué) 派的哲學(xué)信念大相徑庭，而且建立在任何兩個(gè)線段都可以公度基礎(chǔ)上的幾何學(xué)面臨被推翻的 威脅，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)由此爆發(fā)據(jù)說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)希帕索斯的發(fā)現(xiàn)十分惶恐、惱怒,為了保守秘密，最后將希帕索斯投入大海.不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，15世紀(jì)意大利著名畫(huà)家達(dá)芬奇稱(chēng)之為“無(wú)理的數(shù)”，無(wú)理數(shù)的英文“ irrational ”原義就是“不可比”.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)一直持續(xù)到19世紀(jì)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)建立以后才圓滿解決我們將在下一章學(xué)習(xí)有關(guān)實(shí)數(shù)的知識(shí)趣聞?wù){(diào)查組報(bào)告：勾股定理的總統(tǒng)證法.在1876年一

9、個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞 黃昏的美景他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談 論著什么，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討由于好奇心驅(qū)使他循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清 楚兩個(gè)小孩到底在干什么只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫(huà)著一個(gè)直角三角于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給 出了簡(jiǎn)潔的證明方法 .1876 年 4 月 1 日，他在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對(duì)勾 股定理的這一證法 .1881 年，這位中年人伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng) . 后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他

10、對(duì)勾股 定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱(chēng)為“總統(tǒng)”證法 .說(shuō)明：這個(gè)環(huán)節(jié)完全由學(xué)生來(lái)組織開(kāi)展，教師可在兩天前布置任務(wù)，讓部分同學(xué)收 集勾股定理的資料，并在上課前拷貝到教師用的課件中便于展示，內(nèi)容可靈活安排 .意圖 ：（1）介紹與勾股定理有關(guān)的歷史，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情；（2）學(xué)生加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)史的了解，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣； （ 3）通過(guò)讓部分學(xué)生搜集材料，展示材料，既讓學(xué)生 得到充分的鍛煉，同時(shí)也活躍了課堂氣氛 .效果：學(xué)生熱情高漲，對(duì)勾股定理的歷史充滿了濃厚的興趣，同時(shí)也為中國(guó)古代數(shù) 學(xué)的成就感到自豪 .也有同學(xué)提出： 當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)成就不夠強(qiáng)， 還應(yīng)發(fā)奮努力 . 有同學(xué)能意識(shí) 這

11、一點(diǎn)，這讓我喜出望外 .第四環(huán)節(jié)： 例題講解 初步應(yīng)用 內(nèi)容：例題：飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩子頭頂上方4000 米處，過(guò)了 20 秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩子頭頂 5000 米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？意圖 ：（1）初步運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力；（2）體會(huì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值 .效果：學(xué)生對(duì)這樣的實(shí)際問(wèn)題很感興趣，基本能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并順利解 決.第五環(huán)節(jié) ： 拓展練習(xí) 能力提升 內(nèi)容：一組生活中勾股定理的應(yīng)用練習(xí)，共3 道題（1）教材 P10 練習(xí)題 .（2）一個(gè)25m長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在一豎直的墻 AO上，這時(shí)的AO距離為24m，如 果梯

12、子的頂端 A沿墻下滑4m，那么梯子底端 B也外移4m嗎？（3）受臺(tái)風(fēng)麥莎影響，一棵高 18m 的大樹(shù)斷裂，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)根底部 6 米處，這 棵樹(shù)折斷后有多高？說(shuō)明：這一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了 3 道題，設(shè)計(jì)時(shí)注意了題目的梯度，由淺入深，第一題為書(shū)上 練習(xí)題，學(xué)生容易解決， 第二道題雖然計(jì)算難度不大，但考查學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，第三道 題是應(yīng)用勾股定理建立方程求解，有一定難度 .意圖：在例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，訓(xùn)練學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再運(yùn)用勾股 定理解決問(wèn)題 .效果：小部分學(xué)生在完成第二題時(shí)，由于欠缺生活常識(shí)時(shí)，不能準(zhǔn)確地理解題意，約 有一半同學(xué)對(duì)第 3 道題束手無(wú)策， 主要是缺乏利用勾股定理建立

13、方程求解的這種思路， 經(jīng)同 學(xué)點(diǎn)撥，教師引導(dǎo)， 絕大部分同學(xué)最后都能解決這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)3 個(gè)小題的訓(xùn)練， 總體感覺(jué)學(xué)生對(duì)勾股定理的應(yīng)用更加熟練，并對(duì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值體會(huì)更深 .第六環(huán)節(jié)： 回顧反思 提煉升華內(nèi)容 ：教師提問(wèn)：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么樣的收獲？師生共同暢談收獲.目的：（1）歸納出本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的思想方法； （ 2）教師了解學(xué)生對(duì)本 節(jié)課的感受并進(jìn)行總結(jié)； （ 3）培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力 .效果：由于這節(jié)課自始至終都注意了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，所以學(xué)生談的收獲很多，包括利用拼圖驗(yàn)證勾股定理中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想， 學(xué)生對(duì)勾股定理的歷史的感悟及對(duì)勾股 定理應(yīng)用的認(rèn)識(shí)等等

14、 .第七環(huán)節(jié)： 布置作業(yè)，課堂延伸內(nèi)容： 教師布置作業(yè)1習(xí)題 1 2 1，2，32上網(wǎng)或查閱有關(guān)書(shū)籍，搜集至少 1 種勾股定理的其它證法，至少 1 個(gè)勾股定理的應(yīng) 用問(wèn)題，一周后進(jìn)行展評(píng) .意圖 ：（1）鞏固本節(jié)課的內(nèi)容 .（2）充分發(fā)揮勾股定理的育人價(jià)值 .六、教學(xué)設(shè)計(jì)反思（1）設(shè)計(jì)理念在課堂教學(xué)中，始終注意了調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.興趣是最好的老師，所以無(wú)論是引入、.因此，課堂拼圖，還是歷史回顧，我都注意去調(diào)動(dòng)學(xué)生，讓學(xué)生滿懷激情地投入到活動(dòng)中效率較高勾股定理作為“千古第一定理”，其魅力在于其歷史價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，因此我注意充分挖掘了其內(nèi)涵特別是讓學(xué)生事先進(jìn)行調(diào)查，再在課堂上進(jìn)行展示，這極大地調(diào)動(dòng)

15、了學(xué)生，既加深了對(duì)勾股定理文化的理解，又培養(yǎng)了他們收集、整理資料的能力（2）突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的策略勾股定理的驗(yàn)證既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是本節(jié)課的難點(diǎn)， 為了突破這一難點(diǎn)， 我設(shè)計(jì)了拼圖活動(dòng)，先讓學(xué)生從形上感知，再層層設(shè)問(wèn)，從面積（數(shù)）入手，師生共同探究得到方法 1最后由學(xué)生獨(dú)立探究得到方法2這樣學(xué)生較容易地突破了本節(jié)課的難點(diǎn).（3）分層教學(xué)根據(jù)本班學(xué)生及教學(xué)情況可在教學(xué)過(guò)程中選擇下述內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充或拓展基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 若 ABC 中，/ C=90°, （1）若 a=5, b=12，貝U c=; （ 2）若 a=6 , c=10 ,貝U b=; （3） 若 a : b=3 : 4, c=1

16、0，貝U a=, b=.2. 某農(nóng)舍的大門(mén)是一個(gè)木制的矩形柵欄，它的高為2m,寬為1.5m，現(xiàn)需要在相對(duì)的頂點(diǎn)間用一塊木棒加固，木板的長(zhǎng)為 .3. 直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5cm, 12cm，則斜邊上的高為 .4. 等腰三角形的腰長(zhǎng)為 13cm,底邊長(zhǎng)為10cm，則面積為（）.2 2 2 2A . 30 cmB. 130 cmC. 120 cmD. 60 cm提高訓(xùn)練5輪船從海中島 A出發(fā)，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又 向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到達(dá)目的地B , 求AB兩地間的距離.6. 棵9m高的樹(shù)被風(fēng)折斷，樹(shù)頂落在離樹(shù)根3m之處，若要查看斷痕，要從樹(shù)底開(kāi) 始爬多高？知識(shí)拓展7. 折疊長(zhǎng)方形 ABCD的一邊AD ,使點(diǎn)D落在BC邊的F點(diǎn)處，若AB=8cm , BC=10cm ,AEBFC求EC的長(zhǎng).意圖：進(jìn)行分層訓(xùn)練，既滿足了不同學(xué)生的需求，同時(shí)也便于老師及時(shí)地了解學(xué)生的情況.老師可以根據(jù)學(xué)生的情況選擇上述題目進(jìn)行練習(xí)，也可